Khái niệm của phép chiếu toán tử P hay gọi tắt là phép chiếu P được định nghĩa ở chương 1, trong đó không gian Hilbert H được biểu diễn như tổng trực tiếp của không gian con đóng Y và phần bù trực giao của nóY⊥. Do đó
(1) H = Y⊕Y⊥
x = y+z (y∈Y,z∈Y⊥).
Vì tổng đó là trực tiếp, nên y là duy nhất với x∈H cho trước. Do đó (1) xác định một toán tử tuyến tính
(2) P:H −→ H x 7−→ y=Px.
P được gọi là phép chiếu trực giao hay phép chiếu trên H. Đặc biệt hơn, P được gọi là phép chiếu của H lên Y. Do đó một toán tử tuyến tínhP:H −→H là phép chiếu trên H nếu có một không gian con đóng Y của H thỏa mãn Y là miền giá trị của P vàY⊥ là không gian của P vàP|Y là toán tử đồng nhất trên Y.
Chú ý qua phần này (1) có thể được viết
x=y+z=Px+ (I−P)x.
Điều đó cho thấy phép chiếu của H lênY⊥ làI−P.
Một đặc trương khác của phép chiếu trên H được sử dụng như một định nghĩa:
2.5.1. Định lý phép chiếu
Định lý 2.5.1. Toán tử tuyến tính bị chặnP:H −→H trên không gian Hilbert H là một phép chiếu khi và chỉ khi P là tự liên hợp và lũy đẳng (nghĩa là P2=P). Chứng minh. (a) Giả sử P là phép chiếu trên H và kí hiệu P(H) theo Y. Khi đó P2 =Pvì với x∈H vàPx=y∈Y ta có
P2x=Py=y=Px.
Hơn nữa, cho x1=y1+z1 và x2=y2+z2, trong đóy1,y2∈Y vàz1,z2∈Y⊥. Khi đóhy1,z2i=hy2,z1i=0vìY ⊥Y⊥, và tính tự liên hợp của P được có từ
hPx1,x2i=hy1,y2+z2i=hy1,y2i=hy1+z1,y2i=hx1,Px2i.
(b) Ngược lại, giả sửP2=P=P∗ và kí hiệuP(H)theo Y. Khi đó,x∈H ta có x=Px+ (I−P)x.
Sự trực giaoY =P(H)⊥(I−P)(H)suy ra từ
hPx,(I−P)υi=hx,P(I−P)υi=x,Pυ−P2υ=hx,0i=0.
Y là không gian khôngN (I−P)của(I−P), vìY ⊂N (I−P)có thể được thấy từ
(I−P)Px=Px−P2x=0,
và Y ⊃ N (I−P) suy ra nếu ta chú ý rằng (I−P)x= 0 suy ra x = Px. Do đó Y là tập đóng. Cuối cùng, P|Y là toán tử đồng nhất trên Y, kí hiệu y= Px, ta có Py=P2x=Px=y.
2.5.2. Định lý tính dương, chuẩn
Định lý 2.5.2. Với phép chiếu P bất kì trên không gian Hilbert H,
(3) hPx,xi = ||Px||2 (4) P = 0 (5) ||P||51; ||P||=1 nếu P(H)6={0}. Chứng minh. (3) và (4) suy ra từ hPx,xi=P2x,x=hPx,Pxi=||Px||2 =0. Theo bất đẳng thức Schwarz, ||Px||2=hPx,xi5||Px|| · ||x||,
sao cho ||Px||/||x|| 5 1 với x6= 0, và ||P||5 1. Cũng có ||Px||/||x|| =1 nếu x∈P(H)vàx6=0. Chứng minh (5) xong.
Tích của các phép chiếu không nhất thiết là một phép chiếu, nhưng ta có điều cơ sở sau
2.5.3. Định lý tích của các phép chiếu
Định lý 2.5.3. Trong mối liên hệ với các tích của các phép chiếu trên không gian Hilbert H, ta có hai mệnh đề đúng dưới đây
(a)P=P1P2 là phép chiếu trên H khi và chỉ khi các phép chiếu P1 và P2 giao hoán, nghĩa làP1P2=P2P1. Khi đó P chiếu H lênY =Y1∩Y2, trong đóYj =Pj(H). (b) Hai không gian con đóng Y và V của H là trực giao khi và chỉ khi phép chiếu tương ứng thỏa mãnPYPV =0.
Chứng minh. (a) Giả sử rằngP1P2 =P2P1. Khi đó P là tự liên hợp. P là lũy đẳng vì P2= (P1P2)(P1P2) =P12P22 =P1P2 =P.
Do đó P là phép chiếu bởi 2.5.1, và vớix∈H ta có Px=P1(P2x) =P2(P1x). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì P1 chiếu H lên Y1, nên ta có P1(P2x) ∈Y1. Tương tự P2(P1x)∈Y2. Cùng với Px∈Y1∩Y2. Vì x∈H là tùy ý, nên ta có P chiếu H vàoY =Y1∩Y2. P chiếu H lên Y. Thật vậy, nếuy∈Y, thìy∈Y1,y∈Y2, và
Py=P1P2y=P1y=y.
