3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ KẾT QUẢ SỐ
3.4.3Chi phí và sai số tích phân
Tiếp theo các kết quả bằng số tương ứng được minh họa trong hình 3.7. Chúng ta có thể quan sát được rằng phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) là hội tụ nhanh
hơn, ít dao động so với phương pháp Monte Carlo nếu chúng ta chuyển từ RW tới BB, PCA hoặc LT.
Phương pháp SGP thực hiện tương tự như phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) trong trường hợp của BB, PCA và ít tồi tệ hơn trong trường hợp của của RW và LT. Phương pháp hỗn hợp CUHRE/QMC, hoặc COW, CPW và CAD giành được kết quả tốt nhất trong sự kết hợp với PCA. Trong trường hợp này chúng tốt hơn phương pháp QMC và phương pháp SGP. Cuối cùng chúng ta có thể nhìn thấy rằng đến nay phương pháp SGH kết hợp với BB hoặc PCA là phương pháp hiệu quả nhất cho bài toán CMO. Nó đạt được tốc độ hội tụ cao nhất và những kết quả chính xác nhất. Với 104 điểm đánh giá hàm, phương pháp SGH giành được sai số tương đối nhỏ hơn khoảng 100 lần so với sai số tương đối của phương pháp QMC.
1-α RW BB PCA LT 1e - 1 1 1 1 1 1e - 1 1 1 1 1 1e - 3 1 1 1 1 1e - 4 2 2 1 1 1-α RW BB PCA LT 1e - 1 1 1 1 1 1e - 2 2 2 1 2 1e - 3 2 2 2 2 1e - 4 2 2 2 2
(a) Vasicek problem (d=512) (b) CMO problem (d=256) Bảng 3.4 Số chiều chồng chất trong trường hợp cổ điển.
Nhắc lại rằng LT không cải thiện sự hội tụ của phương pháp tính tích phân theo số chiều đã so sánh với RW. Sự nhận xét này không thể được giải thích bởi số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển vì LT giành được kết quả tối ưu dt = 1 cho bài toán CMO. Tuy nhiên sự quan sát này cho thấy là LT không đưa ra việc cắt giảm số chiều chặt cụt trong trường hợp có điểm neo. Điều này nói lên rằng hiệu quả của phương pháp tính tích phân theo số chiều phụ thuộc vào số chiều chặt cụt trong trường hợp có điểm neo. Chú ý rằng phương pháp QMC hội tụ nhanh hơn và ít dao động với LT hơn RW. Điều này cho thấy dáng điệu hội tụ của phương pháp QMC là khá liên quan tới số chiều hiệu dụng dt trong trường hợp cổ điển hơn là có điểm neo.
Cuối cùng chú ý là số chiều chặt cụt dt trong trường hợp có điểm neo giải thích ảnh hưởng của cách thức xây dựng nhưng không hiệu quả cao của phương pháp SGH vì dt là cao cho bài toán này. Tốc độ hội tụ nhanh là được giải thích bởi số
chiều chồng chất thấp ds 62 và bởi độ trơn của hàm dưới dấu tích phân .
Hình 3.4: Dáng điệu hội tụ của các phương pháp khác nhau cho bài toán Asian 0 với số chiều d=16.
Hình 3.5: Dáng điệu hội tụ của các phương pháp số khác nhau cho bài toán Asian 100 với số chiều d=16.
Hình 3.6: Dáng điệu hội tụ của các phương pháp khác nhau cho bài toán Vasicek số chiều d=512.
Hình 3.7: Dáng điệu hội tụ của các phương pháp khác nhau cho bài toán CMO với số chiều d=256.
Kết luận
Nội dung của luân văn chủ yếu dựa vào những kết quả đã được đề cập trong bài báo: Michael Griebel, Markus Holtz , "Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26 (2010), pp. 455 - 489. Ở đó chúng ta đã trình bày lại một lớp các phương pháp cho việc tính toán tích phân có số chiều cao, thông qua việc giới thiệu một số khái niệm mới của số chiều hiệu dụng trong trường hợp có điểm neo. Bên cạnh đó chúng ta đã giải thích được rằng phương pháp lưới thưa kết hợp sự chặt cụt của phân rã ANOVA có điểm neo cũng như kết hợp với sự rời rạc hóa chuỗi con cho phép chúng ta làm cân bằng sai số mô hình hóa và sai số rời rạc hóa theo cách tới ưu nhất.
