Bài toán bất ổn định phi tuyến khi thực hiện trên phần mềm mô phỏng số ANSYS chính là một bài toán phi tuyến hình học có thể có kèm theo phi tuyến vật liệu.
Phần mêm mô phỏng số ANSYS cung cấp nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán bất ổn định phi tuyến. Các phương pháp đó là
• Phương pháp kiểm soát ổn định
• Phương pháp độ dài dây cung ( Arc length method)
• Phương pháp tính toán động lực học chậm
Trong khuôn khổ của luận văn tốt nghiệp, tác giả chỉ trình bày về phương pháp kiểm soát ổn định.Về cơ bản, phương pháp này sử dụng phương pháp giải lặp Newton Raphson như những bài toán phi tuyến khác khi được giải quyết trên phần mềm ANSYS.
Phương trình cơ bản trong tính toán bằn phương pháp phần tử hữu hạn
[ ]{ } { }aK u = F K u = F (.) Trong đó [K] là ma trận độ cứng tổng thể { }u là véc tơ chuyển vị và là ẩn { }Fa là ngoại lực tác dụng
Trong bài toán phân tích tuyến tính ma trận [K] là ma trận có các phần tử là hằng số. Trong bài toán phi tuyến ma trận [K] là ma trận có các phần tử phụ thuộc chuyển vị u. Khi bài toán là phi tuyến thì phương trình (1.83) trở thành
{ } { } { }T a nr T a nr i i i K u F F ∆ = − (.)
{ } { } { }ui+1 = ui + ∆ui (.)Trong đó Trong đó T i K
là ma trận độ cứng tiếp tuyến hay còn gọi là ma trận Jacobian
{ }ui
là véc tơ chuyển vị của bước lặp thứ i { }nr
i
F
là vec tơ lực hồi phục được tính toán từ nội lực phần tử Ma trận KiT và véc tơ { }nr
i
F
đều được tính toán dựa trên giá trị của { }ui . Vế trái của phương trình (1.18) biểu diễn sự cân bằng lực.
Một qui trình tính toán khi sử dụng phương pháp lặp Newton Raphson được miêu tả như hình dưới đây
Hình .: Một bước lặp của phương pháp Newton Raphson
Các bước giải lặp được thực hiện như sau:
• Bước 1: giả sử { }u0
tại bước giải đầu tiên đạt được giá trị hội tụ. Thông thường trong bước giải đầu tiên { } { }u0 = 0
• Bước 2: Tính toán và cập nhật ma trận độ cứng tiếp tuyến
Ti i
K
và tính toán lưc hồi phục { }nr
i
F
• Bước 3: Tính toán { }∆ui theo phương trình (1.17)
• Bước 4: Tính { }ui+1 theo công thức (1.18)
• Bước 5: Lăp lại các bước từ 2 đến 4 đến khi lời giải đạt hội tụ
Đến bước giải tiếp theo (bước giải thứ i+1) các bước lặp lại được tiến hành giống như trên và lời giải sẽ đạt được giá trị hội tụ khi lực hồi phục { }nr
i
F
đạt được giá trị của { }Fa
hoặc lân cận { }Fa
trong một sai số cho phép nào đó. Khi thực hiện bài toán bất ổn định phi tuyến sử dụng phương pháp giải lặp Newton Raphson thì dấu hiệu để nhận biết bất ổn định là lời giải không đạt được hội tụ
Hình .: Dự đoán tải gây bất ổn định
Tại điểm giới hạn (hình 1.21) ma trận độ cứng [K]=0 do đó phương trình giải bị suy biến và không thể tiếp tục giải được nữa lúc này bài toán sẽ bị phân kỳ. Và bước thời gian giải lân cận với bước thời gian cuối cùng còn hội tụ sẽ cho ta dự đoán về tải gây mất ổn định.
Trong tính toán phân tích hậu bất ổn định. Do phương pháp lặp Newton Raphson sẽ bị phân kỳ khi ma trận độ cứng bị suy biến do đó phương pháp này sẽ không bắt được đoạn đường cong có hệ số góc k âm (hình 1.21). Tuy nhiên, phương pháp này vẫn được dùng phổ biến để tính toán bất ổn định do khả năng dự đoán tải gây mất ổn định và dễ dàng điều khiển bài toán.
Hình .: Hạn chế của phương pháp lặp Newton Raphson
Để giải quyết hạn chế của phương pháp lặp Newton Raphson người ta sử dụng phương pháp độ dài cung (arc length method). Phương pháp độ dài cung sẽ giải quyết được toàn bộ đường cong OABD tuy nhiên việc điều khiển lời giải yêu cầu rất nhiều kỹ năng và kiến thức về kết cấu đang xét.
CHƯƠNG