Các điều kiện chiếu gradient gần đúng (AGP) được đưa vào [30], ở đó, các tác giả thấy rằng AGP là điều kiện tối ưu mà phù hợp với tiêu chuẩn dừng một cách tự nhiên cho các phương pháp khôi phục không chính xác [10, 15, 19, 20, 25, 26, 28, 29].
Cho γ ∈ (0,∞]. Ta nói rằng điểm chấp nhận được x∗ của bài toán (2.1) thỏa mãn điều kiện AGP(γ) đã đưa vào [30] khi đó tồn tại một dãy {xk} tiến tới x∗ và thỏa mãn
lim
k→∞
PΩk(xk − ∇f(xk))−xk= 0, (2.17) trong đó Ωk là tập của các điểm x ∈ Rn đã định nghĩa bởi
∇hi(xk)T(x−xk) = 0 với mọi i = 1, ..., m, (2.18) ∇gj(xk)T(x−xk) ≤ 0 với mọi j | gj(xk) ≥0 (2.19) và
gj(xk) +∇gj(xk)T(x−xk) ≤0 với mọi j | −γ < gj(xk) < 0. (2.20) Martínez và Svaiter [30] đã chứng minh rằng AGP(γ) là một điều kiện tối ưu (mọi cực tiểu địa phương thỏa mãn nó) và AGP(γ) tương đương với AGP(γ0) với mọi γ, γ0 ∈ (0,∞]. Với lý do này, chúng ta sẽ viết AGP
thay cho AGP(γ). Trong [30] cũng đã chứng minh rằng AGP bao hàm
điều kiện Fritz-John (KKT hoặc not-MFCQ). Kết quả mạnh hơn làAGP
bao hàm ‘KKT hoặc not-CPLD’ dường như được chứng minh lần đầu tiên trong [19].
Nếu {xk} là một dãy được tạo ra bởi một thuật toán tối ưu hóa, tiêu chuẩn dừng một cách tự nhiên tương ứng với AGP được đưa ra bởi
(2.9) và
PΩk(xk− ∇f(xk))−xk ≤ εopt.
Thật dễ dàng để chứng minh rằng AGP bao hàm AKKT [34]. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, phản ví dụ dưới đây sẽ chỉ ra. Do đó, AGP là điều kiện tối ưu mạnh hơn AKKT.
Ví dụ 2.3. AKKT không bao hàm AGP. Xét bài toán
Min f(x1, x2) với ràng buộc h(x1, x2) = 0, g(x1, x2) ≤ 0,
trong đó
f(x1, x2) = −x2, h(x1, x2) = x1x2, g(x1, x2) = −x1.
Đặt x∗ = (0,1)T. Đầu tiên, ta chỉ ra được rằng x∗ không thỏa mãn
AGP.
Giả sử rằng xk → x∗. Nếu xk1 > 0 thì tập Ωk được định nghĩa bởi (2.18)-(2.20) là giao của nửa không gian x1 ≥ 0 với tiếp tuyến tới
h(x1, x2) = h(xk1, xk2) đi qua xk. Đường này có xu hướng thẳng đứng khi
xk tiến gần đến x∗. Do đó, PΩk(xk− ∇f(xk))−xk tiến tới (0,1)T. Tương tự, nếu xk1 < 0 thì tập Ωk là nửa không gian x1 ≥ xk1 giao với đường tiếp tuyến tới h(x1, x2) = xk1xk2 đi qua xk. Vì vậy, PΩk(xk− ∇f(xk))−xk
tiến tới (0,1)T. Do đó, cho dãy bất kì xk → x∗,PΩk(xk − ∇f(xk))−xk
không thể tiến tới không. Như một hệ quả, x∗ không thỏa mãn AGP. Tiếp theo, ta chỉ ra rằng x∗ thỏa mãn AKKT. Đặt
Do đó, với mọi k ∈ N ta có∇f(xk) +∇h(xk)λk+∇g(xk)µk = (0,−1)T+ (1,1/k)Tk+ (−1,0)Tk = 0. Vì g(x∗) = 0, ta có (2.2)- (2.4) thỏa mãn, vì vậy x∗ thỏa mãn AKKT.
Một biến thể của điều kiện AGP được sử dụng trong các tài liệu với phương pháp khôi phục không chính xác [15, 20, 28]và quy hoạch toán học với ràng buộc bổ sung [7] mà không đề cập đến rằng biến thể này không tương đương với điều kiện AGP ban đầu được đưa ra trong [30]. Nói chung, biến thể đó bao gồm một vài ràng buộc tiếp tuyến của bài toán (2.1) trong định nghĩa của Ωk, áp đặt rằng ràng buộc đó phải được thỏa mãn bởi xk với mọi k ∈ N. Trong nhiều năm, các tác giả tin rằng tất cả các điều kiện tối ưu theo dãy đó (bao gồm AKKT) là tương đương. Chúng ta sẽ thấy rằng đây không phải là trường hợp này.