2.4.1. Các điều kiện rời rạc.
(D1). Với mỗi môđun con A của M có một sự phân tích M = M1⊕ M2 sao cho M1⊆ A và A ∩ M2 ⊆0 M.
Môđun M được gọi là môđun khả bù nếu với mỗi môđun con A và B của M sao cho A + B = M và B luôn chứa môđun con bù cộng của A trong M.
(D2). Nếu A ⊆ M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của M.
(D3). Nếu M1, M2 là các hạng tử trực tiếp của M thì M1 ∩ M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Bổ đề 13: M thoả mãn điều kiện (Di) thì mỗi hạng tử trực tiếp của nó cũng thoả mãn điều kiện (Di).
Mệnh đề 14: Với mỗi môđun M, các khẳng định sau đâu là tương đương:
(i) M có tính chất (D1).
(ii) Mọi môđun con A của M đều có thể viết A = N ⊕ S với N ⊆⊕ M và S ⊂0 M.
(iii) M là môđun khả bù và mọi môđun con bù cộng của M đều là hạng trực tiếp của M.
Chứng minh: (i) ⇒ (ii). M có thể phân tích: M = M1 ⊕ M2 với M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊆0 M.
Khi đó A = M1 ⊕ A ∩ M2. Lấy N = M1 và S = A ∩ M2.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử M = X + Y, ta chứng tỏ rằng Y là phần phụ của X. Từ giả thiết, có thể coi Y ⊆⊕ M. Bây giờ X ∩ Y = Y1 ⊕ S sao cho Y1 ⊂⊕ M và S ⊂0 M. Từ Y ⊂⊕ M ⇒ S ⊂0 Y.
Viết Y = Y1 ⊕ Y2, ký hiệu π là phép chiếu Y1⊕ Y2→ Y2.
Khi đó X ∩ Y = Y1 ⊕ X ∩ Y ∩ Y2 và
X ∩ Y2 = X ∩ Y ∩ Y ∩ Y2 = π (X ∩ Y) = π (Y1 + S) = πS.
Từ đó ta có: X ∩ Y2⊂0 Y2 và M = X + Y = X + Y1 + Y2 = X + Y2
Do vậy Y2 là phần phụ của X.
Cho P là môđun con phụ của M. Thế thì tồn tại K ⊂-0 M sao cho P là bé nhất thoả mãn K + P = M.
Từ đó P = L ⊕ T với L ⊂⊕ M và T ⊂0 M. Do tính "bé nhất" của P ⇒ P = L.
(iii) ⇒ (i). Cho A ⊂0 M. Khi đó A có phần phụ B và B có phần phụ M1⊂0A và M1⊂⊕M. Viết M = M1 ⊕ M2 thì A = M1 ⊕ A ∩ M2.
Ngoài ra, M = M1 + B và A = M1 + A ∩ B. Ký hiệu v là phép chiếu M1⊕ M2→ M2 thì:
A ∩ M2 = v(A) = v(A ∩ B)
Từ giả thiết B là phần phụ của A, A ∩ B ⊂0 M và do đó: A ∩ M2 ⊂0 M. Ta có M thoả mãn điều kiện (D1).
Bổ đề 15: Nếu M là môđun thoả mãn điều kiện (D2) thì:
(i). Nếu M1, M2⊂⊕M thì với mỗi toàn cấu M1→M2ta có Kerf ⊂⊕ M1.
(ii). M thoả mãn (D3).
Chứng minh: (i). Giả sử M = M1⊕ * 1 M thì M2≅ 1 1* * 1 (M M (kef M ) ⊕ ⊕ ≅ ( *) 1 M Kerf M ⊕ Từ đó ta có Kerf ⊕ * 1
M và do đó Kerf là hạng tử trực tiếp của M1. (ii). Giả sử A, B ⊂⊕ M và A + B = M.
M = A ⊕ A*, khi đó A*≅ (A B)+ A≅BA∩B.
Từ đó ta suy ra A ∩ B là hạng tử trực tiếp của M (theo (i))
Mệnh đề 16:Đối với môđun M các điều kiện sau đây là tương đương: (i). M thoả mãn điều kiện (D3).
(ii). Đối với mỗi hạng tử trực tiếp P và Q của M sao cho M = P + Q, tồn tại một môđun con P' của Q sao cho M = P ⊕ P'.
Chứng minh: (i) ⇒ (ii). Giả sử M là môđun thoả mãn điều kiện (D3) và P, Q là các hạng tử trực tiếp của M sao cho M = P + Q. Từ điều kiện (D3), ta có P ∩ Q là hạng tử trực tiếp của M, chẳng hạn M = (P ∩ Q) ⊕ T, đối với một môđun T nào đó. Vì P ∩ Q ⊆ Q nên Q = (P ∩ Q) ⊕ (T ∩ Q) Do đó: M = P + Q = P + (P ∩ Q) ⊕ (T ∩ Q) = P⊕ (T ∩ Q) f
Chọn P' = T ∩ Q ta sẽ có điều phải chứng minh.
(ii) ⇒ (i). Giả sử M thoả mãn điều kiện (b) và P, Q là các hạng tử trực tiếp của M sao cho M = P + Q.
Theo giả thiết, tồn tại môđun con P' của Q sao cho M = P ⊕ P'. Vì P' ⊆ Q nên ta có Q = P' ⊕ (P ∩ Q).
Do đó P ∩ Q là hạng tử trực tiếp của Q và do Q là hạng tử trực tiếp của M nên P ∩ Q cũng là hạng tử trực tiếp của M.
Hệ quả:Một môđun không phân tích thành tổng trực tiếp có tính chất (D1) nếu và chỉ nếu nó là môđun hổng.
Định nghĩa 7: Môđun M được gọi là thoả mãn điều kiện (D0) nếu M là môđun không phân tích được hoặc mọi sự phân tích M = A ⊕ B luôn luôn có A là B - xạ ảnh và B là A - xạ ảnh.
Môđun M được gọi là môđun nâng nếu nó thoả mãn điều kiện (D1).