MÔ HÌNH GARCH

5. Cấu trúc khóa luận

2.1. MÔ HÌNH GARCH

2.1.1. Mô hình

Năm 1986, Bollerslev (1986) đã mở rộng mô hình ARCH, và đặt tên mô hình ARCH tổng quát (GARCH).

Mô hình có dạng:

rt = ỊJ'+ U' (2.1)

U' = ơ tet (2.2)

ơ f = «0 + a,M,ỉ, + . . . + + / t o 2., + Aơf_2+ ... + /?sơf_s (2.3)

£t là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối (i.i.d),

m

Neu m > s thì p. = 0 với j > s. Neu s > m thì a .= 0 với Ỉ > m.

Các điều kiện trên đảm bảo cho phương sai không điều kiện và phương sai có điều kiện dương.

Mô hình trên được gọi là mô hình GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) bậc m và s, kí hiệu là GARCH(m,s), trong đó m là độ dài của trễ đối với , s là độ dài của trễ ứng với ơ ].

Đặt 77, = uf - ơ ? từ đó ơ f = uf - rjt ;

ơ t - \ ~ u t - ì ~ V t - I» • • •

Phương trình (2.3) được viết lại:

ơ ỉ = uỉ - n , = a0 + Ỳ , a iuỉ-i + - 1,-j) /•=1 7=1 m a x ( m ,s ) .V

M,2=«o+ È (2-4)

Tuy vậy rjt nói chung không phải là biến i.i.d. (2.4) có dạng ARMA đối với u f . Như vậy GARCH có thể coi như là một dạng của ARMA đối với u f . Trung bình không điều kiện đối với mô hình ARMA:

e {u ỉ) = _max(m,s)^gọ

1 z {a t+ P i) i=1

Với các giả thiết đã nêu thì e [u^ > 0.

Sau đây ta tìm hiếu nhũng điếm mạnh và điếm yếu của mô hình GARCH. Để đơn giản ta xét G A R C H (U ):

a ữ > О;«,,ß ] >0 và O', + /?! < 1

uf_! hoặc ơ]_x hoặc đồng thời cả и?2_, và (T,2.! lớn sẽ dẫn đến ơ f lớn. Điều này có nghĩa là uf_} lớn có xu hướng dẫn đến uf lớn, hành vi này chính là hành vi bầy đàn trong các chuỗi tài chính theo thời gian.

Neu ta giả thiết u có phân phối chuẩn hoặc phân phối đối xứng và 1 - 2á ị - ( a , + /?, ) 2 > 0 thì ta có thể chỉ ra hệ số nhọn:

£ ( „ ; ) 3(1 - ( g , + / ự ) 3 (е(м ,2)) 1- ( а , + Д )2- 2а,2 >

Do vậy hàm mật độ của u thoải hơn hàm mật độ trong phân phối chuẩn.

2.1.2. Dự báo phưong sai

Đẻ đơn giản ta xét mô hình GARCH(1,1).

Dự báo tĩnh được thực hiện như sau: Giả sử ta đã dự báo phương sai có điều kiện đến thời kỳ h, ta dự báo tiếp cho thời kỳ h +1 :

° Ỉ H = «0 + « 1“Ỉ + M Ỉ

Trong đó uh, ơ ị đã biết ở thời kỳ h.

Đặt ơ ị ( l ) = ơ l „

O'* (2) = a0 + a,w;+l + Дстй2( 1)

ơ l (3) = «0 + «i“ »+2 + Д 0 * (2)

Với dự báo tĩnh, ta có thể dự báo cho thời kỳ n + \.

