Bài toán tìm tập điểm

2.2.4.1. M ột số vỉ dụ

Vỉ du 1: Cho góc xOy, trên Ox lấy hai điếm Ay B; trên Oy lấy hai điểm c , D. hãy tìm trong xO y tập hợp tất cả các điểm M sao cho Smab = Smcd-

Lời giải

Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm K và L sao cho OK = AB, OL = CD.

K h i đ ó d ê th â y : Smab = Smok v à Smcd = Smol

T ừ g iả th iế t s u y ra Smok = Smol

V ậ y b à i to á n c h u y ê n v ê tìm tậ p h ợ p M tro n g x O y sa o c h o Smok = Smol

Gọi I là trung điểm của KL. Khi đó ta có ngay Siok = Siol => Khoảng cách từ K đến OI bằng khoảng cách từ L đến OI.

Dựng tia Ot qua I. Khi đó với mọi M thuộc tia Ot thì khoảng cách từ K đến OM bằng khoảng cách từ L đến OM.

V ạ y Smok = Smol

Ngược lại, với mọi M ’ không nằm trên tia Ot thì SM’OK = SM’OL

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán là tia Ot đi qua trung điểm I của KL.

Nhân xét

• Từ bài toán trên, nếu ta thay đổi yêu cầu Smok = Sm ol bằng

S m o k = 2 S m o l t h ì ta đ ư ợ c b à i t o á n :

“Cho góc xOy, trên Ox lấy hai điềm A, B; trên Oy lấy hai điềm c , D. Hãy tìm trong xOy tập hợp tất cả các điếm M sao cho Smab = 2Smcd■ ”

Với cách giải hoàn toàn tương tụ’ ví dụ 1

Hướng dẫn

Lấy K e Ox, L e Oy sao cho OK = AB, OL = CD

= > Sm ok = 2 Sm ol

Dựng I nằm trên đoạn KL sao cho KI = 2KL Khi đó tập họp tập M cần tìm là tia Ot đi qua I.

•V ậy nếu thay “ 1” bởi “m” ta được bài toán tổng quát:

“C/zỡ góc xOy, trên Ox lầy hai điêm A, B; trên Oỵ lây hai điêm c , D. Hãy tìm trong góc xOy tập họp tất cả các điêm M sao cho Smab - mSMCD•”

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

• Từ kết quả ví dụ 1 ta có thế mở rộng sang bài toán sau:

Vỉ du 2: Cho hai đường thẳng x x ’ v à y y ’ cát nhau tại

o.

Lời giải

y’

Trên XX’ l ấ y hai điểm K, K ’ sao cho OK = O K ’ = AB. Trên y y ’ lấy hai điểm L, L ’ sao cho OL = O L ’ = CD.

= > Smok = Smok’ = Smab v à Smol = Smol’ = Smcd

^ Smok = Sm ol, Sm ok’ = Sm ol, Smok = S m o ls Sm ok’ = S m o l’

Từ cách dựng ta thấy K LK ’L ’ là hình bình hành.

Gọi I, I ’,

J, J’

IJ,

I ’J ’ song song v ớ i c á c cạnh c ủ a hình b ìn h h à n h v à c ắ t n h a u tạ i o .

Áp dụng ví dụ 1 cho xOy, xOy', x'Oy, x'Oy' ta được các điểm M thỏa mãn là cặp đường thẳng IJ và I ’J \

Nhân xét

• Xét bài toán tương tự:

“Cho AABC, tìm trên mặt phang các điếm M sao cho Sm b c = Sm a c = Sm a b ”

p

Q

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Qua A, B, c theo thứ tự kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB.

Chúng cắt nhau tạo tại ba điểm lần lượt là p, ọ , R. => AQ, BP, CỌ đồng quy tại G.

Vậy các điểm M thỏa mãn là G, p, Q, R.

• Từ kết quả của ví dụ 2 , có các bài toán mở rộng sau:

1 .Cho tứ giác ABCD, Biết rằng trong tứ giác tồn tại điếm

o

2. Cho hình bình hành ABCD, trên các cạnh AB và AD theo thứ tự lẩy các điêm M, N. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điềm của MN, NC, CM. Chứng minh rang ẢI, BK, D J đồng quy.