Cũng dựa vào nội dung của bài báo này chúng ta đã đề cập đến bài toán ứng dụng từ tài chính mà dẫn đến tích phân của hàm trơn với số chiều lên tới 512. Với những bài toán mô hình này, phương pháp lưới thưa thích nghi theo số chiều dựa trên công thức Gauss - Hermite hay còn gọi là phương pháp SGH mang lại hiệu quả tốt nhất. Phương pháp này làm lợi từ số chiều hiệu dụng thấp của tích phân bởi sự làm mịn lưới thưa thích nghi theo số chiều và khai thác một cách tối đa độ trơn của của hàm dưới dấu tích phân vì nó tránh việc biến đổi đặc biệt về hình cầu đơn vị.
Hiển nhiên những kết quả của chúng ta có thể mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ như nó có thể là khá thú vị để xác định các lớp hàm cho số chiều hiệu dụng trong trường hợp có điểm neo trùng với số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển. Chúng ta đã chỉ ra rằng bài toán giá cả của cổ phiếu hoặc trái phiếu không lãi suất thuộc về những lớp hàm như thế nhưng không phải bài toán CMO.
Một điều thú vị làm mọi người có thể quan tâm là nên chọn điểm neo như thế nào là tốt nhất và mang lại hiệu quả cao nhất. Những lĩnh vực khác có thể được nghiên cứu trong tương lai, như việc cải thiện phương pháp tính tích phân theo số chiều không có dạng lưới thưa ví dụ như sự cân bằng giữa sai số mô hình hóa và rời rạc hóa.
Với ứng dụng từ tài chính phương pháp hỗn hợp CUHRE/QMC của chúng ta có thể được cải thiện thêm nếu thay vì sử dụng phương pháp CUHRE bằng một
phương pháp thích nghi địa phương khác mà xử lý trực tiếp tích phân trên Rd sao cho tránh được việc biến đổi đặc biệt về hình cầu đơn vị .
Chúng ta vẫn hi vọng sẽ vẫn còn những phương pháp tương tự hoặc thậm chí cho kết quả tốt hơn có thể giành được với phương pháp tính tích phân theo số chiều dựa trên lưới thưa. Cuối cùng chúng ta thấy rằng ở một mức độ nào đấy hầu hết các phương pháp của chúng ta và các kết quả mang lại là không bị hạn chế trong tài chính mà cũng có thể được sử dụng theo các lĩnh vực ứng dụng khác như trong vật lý và hóa học.
Tài liệu tham khảo
[1] F.J. Hikernell (1998), "A generalized discepancy quadrature error bound", Math Comput, 67, pp. 299 - 322.
[2] H. Rabitz, O. Alis (1999), "General foundation of high - dimension model rep- resentaions", Journal of mathematical chemistry, 25, pp. 197 - 233".
[3] Hegland (2003), "Adaptive spare grids", ANZIAM J 44, C335 - C353.
[4] G. Wasilkowski , H. Woz’niakowski (1999), "Weighted tensor product algorithms for linear multivariate problems", J complexity 15, pp. 402 - 447.
[5] Imai,Tan (2006), "A general dimension reduction technique for derivative pric- ing", Journal of computaion finance 10 (2), pp. 129 -155.
[6] J. Bersten, T. Espelid, A. Genz (1991), "Algorithms 698: DCUHRE - An adaptive multidimensional integration routine for a vector of integrals", ACM Transac- tions on mathematical Software, 17, pp. 452 - 456.
[7] Michael Griebel, Markus Holtz (2010), "Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26, pp. 455 - 489.
[8] M. Griebel (2006), "Sparse grids and related approximation schemes for higher dimensional problems", in: L. Pardo, A. Pinkus, E.Suli, M. Todd (Eds), Found- taions of Computational Mathematics (FoCM05), Santander, Cambridge Uni- versity Press, pp. 106 -161.
[9] Ninomiya, S. Tezuka (1996), "Toward real - time pricing of complex financial derivatives", Applied Mathematical Finance 3, pp. 1 - 20.
[10] R. Caflisch, W.Morokoff, A. Owen (1997), "Valuation of Mortgage backed secu- rities using Brownian bridges to reduce effective dimention", J. Comp. Finance, 1, pp. 27 - 46. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[11] S. Paskov, J. Traub (1995), "Faster valuation of finance derivatives", J . Port- folio Management 22, pp. 113-120.
[12] T. Gerstner, M. Griebel (1998), "Numerical integration using spare grid", Nu- merical Algorithms 18, pp. 209 -232.
[13] T. Gerstner, M. Griebel (2003), "Dimension - adaptive tensor - product quadra- ture", computing 71 (1), pp. 65 -87.
[14] T. Hahn (2005), "Cuba - a library for mutidimensional numerical integration", Computer Physics Comumunications 168, pp.78 -95.
[15] X.Wang, K - T. Fang (2003), "The effective dimension and quasi - Monte Carlo integration", J complexity 19 (2), pp. 101 -124.
[16] Wang (2006), "On the effects of dimension reduction techniques on some high - dimensional problems in finance", Operator Reseach 54 (6), pp. 1063 -1078.