ĐIỀU KIỆN KHẢ BÙ YẾU
Trong định nghĩa môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc người ta sử dụng các điều kiện D1 và D2 (D1 và D3). Tuy nhiên, điều kiện D1 là khá chặt. Vì vậy, người ta cố gắng tìm kiếm những điều kiện yếu hơn để thay thế cho D1
trong các định nghĩa trên. Theo hướng nghiên cứu đó Zoschingger, Abdul - Karim và Singh đã xét các điều kiện sau:
Định nghĩa 10. Giả sử M là một môđun.
(i) M được gọi là môđun khả bù yếu nếu mọi môđun con của M có bù - cộng trong M;
(ii) M được gọi là môđun ⊕- khả bù nếu mỗi môđun con của M có một bù - cộng (supplement) là một hạng tử trực tiếp của M;
(iii) M được gọi là môđunH - khả bù nếu với mỗi môđun con A của M tồn tại một hạng tử trực tiếp A' của M sao cho với mọi môđun con X của M luôn có A + X = M xảy ra khi và chỉ khi A' + X = M.
Mối quan hệ giữa các khái niệm vừa định nghĩa ở trên được chỉ ra trong lược đồ suy luận sau:
Các điều kiện trên đây yếu hơn điều kiện (D1) trình bày ở trên. Mệnh đề sau đây cho một đặc trưng của môđun tựa rời rạc qua điều kiện bù yếu.
Mệnh đề 21: Môđun M là tựa rời rạc khi và chỉ khi M thoả mãn điều kiện D0 và H - khả bù.
Chứng minh: Hiển nhiên suy ra điều kiện cần. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử môđun M thoả mãn điều kiện đã cho. Ta chứng minh M là môđun khả bù sao cho M = X ⊕ Y với X và Y là hai môđun con bù cộng của nhau bất kỳ trong M.
Trước hết ta chứng minh khẳng định thứ hai.
Giả sử X và Y là các môđun con của M sao cho chúng là những môđun con bù - cộng của nhau. Vì M là H - bù nên đối với môđun con X tồn tại một hạng tử trực tiếp X' của M sao cho với mọi môđun con T của M ta có X + T = M xảy ra khi và chỉ khi X' + T = M. Vì X là bù của Y nên M = X + Y, suy ra M = X' + Y.
Giả sử M = X' ⊕ B. Khi đó theo điều kiện (D0), ta có X' và B là các môđun con ảnh xạ lẫn nhau. Theo [6], từ điều kiện B là X' - xạ ảnh và M = X' + Y, tồn tại một môdun con C của Y sao cho M = X' ⊕ C.
Lại theo giả thiết M là môđun H - bù, ta cũng có M = X + C. Vì Y là bù - cộng của X nên Y phải có tính chất tổi thiểu trong các môđun con của M thoả mãn X + Y = M.
Do đó từ C ⊆ Y và X + C = M ta có Y = C. Vì vậy, ta có M = X' ⊕ Y. Thế thì theo điều kiện (D0) , X' và Y là các môđun con của M xạ ảnh lẫn nhau.
Do đó từ M = X + Y, tồn tại môđun con Z của M sao cho M = Z ⊕ Y. Lại do tính tổi thiểu của X trong số các môđun con của M thoả mãn X + Y = M, ta có Z = X. Vậy M = X ⊕ Y.
Để kết thúc chứng minh mệnh đề, ta cần chứng tỏ M là môđun khả bù. Thật vậy, giả sử A và B là các môđun con của M = A + B. Ta sẽ chứng minh
B chứa một môđun con bù - cộng của A. Từ M là môđun H - bù, đối với các môđun con A và B của M, tồn tại hạng tử trực tiếp A' và B' của M sao cho với mọi môđun con X và Y của M, A + X = M xảy ra khi và chỉ khi A' + X = M và B + Y = M xảy ra khi và chỉ khi B' + Y = M.
Giả sử M = A' ⊕ A1 = B' ⊕ B1.
Khi đó theo điều kiện (D0), A' và A1 xạ ảnh lẫn nhau, B' và B1 xạ ảnh lẫn nhau. Do A + B = M nên theo điều kiện H - bù ta có M = A' + B. Theo [6], tồn tại môđun con B0 của B sao cho A' ⊕ B0 = M. Từ đó A + B0 = M. Ta sẽ chứng tỏ B0 là một bù - cộng của A trong M. Thật vậy, nếu C là môđun con thực sự của B0 sao cho A + C = M ta cũng có A' + C = M thì ta cũng có A' + C = M. Điều này không thể được vì B0 là môđun còn bù trực tiếp của A' trong M. Điều này kết thúc phép chứng minh mệnh đề 21.
Chú ý: Điều kiện (D0) suy ra được (D3). Tuy nhiên môđun M thoả mãn điều kiện H - bù và (D3) không nhất thiết là tựa rời rạc.
Chẳng hạn, môđun Zz, với Z là vành nguyên thoả mãn H - bù và (D3) nhưng không là môđun tựa rời rạc vì không thoả mãn điều kiện (D1).
KẾT LUẬN
Khóa luận đã đề cập và giải quyết một số vấn đề sau:
Hệ thống lại một số khái niệm cơ sở của lý thuyết vành và môđun.
Tìm hiểu lớp môđun xạ ảnh, xét trong mối quan hệ với các môđun trên vành V và xét trong điều kiện ràng buộc của môđun đó với một môđun cụ thể nào đó.
Nghiên cứu môđun với các điều kiện rời rạc, thông qua điều kiện rời rạc chúng tôi tìm hiểu môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, tìm hiểu mối quan hệ giữa thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính rời rạc.