3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ KẾT QUẢ SỐ
3.2.3Sai số và chi phí tích phân
Chúng ta có thể nhìn thấy rằng tốc độ hội tụ của phương pháp MC là luôn vào khoảng 0,5 như đã được đoán trước của luật số lớn. Tốc độ này là không bị ảnh hưởng bởi các con đường xây dựng vì toàn bộ phương sai là không thay đổi. Tốc độ hội tụ của phương pháp QMC tăng nếu BB, PCA, hoặc LT được sử dụng vì các con đường xây dựng này tập trung tổng phương sai vào một vài số biến đầu tiên. Phương pháp QMC hầu như tốt hơn MC và đạt được tốc độ hội tụ cao hơn, sai số tương đối nhỏ hơn và ít dao động.
Từ hình 3.4 và hình 3.5 chúng ta cũng có thể quan sát được rằng ảnh hưởng của con đường xây dựng là đáng kể hơn trong trường hợp phương pháp tính tích phân khác như COW, CPW, CAD, SGP và SGH. Điều này được giải thích bởi thực tế là các phương pháp này là phù hợp với số chiều hiệu dụng của bài toán bởi việc lựa chọn của các không gian hàm có trọng từ mục 1.4 hoặc bằng việc làm mịn lưới thích ứng về số chiều. Sự hội tụ của những phương pháp này, do đó cũng được đẩy nhanh một cách đáng kể bởi con đường xây dựng làm cắt giảm số chiều hiệu dụng của hàm dưới dấu tích phân liên kết. Ví dụ, trong trường hợp K = 0, so sánh với hình 3.4 chúng ta thấy rằng hiệu quả của phương pháp tính tích phân có số chiều rất lớn cải thiện một cách đáng kể nếu chúng ta chuyển dịch từ RW đến BB, PCA, sau đó đến LT. Trong khi đó COW, CPW, CAD và SGP cung cấp các kết quả tương tự như hoặc thậm chí là tồi tệ hơn QMC trong trường hợp của RW. Chúng tương đối tốt hơn QMC và rõ ràng là mạnh trong trường hợp BB, PCA, LT tương ứng.
Một sự so sánh của tốc độ hội tụ của phương pháp COW, CPW và CDA chứng minh rằng ba cách tiếp cận này đưa đến nhiều kết quả giống nhau, thậm chí COW và CPW trùng nhau trong hầu hết các trường hợp.
và độc lập với con đường xây dựng. Nó khai thác số chiều hiệu dụng thấp bởi sự làm mịn lưới thưa với số chiều thích nghi và có thể làm lợi từ độ trơn của hàm dưới dấu tích phân tốt hơn phương pháp khác vì nó tránh được việc biến đổi về hình cầu đơn vị. Với cách này chúng ta giành được sai số nhỏ hơn 10−12 chỉ với khoảng 105,104,103,102hàm đánh giá tương ứng với các trường hợp RW, BB, PCA, và LT.
1-α RW BB PCA LT 1e - 1 1 1 1 1 1e - 1 1 1 1 1 1e - 3 2 2 1 1 1e - 4 2 2 2 1 1-α RW BB PCA LT 1e - 1 7 2 1 1 1e - 2 8 3 1 1 1e - 3 8 4 2 1 1e - 4 8 4 3 1
(a) Asian 0 (d=16) (b) Asian 100 (d=16) Bảng 3.2 Số chiều chồng chất trong trường hợp có điểm neo.