. BD AB BE
3. AE.AB = AF AC.
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
Bài 3.
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn
Bài 4.
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đờng tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q.
1. Chứng minh rằng các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2. Chứng minh IP // OQ.
3. Chứng minh rằng AP = PQ.
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.
B i 5à
Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O . Từ A và B kẻ cỏc tiếp tuyến với đường trũn chỳng cắt nhau tại S ; K là một điểm lưu động trờn cung nhỏ AC. Trờn đoạn BK lấy một điểm H sao cho KH = KC .
a)Chứng minh tứ giỏc SAOB nội tiếp ; b)Tớnh gúc ASB ; c)Chứng tỏ ΔKHC đều
Bài 6
Cho (O) ; đường kớnh AB = 4 cm. Lấy điểm C trờn (O) sao cho gúc CAB = 30° , tia CO cắt (O) tại D . Tớnh :
a/ Độ dài cung nhỏ BmDẳ
b/ Diện tớch hỡnh quạt trũn OBmD
Bài 7
Cho ∆ABC cú Â = 90° ; AB < AC ; đường cao AH. trờn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE ⊥ AD ( E ∈ AD ). CMR :
a/ Tứ giỏc AHEC nội tiếp. Xỏc định tõm O của đường trũn này b/ AB là tiếp tuyến của (O)
c/ CH là phõn giỏc của ãAEC
d/ Tớnh S hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn thẳng CA ; CH và cung nhỏ AH của (O). Biết AC = 8 cm ; ãACB= 30°
Bài 8
Cho ∆ đều BCD ngoại tiếp (O ;R).Gọi M ; N là cỏc tiếp điểm trờn BC ; BD . Tia OB cắt (O) ở I
a) Chứng minh rằng BMON là tứ giỏc nội tiếp
b) Chứng minh I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BMON c) Tớnh độ dài cung nhỏ MN của ( O )
III. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. GÓC Ở TÂM. 1. GÓC Ở TÂM.
2. GÓC Nệ̃I TIấ́P.
3. GÓC TẠO BỞI TIA TIấ́P TUYấ́N VÀ Mệ̃T DÂY.
4. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BấN TRONG,GÓC CÓ ĐỈNH Ở BấN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
Vỡ dụ 1:
Cho đường trũn (O) và một điểm P ở ngoài đường trũn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C≠A). Đoạn PC cắt đường trũn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E.
a. Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD.
b. Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB. HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vỡ: BEAã chung
EABã = EBDã (gúc nội tiếp và gúc tạo bởi tia tiếp tuyến…) EB ED
EA EB
⇒ = ⇒ EB2 = EA.ED (1)
* EPDã = PCAã (s.l.t) ; EAPã = PCAã (gúc nội tiếp và gúc tạo bởi tia tiếp tuyến…) ⇒ EPDã = EAPã ; PEAã chung ⇒ ∆EPD ~ ∆EAP (g.g)
EP ED
EA EP
⇒ = ⇒ EP2 = EA.ED (2)Từ 1 & 2 ⇒ EB2 = EP2 ⇒ EB = EP ⇒ AE là trung tuyến ∆ PAB.
Vớdụ 2:
Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai đường kớnh AB, CD vuụng gúc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N.
a. Chứng minh: tia MD là phõn giỏc của gúc AMB.
b. Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA. Chứng minh: BM.BN khụng đổi.
c. Chứng minh: tứ giỏc ONMA nội tiếp. Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ONMA, I di động như thế nào?
HD: a) ã ã 0
AMD DMB 45= = (chắn cung ẳ đ/trũn) ⇒ MD là tia phõn giỏc AMBã
b) ∆ OMB cõn vỡ OM = OB = R(O)
∆ NAB cõn cú NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến. ⇒∆ OMB ~ ∆ NAB
⇒ BM BO