Sự độc lập của C −AGP đối với AGP và thực tế rằng C −AGP
không bao hàm ’KKT hoặc not-CPLD’ khiến chúng ta suy nghĩ rằng
AGP về cơ bản là điều kiện tối ưu theo dãy mạnh nhất mà có thể đạt được bởi thuật toán tối ưu số. Tuy nhiên, một điều kiện AGP-like mạnh hơn có thể được sử dụng trong các trường hợp rất phổ biến: Khi một vài ràng buộc để xác định tập chấp nhận được là tuyến tính. Ta nói rằng một điểm chấp nhận được x∗ thỏa mãn điều kiện AGP-tuyến tính(L-AGP)
hàm afin. Trạng thái của L−AGP có thể được rút ra từ việc quan sát đã được thực hiện trong bài này. Phản ví dụ (2.4) có thể được sử dụng để chỉ ra rằng AGP không bao hàm L −AGP. Mặt khác, nếu điểm x∗
thỏa mãn L − AGP, dãy tương ứng {xk} có thể được sử dụng để chỉ ra AGP cũng thỏa mãn. Nói cách khác, L−AGP chặt hơn AGP. Điều này hỗ trợ quan điểm rằng, nếu một bài toán tối ưu hóa có ràng buộc tuyến tính, nó là hợp lý để bảo toàn tính chấp nhận được đối với chúng, tuyến bố hội tụ khi tiêu chuẩn AGP thỏa mãn với một vài cho phép. Mặt khác, dùng tiêu chuẩn giống nhau với ràng buộc lồi chung dường như không có ưu thế đặc biệt.
Cần nhắc lại là trong [5], điều kiện L-AGP được sử dụng (với tên
AGP) trong việc kết nối với bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng. Trong bài báo đó người ta đã chỉ ra rằng nếu một thuật toán mà theo lý thuyết hội tụ đến điểm L −AGP dẫn đến điểm không suy biến chấp nhận được, khi đó điểm này là KKT.
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận: "Các điều kiện tối ưu theo dãy cho bài toán tối ưu trơn với ràng buộc phiếm hàm". Khóa luận đã giải quyết các vấn đề cơ bản sau:
• Trình bày một cách cơ bản nhất về lý thuyết cơ sở trong giải tích lồi như: Tập lồi, hình chiếu, nón, hàm lồi, hàm lồi khả vi và dưới vi phân cùng các tính chất đặc trưng của chúng.
• Trình bày về bài toán tối ưu trơn có ràng buộc và các điều kiện tối ưu cho lớp bài toán trên.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Huỳnh Thế Hùng, "Cơ sở giải tích lồi", NXB Giáo dục 2012. [B] Tài liệu tiếng Anh
[2] Roberto Andreani, Gabriel Haeser, J. M. Martínez(2011), "On se- quential optimality conditions for smooth constrained optimiza- tion", Optimization.
[3] J. Abadie(ed.),On the Kuhn-Tucker theorem, inNonlinear Program- ming(NATO Summer School, Menton, 1964), Amsterdam, North Holland, 1967, pp. 19-36.
[4] R. Andreani, E.G. Birgin, J.M. Martínez, and M.L. Schuverdt,
On augmented Lagrangian methods with genneral lower-lever con- straints, SIAM J. Optim. 18 (2007), pp. 1286-1309.
[5] R. Andreani and J.M. Martínez, On the solution of mathematical programming problems with equilibrium constraints, Math. Method Oper. Res. 54 (2001), pp. 345-358.
[6] R. Andreani, J.M. Martínez, L. Martínez, and F. Yano, Continu- ous optimization methods for structure alignments, Math. Prog. 112 (2008), pp. 93-124.
[7] R. Andreani, J.M. Martínez, L. Martínez, and F.S. Yano, Low order- value optimization and application, J. Global Optim. 43 (2009), pp. 1-10.
[8] R. Andreani, J.M. Martínez, and M.L. Schuverdt, On the rela- tion between the constant positive linear dependence condition and quasinormality constraint qualification, J. Optim. Theory Appl. 125 (2005), pp. 473-485.
[9] D.P. Bertsekas, Nonlinear Programming, 2nd ed., Athena Scientific, Belmont, MA, 1999.
[10] E.G. Birgin and J.M. Martínez, Local convergence of an inexact- restoration methods and numerical experiments, J. Optim. Theory Appl. 127 (2005), pp. 229-247.
