2 Borno đủ
2.2.4.Borno đủ liên kết với một borno véctơ tách
Mọi không gian véctơ borno tách E đều liên kết với một không gian borno lồi đủ E0, đồng nhất về mặt đại số với E và có tính chất "đồng dạng" sau đây: "Mọi ánh xạ tuyến tính bị chặn từ một không gian borno lồi đủ F vào E đều là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ F vào E0 ". Vì vậy trong mọi vấn đề cần tới tính đầy đủ, ta thường dùng E0 thay cho E.
Bổ đề 2.3. Họ B tất cả các đĩa bị chặn sinh đủ của một không gian véctơ borno tách E là một cơ sở của một borno đủ trên E.
phép lấy tổng các véctơ và phép nhân với vô hướng.
Trước tiên ta chứng minh B phủ E. Thật vậy mọi điểm của E đều nằm trong một đĩa bị chặn hữu hạn chiều nên thuộc một đĩa sinh đủ (theo Định lý 2.1). Tiếp theo vì tổng của hai đĩa bị chặn sinh đủ A và B là một đĩa bị chặn sinh đủ nên EA+B đẳng cự với không gian thương tách của không gian Banach EA +EB (theo Mệnh đề 1.1). Cuối cùng, phép nhân với vô hướng các phần tử củaB đều thuộcB. Do đó Bổ đề được chứng minh. Mệnh đề 2.8. Giả sử E là một không gian véctơ borno tách, E0 là không gian véctơ. E được trang bị borno có họ tất cả các đĩa bị chặn sinh đủ của
E là cơ sở. Gọi i : E0 →E là phép nhúng chính tắc thì i là tuyến tính và bị chặn. Khi đó cặp (E0, i) có các tính chất sau:
(i) E0 là một không gian véctơ borno lồi đủ.
(ii) Mọi ánh xạ tuyến tính bị chặn u từ một không gian borno lồi đủ F
vào E đều tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính bị chặn u0 : F → E0
sao cho u = i◦u0.
Chứng minh. (i) Hiển nhiên (theo Định nghĩa của E0 ở Bổ đề 2.1).
(ii) Ta thấy ảnh của một đĩa bị chặn sinh đủ qua ánh xạ tuyến tính bị chặn u trong F là bị chặn trong E và sinh đủ (Mệnh đề 2.2). Do đó nó bị chặn trong E0. Gọi u0 là ánh xạ u từ F vào E0.
Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.3. Với kí hiệu như trong Mệnh đề 2.8,E0 được gọi là không gian borno lồi đủ liên kết với E.