Dự báo động có lợi thế là dự báo cho thời kỳ ngoài mẫu dài hơn. Dự báo này được thực hiện như sau:

ơ h + \ = «0 a \ u h P \ ơ h

ơ ,2+1 = a 0 + a ,K ,2 + /? lỡ f

ơ ^ = a ữ + a t f e ĩ +

CT,'+I = «0 + («I + P\ ) ° f + « I ° f - 0 Với t = h + 1 , ta có

= «0 + («I + Al )ơ í2 + « lơ í2( ^ 2 - !) Do E { s l - \ I F Ặ n è n

< 4 = B 0 + ( « l + A K ! . «•*(l) = a o + ( a , + /?,)ơ f, ÍT ,; ( 2 ) = a 0 + ( a , + /? , ) ơ £ ( l ) ,

ơ ị(k ) = a ũ + (a, + /?,)ơ f ( k - ỉ ) , k > \ (2.6) Giá trị ban đầu của ơ 2, Bollerslev (1986, p.316) đề nghị lấy giá trị trung bình bình phương phần dư của phương trình trung bình. Theo Tsay (2005, p .1 19), giá trị ban đầu của ơ? có thể lấy giá trị 0 hoặc giá trị của phương sai không điều kiện. Phần mềm Eviews lấy giá trị ban đầu của phương sai theo công thức dạng mũ sau đây:

a 20 = u 20 = Ắ Ở 2 + (

ỹ=0

n

trong đó e là phần dư từ phương trình trung bình và ờ 2 = ^ e f / n .

t= \

Ket quả trên đây giống như kết quả của mô hình ARMA( 1,1) với đa thức AR là 1 -(ỡr, + PX) B. Bằng cách thay ơ ị ( k - \ ) qua ơ l ( k - 2 ) , và tiếp tục như vậy ta sẽ được:

a 0[ l - ( a , + / ự ‘']

ơ l w = — ---— ã— - + («1 + A ) < ( 1 ) . 1 - a , - / ? ,

Do đó ơ 2h{k) —>•----—---khi k —>00, a x + J3ị < 1. 1

Dự báo phương sai có điều kiện sẽ hội tụ đến phương sai không điều kiện khi độ dài dự báo tăng lên.

2.2. CÁC DẠNG MỒ HÌNH GARCH KHÁC 2.2.1. Mô hình GARCH tích họp (IGARCH)

Xét phương trình phương sai của GARCH được viết dưới dạng

max(m ,s) s

“ỉ = a ữ+ È ( 2 -7 )

M ý=1

Nếu u) có nghiệm đơn vị, tức là ^ (<2( +

Pị)

;=1

được gọi là GARCH tích họp.

Trong trường hợp m = s = 1, ta có:

rằ = ut = ơ t£t ,

ơ ? = a Q+ f ì ơ l ị + ( l - j 3 ị) u l ] , 0<yổ, <1. Quá trình sự báo phương sai có điều kiện như sau:

ơ 2hạ ) = a ữ+ ớ ị , ơft (2) = a 0 + 0-^(1),

ơ 2h (3) = a0 + ơ 2h (2) = 2 a 0 + ơ l (1),

ơ ; ( k ) = a 0 + ơ ị i k - l ) = (/c- 1) a ữ + ơ ;{\) (2.8) (2.8) là một hàm tuyến tính với hệ số góc là a 0. Ảnh hưởng của ơ l( \)

đến độ biến động trong tương lai rất dai dẳng. Nelson (Bollerslev, Engle, and Nelson, 1994) đã nghiên cún các tính chất của quá trình ơ f trong mô

hình IGARCH. Nelson đã chứng tỏ rằng ơ f không có mô men bậc 2, là quá trình dừng yếu.

Trong trường hợp đặc biệt a 0 = 0, ơfl (k) = ơ'l(\) với mọi k. Mô hình này là mô hình về độ biến động được sử dụng trong tính toán giá trị rủi ro - VaR.

Khi a 0 = 0 , mô hình còn là mô hình san mũ đối với u f . Thật vậy, do

ơ f / t o i ,

= (1 - p x)u]_x + ((1 - )ủ;_x + /?,cr2_2)

= 0 _ /?i) [^,-1 + P\ưĩ-2 + /?,V-3 + ÁV-4 + —] (2.9)

(2.9) chính là công thức san chuỗi với hệ số san /?,. (2.9) cũng có thể dùng để ước lượng mô hình IGARCH.

