2 Borno đủ
2.2.3. Không gian véctơ borno tách hữu hạn chiều
Tong Mục này ta chứng minh sai khác một đẳng cấu borno trong không gian Kn với borno chính tắc là không gian véctơ borno tách duy nhất có số chiều n(n ∈ N∗). Kết quả này tương tự với kết quả đã biết trong không gian véctơ topo tách.
Bổ đề 2.1. Mọi không gian véctơ borno tách E có số chiều 1 đều đẳng cấu borno với trường K trang bị borno chính tắc.
Chứng minh. Giả sử a ∈ E, a 6= 0 ánh xạ tuyến tính
u :E −→ K λa 7−→ λ
là một đẳng cấu đại số có ánh xạ ngược
u : K −→ E λ 7−→ λa
là ánh xạ bị chặn.
Ở đây ta cần chứng minh u là bị chặn. Thật vậy, giả sử ngược lại B là một tập con bị chặn, tròn củaE với u(B) không bị chặn. Mà K chỉ có một tập con không bị chặn, tròn duy nhất là K nên u(B) =K ⇒ B = E.
Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì E là không gian tách và B bị chặn. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.2. Giả sử E là một không gian véctơ borno. Mọi không gian con một chiều D của E mà là phần bù đại số của một siêu phẳng b-đóng
Chứng minh. Ta thấy {0} là b-đóng trong D vì {0} là giao của D và siêu phẳng b-đóng H. Do đó D là tách đối với borno cảm sinh từ E (Mệnh đề 1.6). Vì E/H là tách đối với borno thương (Mệnh đề 1.7) nên đẳng cấu đại số chính tắc giữa D và E/H cũng là một đẳng cấu borno (theo Bổ đề 2.1). Do đó ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1. Mọi không gian véctơ borno tách E có số chiều là n đều đẳng cấu borno với Kn trong đó K là trường vô hướng và được trang bị borno chính tắc.
Chứng minh. Với n=1 thì định lý là hiển nhiên (theo Bổ đề 2.1).
Giả sử định lý đúng với số chiều là n −1. Ta phải chứng minh định lý đúng với số chiều n. Thật vậy mọi siêu phẳng trong E đều là một không gian véctơ borno tách n−1 chiều với borno cảm sinh. Do đó nó đẳng cấu với Kn−1 (theo giả thiết). Nên Kn−1 là đủ.
Mặt khác vì hình cầu đơn vị của nó là tập compact nên là sinh đủ (theo Hệ quả của Mệnh đề 1, Mục 3.1). Do đó H-đủ. Theo Mệnh đề 2.4, nó b-đóng trong E. Theo Bổ đề 2.2, mọi phần bù đại số D của H cũng là phần bù borno nên E đẳng cấu borno với H L
D và do đó với Kn−1L
K = Kn. Vậy định lý được chứng minh.