3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ KẾT QUẢ SỐ
3.4.1 Mô hình của bài toán
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét bài toán CMO như trong [10]. Cụ thể là chúng ta xét một đảm bảo thế chấp tài sản với kì hạnd tháng. Ta kí hiệu tk = ∆t.k với k = 1,2, ..., d, ở đây ∆t kí hiệu cho chiều dài chu kì của một tháng. Khi đó giá trị hiện tại của tổng tất cả tiền nợ được cho bởi
g(z) := d ∑ k=1 ukmk, ở đây uk := k−1 ∏ j=0 (1 +ij)−1
là yếu tố giảm giá cho tháng k, nó phụ thuộc vào tỉ lệ lãi suất ij. Tỉ lệ lãi suất ik
cho thángk được tính bởi công thức
ik :=K0keσ(z1+z2+....+zk)i0.
Trong đó các zj với j = 1,2, ..., d là các số ngẫu nhiên phân phối chuẩn đều. Ở đây
i0 là tỉ lệ lãi suất tại thời điểm ban đầu, σ là hằng số dương và K0 := e−σ2/2 sao cho E[ik] =i0. Tiền nợ hàng tháng tại thời điểm tk được cho bởi
mk :=crk((1−ωk) +ωkck), ở đây clà kí hiệu của tiền trả hàng tháng. Ngoài ra
ck := d−k ∑ j=0 (1 +i0)−j , rk := k−1 ∏ j=1 (1−ωj), ωk :=K1+K2arctan(K3ik+K4).
Ở đây rk là kí hiệu cho phần còn lại của thế chấp, phụ thuộc vào phần trả trướcωk
trong thángk. Hơn nữaK1, K2, K3, K4 là các hằng số đối với tỉ lệ thanh toán trước
ωk
Giá trị hiện tại của kì vọng của tổng tất cả tiện nợ có thể được viết như một tích phând chiều
P V := ∫
Rd
ở đây φd(z) := e−xT x/2
(2π)d/2 là hàm trọng Gauss.
Tiếp theo chúng ta tập trung vào hiệu quả tính toán bằng số của tích phân này. Theo các chuyên gia số học, chúng ta sử dụng các tham số i0 = 0.007, c = 1, K1 = 0.01, K2 = −0.005, K3 = 10, K4 = 0.5 và σ = 0.0004. Với d = 256 chúng ta giành được PV= 119.21588257.
3.4.2 Số chiều hiệu dụng
Bây giờ chúng ta sử dụng cùng một tham số như trong [12], đồng thời xem xét trường hợp d = 256. Đầu tiên chúng ta xem xét số chiều chồng chất trong trường hơp có điểm neo cho bài toán CMO. Chúng ta lại giành được ds 6 2 với mọiα ∈[0.9,0.9999] và tất cả các cách xây dựng con đường, nhìn vào bảng 3.4b. Số chiều chặt cụt của phương pháp này là được trình bày trong bảng 3.3b. Nó cho thấy rằng con đường xây dựng chỉ có một ảnh hưởng nhỏ vào số chiều chặt cụt trong trường hợp có điểm neo, tuy nhiên lợi thế của phương pháp BB, PCA, và LT khi so sánh với RW là không được rõ ràng cho bài toán CMO. Với α= 0.9 chúng ta có
dt = 123, trong trường hợp của RW và LT. Số chiều chặt cụt này được cắt giảm tới
dt = 18, vàdt= 13 tương ứng cho BB, PCA.
Tuy nhiên với yêu cầu độ chính xác cao hơn, ví dụ như α > 0.99thì tất cả các cách xậy dựng này hầu như cắt giảm không đáng kể thậm chí là không. Chú ý là với bài toán CMO, số chiều hiệu dụng trong trường hợp cổ điển rõ ràng là khác với số chiều chặt cụt trong trường hợp có điểm neo. Ở đó BB, PCA, và LT đưa ra việc cắt giảm số chiều đáng kể. Thậm chí LT có thể cắt giảm số chiều chồng chất tới một trong trường hợp cổ điển.
Hình 3.3: Số chiều chặt cụt của bài toán Vasicek và CMO.