2.2.2. Mô hình GARCH-M

Trong các mô hình GARCH đã xem xét ở trên, trung bình có điều kiện được giả định là không phản ứng khi phương sai có điều kiện thay đổi. Tuy nhiên, điều này đôi khi là không họp lý. Lý thuyết tài chính cho ta biết lợi suất kỳ vọng của một tài sản là có tương quan dương với độ rủi ro của nó. Tức là, tài sản có nải 1*0 càng lớn thì kỳ vọng về lãi suất càng cao. Bên cạnh đó, chúng ta cũng biết rằng phương sai sai số từ các mô hình hồi quy lợi suất tài sản có thể được coi là thước đo rủi ro của tài sản đó.

Đe tính đến tác động của mức độ rủi ro đối với kỳ vọng về lợi suất tài sản, Engle, Lillian và Robins (1987) đã điều chỉnh mô hình GARCH bằng cách bổ sung phương sai có điều kiện dưới dạng biến độc lập vào phương trình trung bình. Mô hình này có tên gọi là GARCH-M (GARCH in Mean). Mô hình GARCH(1,1)-M có dạng:

u ,= ơ ,s ,

ơ ; =cca +cctfA + / 3 t f A

Trong đó c là hằng số. Tham số c được gọi là phần bù rủi 1*0. Nếu

c> 0, thì khi độ rủi ro tăng thì lợi suất cũng tăng. Một dạng khác của phần bù rủi ro là

rt = jut + cơ t + ut hay rt = jut + cln(ơf ) + ut

Công thức (2.10) trong mô hình GARCH-M chỉ ra rằng có tương quan chuỗi Tị. Tương quan chuỗi này là do sự có mặt của ơ ] trong phương trình trung bình.

2.2.3. Mô hình TGARCH

Trên thị trường chứng khoán, người ta thường nhận thấy, chỉ số thị trường suy giảm (hay tăng) tiếp theo nó là độ biến động (volatility) tăng. Nhưng với cùng một độ lớn tăng hoặc giảm thì độ biến động khi chỉ số suy giảm cao hơn khi chỉ số tăng. Nelson và Ng (1993) đã đưa ra đường cong mô tả ảnh hưởng của các “news” với những phản ứng bất đối xứng đối với các tin tốt và tin xấu.

Hình 1: Phản ứng bất đối xứng của các cú sốc

Mô hình TGARCH đưa vào phương trình phương sai một biến giả. Biến giả đặc trưng cho các cú sốc âm và cú sốc dương.

T G A R C H (l,l)c ó dạng:

ơ f = a „ + « , < , + ỵul,d,_, + Д о -,2, trong đó dt là biến giả, dt = 1 nếu ut < 0 , dt = 0 nếu ut > 0.

TGARCH(m,s):

ơ f = a ữ + a,ul, + ... + + ỵu^d,., + Дет,:, + ... + Д с £

Trong mô hình TGARCH nhũng tin tức tốt (w, > 0 ) , nhũng tin tức xấu (ut < o) có ảnh hưởng khác nhau tới phương sai có điều kiện. Những tin tức tốt có ảnh hưởng là ax, trong khi đó các tin tức xấu có ảnh hưởng (or, + y) • Neu y > о , thì hiệu ứng đòn bẩy tồn tại. Neu у ф 0 , thì ảnh hưởng của các tin tức là bất đối xứng.

Dạng tổng quát của mô hình TGARCH(m,s) được các tác giả Glosten, Jagannathan, Runkle (1993) và Zakoian (1994) trình bày như sau:

= « 0 + + Ỳ ,Pjơ h

i=1 j=1

I 1 nếu Li Ị. ị < 0

d,-i = \ n ,

nêu U t - i > 0

a ., ỵ. và ß là các tham số không âm, thỏa mãn các giả thiết của mô hình GARCH. Từ mô hình có thể thấy rằng, ut_. > 0 đóng góp một lượng

(Xịulị vào ỡ f , trong khi đó những иы <0 đóng góp vào ơ f một lượng

(a i +7, )M/2., • Neu ỵi >0 thì, khi ut_ <0 , sẽ đóng góp lớn hơn so với

ut_. > 0 . Mô hình TGARCH sử dụng giá trị 0 như giá trị khởi đầu tách các ảnh hưởng của các cú sốc trong quá khứ.