[11] A.R. Conn, N.I.M. Gould, and Ph.L. Toint, Trust Region Methods, MPS/SIAM Series on Optimization, SIAM, Philadelphia, 2000. [12] S. Dempe, Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 2002.
[13] F. Facchinei and J.-S. Pang,Finite-dimensional Variational Inequal- ities and Complementarity Problem, Vols. I and II, Springer, New York, 2003.
[14] A.V. Fiacco and G.P. McCormick, Nonlinear programming: Se- quential Unconstrained Minimization Techniques, Wiley, New York, 1968.
[15] A. Fischer and A. Friedlander,A new line search inexact restoration approach for nonlinear programming, to appear in Comput. Optim. Appl., doi: 10.1007/s10589-009-9267-0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[16] R. Fretcher, Practical Methods of Opitimization Acedemic Press, London, 1987.
[17] R. Gárciga Otero and B. F. Svaiter, A new condition characterizing solutions of varational inequality problems, J. Optim. Theory Appl. 137 (2008), pp. 89-98.
[18] F.A.M. Gomes, A sequential quadratic programming algorithm that combines merit function and filter ideas, Comput. Appl. Math. 26 (2007), pp. 337-379.
[19] M.A. Gomes-Ruggiero, J.M. Martínez, and S.A. Santos, Spectral projected gradient method with inexact restoration for minimization with nonconvex constraints , SIAM J. Sci. Comput. 31 (2009), pp. 1628-1652.
[20] C.C. Gonzaga, E.W. Karas, and M. Vanti, A globally convergent filter method for nonlinear programming, SIAM J. Optim. 14 (2003), pp. 646-669.
[21] L.M. Grana Drummond and B.F. Svaiter,A steepest descent method for vector optimization, J. Comput. Appl. Math. 175 (2005),pp. 395- 414.
[22] M. Guignard,Generalized Kuhn-Tucker conditions for mathematical programming in a Banach spaces, SIAM J. Control 7 (1969),pp. 232- 241.
[23] G. Haeser, Condicoes sequenciais de otimalidade, Tese de Doutorado, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas, Brazil, 2009.
[24] A.N. Iusem and M. Nasri, Inexact proximal point methods for equi- librium problems in Banach spaces, Numer. Functional Anal. Optim. 28 (2007),pp. 1279-1308.
[25] E.W. Karas, E.A. Pilottal, and A.A.Ribeiro, Numerical compari- sion of merit function with filter criterion in inexact restoration algorithms using hard-spheres problems, Comput. Optim. Appl. 44 (2009),pp. 427-441.
[26] C.Y. Kaya and J.M. Martínez, Euler discretization and inexact restoration for optimal control, J. Optim. Theory Appl. 134 (2007), pp. 191-206.
[27] O.L. Mangasarian and S. Fromovitz,The Fritz-Jonh necessary opti- mality conditions in presence of equality and inequality constraints, J. Math. Anal. Appl. 17(1967), pp. 37-47.
[28] J.M. Martínez, Inexact restoration method with Lagrangiant tangent decrease and new merit function for nonlinear programming, J. Op- tim. Theory Appl. 111 (2001), pp. 39-58.
[29] J.M. Martínez and E.A. Pilotta, Inexact restoration algorithms for contrained optimization, J. Optim. Theory Appl. 104 (2000), pp. 135-163.
[30] J.M. Martínez and B.F. Svaiter, A practical optimality condition without constraint qualifications for nonlinear programming, J. Op- tim. Theory Appl. 118 (2003), pp. 117-133.
[31] J. Nocedal and S.J. Wright, Numerical Optimization, Springger, New York, 1999.
[32] L. Qi and Z. Wei, On the constant positive linear dependence condi- tion and its application to SQP methods, SIAM J. Optim. 10 (2000), pp. 963-981.
[33] R.T. Rockafellar, Lagrange multipliers and optimality , SIAM Rev. 35 (1993), pp. 183-238.
[34] M.L. Schuverdt, Métodos de Lagrangiano Aumentado com con- vergência usando a condicao de dependéncia linear positiva con- stante, Tese de Doutorado, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Estadual de Campinas, 2006.
[35] C. Shen, W. Xue, and D. Pu, A filter SQP algorithm without a feasibility retoration phase, Comput. Appl. Math. 28 (2009), pp. 167-194.
[36] A. Ruszczy´nski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, Princeton 2006.