Định lý 2.6.2. ChoP1 vàP2 là các phép chiếu trên không gian Hilbert H. Khi đó: (a) Hiệu P =P2−P1 là một phép chiếu trên H khi và chỉ khi Y1 ⊂Y2, ở đây
Yj=Pj(H).
(b) NếuP=P2−P1 là phép chiếu, thì P chiếu H lên Y, ở đây Y là phần bù trực giao củaY1 trongY2.
Chứng minh. (a) NếuP=P2−P1 là một phép chiếu,P=P2 bởi 2.5.1, ta có P2−P1 = (P2−P1)2=P22−P2P1−P1P2+P12.
MàP22 =P2 vàP12 =P1 bởi 2.5.1. Do đó
(6) P1P2+P2P1=2P1.
Nhân cả hai vế của (6) vớiP2 ta được
P2P1P2+P2P1 = 2P2P1 P1P2+P2P1P2 = 2P1P2.
Do đó P2P1P2=P2P1,P2P1P2 =P1P2, và theo (6) ta có
(7) P2P1 =P1P2 =P1.
Y1 ⊂Y2 được suy ra từ Định lý 2.6.1.
Ngược lại, nếuY1⊂Y2, Định lý 2.6.1 cho ra (7), Từ đó suy ra (6) và ta thấy P là lũy đẳng. VìP1,P2 là tự liên hợp, nênP=P2−P1 là tự liên hợp, và P là phép chiếu bởi 2.5.1.
(b)Y =P(H)gao gồm các vectơ của công thức
(8) y=Px=P2x−P1x, x∈H.
VìY1 ⊂Y2 bởi phần (a), nên ta cóP2P1=P1 bởi (1) và từ (8) ta có P2y=P22x−P2P1x=P2x−P1x=y.
Suy ray∈Y2. Từ (8) va (1) ta có
P1y=P1P2x−P12x=P1x−P1x=0.
Suy ray∈N (P) =Y1⊥, vày∈V, trong đóV =Y2∩Y1⊥. Vìy∈Y tùy ý, nênY ⊂V. Ta thấy rằngY ⊃V. Vì phép chiếu của H lênY1⊥ làI−P1 (mục 2.5), nên vớiυ ∈V ta có công thức (9) υ = (I−P)y2, (y2∈Y2). Ta sử dụngP2P1 =P1, vìP2y2=y2, từ (9) ta có Pυ = (P2−P1)(I−P1)y2 = (P2−P2P1−P1+P12)y2 = y2−P1y2=υ.
Suy raυ ∈Y. Vìυ ∈V tùy ý, nênY ⊃V vàY =P(H) =V =Y2∩Y1⊥.
Từ định lý ta có hệ quả cơ bản về sự hội tụ của một dãy đơn điệu tăng của phép chiếu. (Một định lý tương tự về phép chiếu của một dãy đơn điệu tăng).