2.2.4. Mô hình GARCH dạng mữ (EGARCH)

2.2.4.1. Mô hình

Mô hình GARCH không phân biệt được ảnh hưởng của các cú sốc âm và cú sốc dương và các hệ số của phương trình phương sai đều đòi hỏi không âm. EGARCH khắc phục được các nhược điểm này.

Phương trình phương sai EGARCH(1,1) được định dạng:

\n ( ơ f) = a 0 + p lnCcr,2,) + a Mô hình EGARCH(m,s): m s ln(CT,2) = « „ + £ $ ]n(<7,2, . ) + £ i=\ j=\ + ỵ- ^v-1 ơ,_/-1 ^(2.11) ( \ u, ■ ut ■ ctj ^t-j 1 Y_{' j} ơ, . ơ, . V t-j t-j

(

.

)

v ế trái của (2.11) là Ln của phương sai có điểu kiện (2.12) ngụ ý rằng tác động đòn bẩy là dạng mũ mà không phải dạng bậc hai và dự báo phương sai có điều kiện bao giờ cũng không âm. Có thể kiểm định hiệu ứng đòn bẩy bằng cặp giả thiết:

H 0 : Ỵ = 0; H ] : ỵ > 0.

Kiểm định giả thiết về ảnh hưởng đối xứng bằng: H 0 : ỵ = 0;

/ / , : r * 0 .

Từ (2.12), nếu ut_ > 0 thì nó sẽ đóng góp một lượng là

( a■ + Ỵ j ^ u l _ ■ / ơ t _ j vào Ln( ơ] ). Nếu u,-j <0 - thì mức đóng góp là

Từ (2.11), ta CÓ: ơ Lt - ơ ] px exp(<20)exp

2.2.4.2. D ự báo phương sai có điều kiện

Neu h là dự báo ban đầu, thì

( \

u. , _{u t \}

a ĩ - ì

exp ỡ*2(l) = ơ*2+1= ơ f ex p (a0)exp ơ ị (2) = CTj+2 = ở ỵ (1) ex p (a0) El \ \ / ut , ut, a 1-1 + ỵ-í=L V ơ t A ơ ‘-l) í r exp V V a ơ._t-1^{+ ỵ-} 1 cr.í-1 a ¹ <T ^{+ r} *7-1 cr, + 0 C = £4(e x p (g (£ 4+]) ) ) = j [sxỹ(a\s\ + Ye)]f{s)ds -OC co Ị = J[exp(ữ + y ) £ ] - ^ e x p 0 V ^ 0 I + | [ e x p ( / - ớ ) f f ] - j = e x p 2 , V 2 , Xét exp(« + ỵ ) s- J = e x p V 2 , 1 ( y Ịĩp 1 V2p exp exp e 2 + 2(a + y ) s + ( a + ỵ )2 (a + YỸ + (e + (a + y ) ý ^\ exp ( í _{( a + ỵ )}\ 2\ 9 ) \ ^Á* / Đặt g = £ + ( a + ỵ), (p-E + Ỵ - a khi đó: £'(1( e x p (g (5M ) ) ) = exp ^{(a + ỵ)} 2 \a+r

í

£ /Ị(exp(g(£:/j+1) ^ = e(a+/)/20 ( ỵ - a ), trong đó 0 ( ớ ) l à xác suất tích lũy của phân phối chuẩn hóa.

