Định lý 2.8.2. Cho T như trong định lý trước, và p,p1 và p2 là các đa thức với các hệ số thực. Khi đó:
(a) p(T)là tự liên hợp.
(b) Nếu p(λ) =αp1(λ) +βp2(λ), thì p(T) =αp1(T) +βp2(T). (c) Nếu p(λ) = p1(λ)p2(λ), thì p(T) = p1(T)p2(T).
(d) Nếu p(λ)=0với mọiλ ∈[m,M], thì p(T)=0.
(e) Nếu p1(λ)5 p2(λ)với mọiλ ∈[m,M], thì p1(T)5 p2(T). (f)||p(T)||5maxλ∈J|p(λ)|, trong đóJ= [m,M].
(g) Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với T, thì nó cũng giao hoán với p(T).
Chứng minh. (a) đúng vì T là tự liên hợp và p có các hệ số thực, để cho(αjTj)∗=
αjTj.
(b) là hiển nhiên đúng từ định nghĩa. (c) là hiển nhiên đúng từ định nghĩa.
(d) Vì p có các hệ số thực, nên các số không phức phải xảy ra trong các cặp liên hợp nếu chúng xảy ra ở tất cả. Vì p thay đổi kí hiệu nên nếu λ vượt quá một số không của số bội lẻ và p(λ)=0trên [m, M], nên các số không của p trong (m, M) phải là số bội chẵn. Do đó ta có thể viết
(7) p(λ) =αΠj(λ−βj)Πk(γk−λ)Πl[(λ−µl)2+νl2]
trong đó βj 5m, γk =M và các nhân tử bậc hai tương ứng với các số không liên hợp phức và với các số không thực trên (m, M). Ta thấy rằng α >0nếu p6=0. Với mọi λ đủ lớn, ta nói, với mọiλ =λ0, ta có
sgn p(λ) =sgnαnλn=sgnαn,
trong đó n là bậc của p. Do đó αn >0suy ra p(λ0)>0và các số củaγk (được tính theo nhân tử của nó) phải là chẵn, để p(λ)= 0 trong (m, M). Khi đó cả ba tích trong công thức (7) đều dương tại λ0, do đó ta cóα >0để p(λ0)>0. Nếuαn<0, thì p(λ0)<0, các số củaγk là lẻ, để p(λ)=0trên (m, M). Do đó tích thứ hai trong công thức (7) là âm tạiλ0, vàα >0.
đặtυ =||x||−1x, ta có x=||x||υ và vì−βj =−mnên (T−βjI)x,x = hT x,xi −βjhx,xi = ||x||2hTυ,υi −m||x||2 = ||x||2 inf ||υ˜||=1 hTυ˜,υ˜i −m||x||2 =0,
nghĩa là, T−βjI =0. Tương tự, γkI−T =0. Cũng có T −µlI là tự liên hợp, để bình phương là dương và
(T−µlI)2+νl2I=0.
Vì các toán tử đó giao hoán, nên tích của chúng là dương bởi 2.3.1, và p(T)=0vì
α >0.
(e) được suy ra trực tiếp từ (d).
(f) Cho k là kí hiệu cho cận trên đúng của|p(λ)|trên J. Khi đó05 p(λ)2 5k2 với λ ∈J. Do đó (e) có p(T)2 5k2I, nghĩa là, vì p(T)là tự liên hợp, nên với mọi x ta có
hp(T)x,p(T)xi=p(T)2x,x5k2hx,xi.
Bất đẳng thức trong (f) suy ra nếu ta đưa căn bậc hai và khi đó cận trên đúng lớn hơn mọi x của chuẩn (1).
KẾT LUẬN
Khóa luận đã trình bày một số vấn đề về phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn. Hơn nữa, sau một thời gian tìm hiểu về phần mềm soạn thảo văn bản Latex, báo cáo đã được trình bày và hoàn thiện bằng phần mềm này. Với phạm vi và thời gian có hạn chắc chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu xót. Mong quý thầy cô và các bạn góp ý kiến để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[A]. Tài liệu tiếng việt.
1. Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Dương Minh Đức (2000), Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia, TP HCM. 3. Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật.
[B]. Tài liệu tiếng anh.
4. Erwin Kreyszig (1989), Introductory functional analysis with applications, Jonh Wile and Sons, Inc.