Định nghĩa 8: Môđun M được gọi là rời rạc nếu nó thoả mãn các điều kiện (D1) và (D2).
Mệnh đề 17:Môđun tựa xạ ảnh M là rời rạc nếu và chỉ nếu mọi môđun con của nó có phần phụ.
Chứng minh: M là môđun rời rạc ⇒ M có tính chất (D1) nên từ mệnh đề 14 ta có điều phải chứng minh.
Đảo lại, giả sử mọi môđun con của M đều có phần phụ (chú ý rằng, nói chung nếu mọi môđun con của N có phần phụ thì N không nhất thiết là phần phụ)
Giả sử M = A + B. Ta chỉ ra rằng B chứa phần phụ của A.
Theo giả thiết, A có phần phụ P, thế thì M = A + P và A ∩ P ⊂0 P. Gọi v, π lần lượt là các đồng cấu tự nhiên: M → M/A và B → M/A.
Đặt µ = v|p và g = f|p. Thế thì πg(P) = µ(P) = M/A và do đó M = A + g(P).
⇒ A ∩ g(P) = g(ker(µ)).
Từ ker(µ) = A ∩ P ⊂0 P', g(ker(µ)) ⊂0 g(P) (theo tính chất môđun con bé). Do đó A ∩ g(P) ⊂0 P và do vậy g(P) là phần phụ trong B.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng mỗi môđun con phụ của M là hạng tử trực tiếp.
Thật vậy, theo mệnh đề 14, M có tính chất (D1). Giả sử A là một môđun con phụ của M và B là phần phụ của A.
Theo biểu đồ trên, từ πf (A) = 0 ⇒ f(A) ⊆ A Do vậy, M = f(M) + A
= f(A + B) + A = f(A) + f(B) + A = f(B) + A
Theo tính chất nhỏ nhất của B và f(B) = B cho nên M = B + Ker(f). Từ ker(f) ⊆ A và tính chất nhỏ nhất của A cùng với ker(f) = A ta có:
Ker(f) = A = Ker(v) = Ker(πf)
Như vậy, f là toàn cấu, tức là f(M) = B. Cuối cùng A ∩ B = 0 và do đó M = A ⊕ B. Từ tính chất (D2) của M ta kết luận M là rời rạc.
PM M v M/A B π g f