õ ị{ 2 ) = ö l ß (l)e x p (a 0) ^{Ạ a + ỵ Ỵ l l}F (a + y) + e{g-a)lnF ( y - a )

ơ ị{ k ) = ỡ ự i k - l)e x p (a 0) e("+*) n F ( a + ỵ) + eig'a) n F ( ỵ - a )

2.2.4.3. Mô hình dạng mũ của Nelson

Nelson (1991) đề xuất một mô hình GARCH dạng mũ khác. Mô hình gốc của Nelson khác với mô hình trên ở hai điếm:

Thứ nhất, Nelson giả thiết ut là biến ngẫu nhiên phân bố xác suất dạng mũ. (Hàm mật độ có dạng f ( u) = exp b\ X a ) V 2aT(ì + \ / b )

có phân phối Laplace, b = 2 có phân phối chuẩn với a = 2cr). Thứ hai, phương trình phương sai của Nelson có dạng:

, nếu a = 1 thì

L n (ơ f ) = a 0 + /?ln (ơ f2ị ) + a ^'/-1

ơ_/-1 ^{+ ỵ-}

It-1

ơ_/-1

Ước lượng mô hình trên với giả thiết u phân bố chuẩn sẽ cho các ước lượng giống như (2.11) trừ hệ số chặn. Hệ số chặn sẽ khác một lượng

a y Ị l / 7 Ĩ.

2.2.4.4. Một dạng khác của mô hình EGARCH(lyl)

Do ut= ơ t8t, nên s t = ut/ ơ t .

Đặt g(^£t) - ỵ s t +aịst\ - E ( \ s t \) (2.13)

trong đó: <9, ỵ là các hằng số. £t và 1^1 - E(\ 8t l) là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng k h ô n g .£ (g (y ,)) = 0 .T a viết lại g( et) như sau:

(ỵ + a ) £ t - a E { \ s t\) nếu s t > 0

( ỵ - a ) s t - a E ị ị s t\) nếu s t < 0

Neu et là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa, thì

E{\e,\) = j 2 l я .

Trong trường họp £t có phân phối t-Student,

Vl ịJ (k-i )G (k/2) yfp

2 1

L n(ơ t ) = a 0 + —^— g(£t_]), \ - b L

(1 - ßL)Ln(a; ) = a 0( ] - ß ) + g (stA ).

Neu et_x > 0 thì (1 - ßL)Ln(af) = a 0( 1 —ß ) + (y + oc)stA - a^Ị2 / p

Nếu s t_{ < 0 thì (1 - a^L)Ln{ơf) = a ữ{\ - ß ) + (ỵ - a ) s tA - л]2/ p

Như vậy nếu s t có phân bố N(0,1), thì

(l-«,L )L n(ỡf ) = í 0* + (ớ + r K ' nếue’ > 0

\ a + ( в - г ) е, л nếu Ể I < 0

а = (l - ß ) a Q - a ^ 2 / p.

Dự báo: Ta xét mô hình EGARCH(1,1) với £t có phân phối N(0,1).

Ln(ơf) = (1 - ß ) a 0 + ß\n(<j;A ) + g(stA ), (2.14)

g ( e , A ) = y s , A + a ( \ e ,

I

Từ (2.14), ta có ơf =<y,Yexp((l - ^ ) a 0)exp(g(£’,.l)) Neu h là gốc dự báo, thì

(1) = ơ i , = a f (l)exp((l - /?)a0)exp(g (s„ ))

ỠẦ(2) = = Sri" (l)exp((l - ß ) a a)Eh (exp(g(fi4+l))).

Eh là kỳ vọng có điều kiện ở thời điểm xuất phát. + 0 0 _

( e x p ( g (eh+ĩ) ) ) = Ị l ^ e x p Ị ^ + a(\etI - Jîîp ))

-ОС

+00 I

= e x p Ị-a ^ /2 / p j [ | ị e x ọ ( ỵ + a ) e t~ị—Ị = e ' e l2d s

0 1

+ J [e x p (7 -o r )e f] ự = ể ' £2/2í/^]

= e x p ^ - c ^2/ p Ị e(r+a)2/2f ( ỵ + a ) + e(r~a)2/2f ( ỵ - a )

Trong đó f ( s ) và ộ là hàm mật độ xác suất và hàm phân phối tích lũy của N(0,1).