Ngược lại, nếu P=P1P2 là một phép chiếu xác định trên H, thì P là tự liên hợp bởi 2.5.1, vàP1P2=P2P1.
(b) Nếu Y ⊥V, thì Y ∩V = {0} và PYPVx =0, ∀x∈ H bởi phần (a) để cho PYPV =0.
Ngược lại, nếuPYPV =0, thì vớiy∈Y, vàυ ∈V ta có
hy,υi=hPYy,PVυi=hy,PYPVυi=hy,0i=0.
Do đóY ⊥V.
Tương tự, một tổng các phép chiếu không phải là một phép chiếu, nhưng ta có định lý sau
2.5.4. Định lý tổng của các phép chiếu
Định lý 2.5.4. ChoP1 vàP2 là các phép chiếu trên không gian Hilbert H. Khi đó: (a) Tổng P=P1+P2 là phép chiếu trên H khi và chỉ khi Y1 =P1(H) vàY2 =
P2(H)là trực giao.
(b) NếuP=P1+P2 là phép chiếu, thì P chiếu H lênY =Y1⊕Y2. Chứng minh. (a) NếuP=P1+P2 là phép chiếu,P=P2 bởi 2.5.1, ta được
P1+P2 = (P1+P2)2=P12+P1P2+P2P1+P22.
Vế phải,P12 =P1 vàP22=P2 bởi 2.5.1. Do đó ta có
(6) P1P2+P2P1=0.
Nhân vế trái của (6) vớiP2 ta được
(7) P2P1P2+P2P1=0.
Nhân vế trái của (7) với P2 ta có 2P2P1P2 =0, để P2P1 =0bởi (7) vàY1 ⊥Y2 bởi 2.5.3 (b).
Ngược lại, nếuY1 ⊥Y2, thìP1P2 =P2P1=0bởi 2.5.3 (b). Do đó ta có (6) và suy ra P2 =P. VìP1,P2 là tự liên hợp, nên P=P1+P2 cũng tự liên hợp. Do đó P là phép chiếu bởi 2.5.1.
(b) Ta xác định không gian con đóngY ⊂H mà P chiếu lên. VìP=P1+P2, nên với x∈H ta có
y=Px=P1x+P2x.
Trong đó P1x∈Y1 vàP2x∈Y2. Do đóy∈Y1⊕Y2, đểY ⊂Y1⊕Y2.
Ta thấy rằngY ⊃Y1⊕Y2. Choυ ∈Y1⊕Y2 tùy ý. Khi đóυ =y1+y2. Ở đâyy1∈Y1 vày2 ∈Y2. Sử dụng P vàY1 ⊥Y2, ta có
Pυ =P1(y1+y2) +P2(y1+y2) =P1y1+P2y2 =y1+y2 =υ.
Do đó υ ∈Y vàY ⊃Y1⊕Y2. Cùng vớiY =Y1⊕Y2.
2.6. Các tính chất khác của phép chiếu
Định lý trước cho thấy quan hệ thứ tự riêng xác định bởiP1 5P2 (phần 2.3) trên tập các phép chiếu trên không gian Hilbert cho trước. Định lý sau đây sẽ là cơ sở cho ba phần tiếp theo.
2.6.1. Định lý quan hệ thứ tự riêng
Định lý 2.6.1. ChoP1 vàP2 là các phép chiếu xác định trên không gian Hilbert H. Kí hiệuY1 =P1(H)vàY2 =P2(H)là các không gian con mà H được chiếu lên bởi
P1 vàP2, và choN (P1)vàN (P2)là không gian không của các phép chiếu đó. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(1) P2P1 = P1P2=P1 (2) Y1 ⊂ Y2 (3) N (P1) ⊃ N (P2) (4) ||P1x|| 5 ||P2x||, ∀x∈H (5) P1 5 P2. Chứng minh. (1) =⇒(4): Ta có||P1|| ≤1bởi 2.5.2. Do đó, vớix∈H (1) trở thành ||P1x||=||P1P2x||5||P1|| · ||P2x||5||P2x||.
(4) =⇒(5):
Từ (3) trong mục 2.5 và (4) trong định lý này, với mọix∈H ta có
hP1x,xi=||P1x||2 5||P2x||2 =hP2x,xi,
điều đó cho thấyP15P2 bởi định nghĩa.
(5) =⇒(3):
Chox∈N (P2). Khi đóP2x=0. Theo (3) trong mục 2.5 và (5) trong định lý này ta có
||P1x||2 =hP1x,xi5hP2x,xi=0.
Do đó P1x=0,x∈N (P1)vàN (P1)⊃N (P2)vìx∈N (P2)là tùy ý.
(3) =⇒(2):
Điều đó là rõ ràng vìN (Pj)là phần bù trực giao củaYj trong H.
(2) =⇒(1):
Vớix∈H ta cóP1x∈Y1. Do đóP1x∈Y2 bởi (2), đểP2(P1x) =P1x, nghĩa làP2P1=
P1. VìP1 là tự liên hợp bởi 2.5.1, Từ đó suy raP1=P2P1 =P1P2.
Tổng của các phép chiếu được xét trong phần trước. Bây giờ ta sẽ xét hiệu của các phép chiếu. Nó là ứng dụng đầu tiên của định lý vừa được chứng minh.