2 Borno đủ
2.2.5. Không gian véctơ topo đủ theo borno
Mục đích của mục này đưa ra một tiêu chuẩn đơn giản (qua sự hội tụ của dãy) để borno Newmann của một không gian véctơ lồi địa phương tách là đủ.
Định nghĩa 2.4. Không gian lồi địa phương tách E được gọi là không gian đủ borno nếu borno Newmann của nó là đủ.
Định nghĩa 2.5. Giả sử E là một không gian borno lồi tách. Dãy (xn)
trong E được gọi là dãy Cauchy borno (hoặc dãy Cauchy-Mackey) trong
E nếu tồn tại một đĩa bị chặn B ⊂ E sao cho (xn) là một dãy Cauchy trong EB.
Nếu E là một không gian borno lồi địa phương ta nói dãy Cauchy-Mackey trong E là dãy Cauchy-Mackey trong E với borno Newmann.
Mệnh đề 2.9. Không gian lồi địa phương tách E là đủ borno khi (và chỉ khi) mọi dãy Cauchy-Mackey trong E đều hội tụ theo topo.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Vì không gian lồi địa phương tách E là đủ borno khi (và chỉ khi) mọi dãy Cauchy-Mackey trong E đều hội tụ theo topo. Nếu một không gian lồi địa phương là đủ borno thì mọi dãy Mackey-Cauchy đều hội tụ borno vì theo Định nghĩa 2.5 ta có thể chọn B là đĩa sinh đủ.
Điều kiện đủ: Ta chỉ cần chứng minh với các không gian borno lồi chứa borno Newmann của không gian lồi địa phương. Khi đó giả sử B là một cơ sở của borno Newmann của E gồm các đĩa đóng. Ta cần chứng minh mọi phần tử của B đều sinh đủ.
Thật vậy, giả sử A ∈ B và là một dãy Cauchy trong EA. Khi đó, (xn) là một dãy Cauchy-Mackey trongE và theo giả thuyết(xn) hội tụ theo topo tới điểm x ∈ E.
Vì A đóng nên x ∈ EA và (xn) hội tụ tới x trong EA và ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.5. Một không gian véctơ topo lồi địa phương tách E có mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì nó là không gian đủ borno.
Chứng minh. Do mọi dãy Cauchy-Mackey trong E đều là dãy Cauchy nên theo Mệnh đề 2.1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.2. Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán của giải tích làm thì chỉ cần tính đủ borno là đủ.
Kết luận
Trong đề tài này em đã tập trung tìm hiểu về tính đủ của borno trên các không gian véctơ, không gian véctơ topo và không gian định chuẩn. Nội dung chính của đề tài đã trình bày được:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan không gian véctơ và lý thuyết borno.
Chương 2. Borno.
Chương này trình bày về tính đủ của borno trên các không gian. Do thời gian tìm hiểu đề tài không có nhiều và trình độ có hạn nên đề tài của em không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giáo trình giải tích hàm, NXB Giáo dục. [2] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] Leopoldo Nachbin (1977), Bornologies and Function Analysis, North - Holland.