Trong phần này, ta chứng tỏ rằng AKKT(I) bao hàm ‘KKT hoặc not-CPLD’, trong đóCP LD là ràng buộc chính quy phụ thuộc vào hằng số tuyến tính dương.
Ta nói rằng điểm chấp nhận được x thỏa mãn điều kiện CPLD
nếu tính chất sau được thỏa mãn: Nếu i1, ..., iq ∈ {1, ..., m} và j1, ..., jr ∈ {1, ..., p} thì gjl(x) = 0, l = 1, ..., r và các gradient ∇hi1(x), ...,∇hiq(x),
∇gj1(x), ...,∇gjr(x)là phụ thuộc tuyến tính với các hệ số không âm tương ứng với các gradient của bất đẳng thức, khi đó tồn tại một lân cận V
củaxsao cho∇hi1(z), ...,∇hiq(z),∇gj1(z), ...,∇gjr(z)là phụ thuộc tuyến tính với mọi z ∈ V. Điều kiện CPLD được giới thiệu trong [32] và những trường hợp của nó là một ràng buộc chính quy được làm sáng tỏ trong [8].
Mỗi cực tiểu địa phương thỏa mãn CP LD nhất thiết phải thỏa mãn các điều kiện KKT [8]. Điều này nghĩa là ‘KKT hoặc not-CPLD’
là một điều kiện tối ưu cần. Điều kiện này được thỏa mãn bởi điểm giới hạn chấp nhận được bất kì của Algencan [4]. Vì CP LD yếu hơn ràng buộc chính quy Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) [27], điều kiện tối ưu
‘KKT hoặc not-CPLD’ mạnh hơn điều kiện Fritz-Jonh, mà có thể được biểu thị dưới dạng ‘KKT hoặc not-MFCQ’ [33].
Ở đây, ta sẽ chứng tỏ rằng AKKT(I) chặt hơn ‘KKT hoặc not- CPLD’. Trước khi đi chứng minh AKKT(I) bao hàm ‘KKT hoặc not- CPLD’ ta hãy chỉ ra rằng điều ngược lại là không đúng. Trên thực tế, ví dụ dưới đây chỉ ra rằng điều này là trường hợp cho một rằng buộc chính quy CQ tùy ý. Các ràng buộc chính quy tổng quát hơn bao gồm Guignard’s [22], Abadie’s [3] và chúng được khảo sát trong [9]. Phản ví
dụ dưới đây chỉ ra rằng, đặc biệt ‘KKT hoặc not-CPLD’ không bao hàm
AKKT.
Ví dụ 2.2. ‘KKT hoặc not-CQ’ không bao hàm AKKT. Nhắc lại rằng, với mỗi cực tiểu địa phương x∗ mà thỏa mãn một ràng buộc chính quy thì nhất thiết phải thỏa mãn các điều kiện KKT. Xét bài toán quy hoạch phi tuyến mà tập chấp nhận được là {x ∈ R2 | x21 = 0}. Không có điểm chấp nhận được thỏa mãn bất kì ràng buộc chính quy nào. Để xác minh điều này, ta xét hàm mục tiêu f1(x1, x2) = x1. Mặc dù tất cả các điểm chấp nhận được là các cực tiểu thì gradient của f1 không bao giờ là một tổ hợp tuyến tính của gradient ràng buộc, do đó các cực tiểu địa phương không là các điểm KKT. Điều này nghĩa là, tính độc lập của hàm mục tiêu và ràng buộc chính quy và tất cả các điểm chấp nhận được thỏa mãn ‘KKT hoặc not-CQ’. Bây giờ, ta xét hàm mục tiêu
f(x1, x2) = x2. Suy ra, ∇f(x) = (0,1)T với mọi x và ∇h(x) là một bội của (1,0)T với mọi x, nó chỉ ra rằng k∇f(x) +λ∇h(x)k luôn bị chặn dưới bởi 0 với mọi x. Do đó, ∇f(xk) +λk∇h(xk) không thể tiến tới không. Vì vậy, không có điểm chấp nhận được thỏa mãn AKKT.
Định lý 2.2. AKKT(I) bao hàm ‘KKT hoặc not-CPLD’.
Chứng minh. Giả sử rằng x∗ thỏa mãn AKKT(I) và CP LD. Do đó, tồn tại các dãy {xk} ⊂ Rn,{λk} ⊂ Rm,{µk} ⊂ Rp+,{εk} ⊂ R+ sao cho
xk →x∗, εk → 0 thỏa mãn (2.5) và (2.6). (Chúng ta không cần sử dụng (2.7) cho chứng minh này.) Do đó, xk, x∗, λk, µk thỏa mãn các điều kiện đã sử dụng trong Định lý 4.5 của [4] với việc chứng minh KKT cho Algencan. Vì vậy, ta có thể sử dụng lại các đối số của định lý đó để chứng minh rằng x∗ thỏa mãn KKT.