ở 2h(2) = <T^(l)expỊ(l -J3)a0 - a ^ / 2 / 7 ĩ }*ị e {g+a)2/2f ( ỵ + a ) + eig'a)2/2f ( ỵ - à )

Tương tự, ta có:

° h ( j ) = ỡ f * ơ - l ) e x p ( ( l - J3)a0 - a ^ Ị ĩ ĩ p Y ~ ei8+af/2f ( r + a) + e{g'a)2,2f ( ỵ - a)

2.2.4.5. Đường cong phản úng của các cú sốc (Estimated News

Impact Curve)

Một phương pháp để mô tả ảnh hưởng của các tin tức là vẽ đường cong mô tả quan hệ giữa phương sai có điều kiện và các cú sốc. Giả sử ta có mô hình EGARCH(1,1):

L n (ơ f ) = a 0 + p L n i ơ1^ ) + a I zt_JI + ỵỡztA. Trong đó z,_, =é?M /c rM.

Đe xem xét riêng ảnh hưởng của các cú sốc, ta sẽ cố định CT,2, bằng giá trị trung vị của chuỗi phương sai có điều kiện, ký hiệu m0.

Vì mẫu có thể rất lớn, nên ta có thể tạo ra một mẫu nhỏ, chang hạn gồm 100 quan sát và tạo ra biến z z có giá trị (-10, 10), tính ước lượng của phương sai có điều kiện theo công thức:

Sau đó vẽ đồ thị biến sig2 theo zz. Bên trái trục hoành đường cong sẽ dốc hơn. Điều này thể hiện các cú sốc âm sẽ có ảnh hưởng lớn hơn đến phương sai có điều kiện.

Hình 2 : Phản úng bất đối xứng của các cú sốc

2.2.4.Ó. Kiểm tra ảnh hưởng bất đối xúng của các cú sốc

Có hai cách kiếm tra. Cách thứ nhất là kiểm định hệ số tương ứng với các số hạng W,-1> 0 và ut_x < 0 . Neu có ít nhất một hệ số khác không thì có ảnh hưởng bất đối xứng của các cú sốc.

Cách khác là có thể xem hệ số tương quan chéo giữa zf và zt_k. Hệ số tương quan này sẽ bằng không đối với mô hình đối xứng, và hệ số sẽ âm đối với TGARCH và EG ARCH.

2.2.5. Mô hình họp phần GARCH (COMPONENT ARCH MODEL)

rt =ỊJt +Ut

U' = ơ tet

Mô hình component có dạng:

<y?-qt = a ( u ị x-cử) + p ị ớ ỉ A -c o ), (2.15)

ơ ] vẫn là độ biến động, trong khi đó qt được thay cho a Q9 nó là độ biến động dài hạn. Phương trình (2.16) mô tả thành phần dài hạn qt , qt sẽ hội tụ đến Cờ với tốc độ p . Nếu p nằm giữa 0,99 và 1 thì Cịt hội tụ đến Cỡ

rất chậm. Phương trình (2.15) mô tả mức chênh lệch nhất thời, ơ f - q t .

Thành phần này sẽ hội tụ đến không với tốc độ ( a + /?). (2.15) được gọi là phương trình tức thời, phương trình (transitory); (2.16) được gọi là phương trình vĩnh cửu hay thành phần dài hạn.

Kết họp (2.15) và (2.16) ta có:

ơ? - (1 - a - P){\ - p)cở + ( a + ệ)u]x - [ a p + ( a + P )ệu^2)

2 2 , (2.17)

+ (/? - ệ ) ơ 2lA -ịa J 3 - ( a + ị3)ệơf_2)

Phương trình (2.17) chỉ ra rằng, mô hình hợp phần GARCH là mô hình GARCH(2,2).

Người ta có thế đưa vào phương trình có điều kiện của mô hình họp phần GARCH các biến ngoại sinh khác, hoặc là đưa vào phương trình ngắn hạn, hoặc phương trình dài hạn hoặc cả hai phương trình này. Các biến ngoại sinh này trong phương trình ngắn hạn chỉ ra ảnh hưởng của chúng đến nhũng thay đổi trong ngắn hạn của độ biến động; Trong phương trình dài hạn, đó là ảnh hưởng đến phương sai có điều kiện trong dài hạn.

Phương trình hợp phần GARCH bất đối xứng là mô hình kết họp