Ví du 3 : Cho tam giác A B C cố định, điếm M thỏa mãn tích chất diện tích tam giác MAB bằng diện tích tam giác MAC. Tìm quỹ tích của điếm M.

Lời giải Từ kết quả ví dụ 2 ta suy ra < M e AQ [M = G M e P R M = p M E CP M = Q M e Q R |_M = R

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

c

M

Gọi B ’, C ’ lần lượt là hình chiếu của B và

c

Theo bài ta có Sm a b = Sm a c suy ra —MA.BB' = -M A .C C ' => B B ’ = C C ’

2 2

Ta xét hai trường họp sau:

Trường hop 7: M thuộc miên trong BAC hoặc góc đôi đỉnh với nó, tức là B và

c

Khi đó đường thẳng AM cắt đoạn thẳng BC ở I

Phần thuận:

Do B B ’ = CC ’, B B ’ // C C ’ (cùng vuông góc với AM ) nên tú' giác B B ’C C ’ là hình bình hành.

Suy ra I là trung điểm của BC hay AI là đường trung tuyến của ÀABC. Vậy M thuộc đường trung tuyến AI của AABC.

Giả sử M thuộc đường trung tuyến AI của AABC, khi đó ta phải chúng minh Sm a b = Sm a c- Thật vậy:

Cộng hai vế của ( 1 ) và ( 2 ) ta c ó Sabĩ + Sm bĩ = Sacĩ + Smcĩ = > Sm a b = Sm a c

Vậy quỹ tích của M trong trường họp này là đường trung tuyến AI của

Phần đảo

Vì I là trung điểm BC nên ta có Sabi = Saci

M thuộc AI nên Smbi = Smcĩ

(1) (2)

Trường hơp 2 \ M thuộc miền trong góc kề bù với B A C , tức là B và

c

nằm cùng phía với AM.

Phẩn thuận

Do B B ’ = C C ’, B B ’ // C C ’ (cùng vuông góc với AM) nên tứ giác B B ’C C ’ là hình bình hành.

=> AM // BC

=> M thuộc đường thẳng d đi qua A và song song với BC.

Phần đảo

Ta phải chứng minh với mọi điểm M nằm trên đường thẳng d đi qua A và

so n g so n g v ớ i BC th ì Smab = Smac

Thật vậy khi đó ta có AM // BC nên từ B B ’ 1 AM và CC ’ 1 AM

Từ (1) và (2) suy ra Sm a b = Smac

Vậy quỹ tích của M là đường thắng d đi qua A và song song với BC.

K ế t lu ân

Quỹ tích điểm M là đường thẳng chứa đường trung tuyến AI của ÀABC và đường thắng d đi qua A và song song với BC ( trừ điểm A)

Ví du 4: Cho tứ giác ABCD, E là giao điếm của AB và CD, I và K theo thứ tự là trung điếm của BD và ẢC. Điếm M thuộc miền trong của tứ giác

c ó t ín h c h ấ t Sm ab + S „ CD =

1

=> B B ’ = C C ’ (1)

Lại có S m ab = B B '. AM c

2

c c \

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

A

D

c

Phần thuận

Với I, K lần lượt là trung điểm của BD và AC nên ta có

Suy ra I và K là hai điểm thuộc tập hợp cần tìm.

Ta sẽ chứng minh rằng M thuộc đoạn thẳng IK. Thật vậy:

Trên tia EA lấy điểm G sao cho EG = AB, trên tia ED lấy điểm H sao cho EH = CD. Khi đó ta có:

Từ( l ) , (2), (3) suy ra _{Sthg + Sehg - Skhg + Sehg - Smhg + Sehg}

h a y SiHG = Skhg = Smhg

Do đó khoảng cách từ I, K, G đến HG như nhau nên I, K, M thuộc cùng một đường thẳng song song với HG. Vì M thuộc miền trong của tứ giác nên M nằm trên đường thắng IK thuộc miền tứ giác ABCD.

(1)

(2)

Smhg + S ehg - Smheg - Smhe + Smge - Smcd + Smab - — S ab cd ( 3 )

Ta sẽ chứng minh với mọi điểm M nằm trên đường thắng IK thuộc miền tứ

g iá c ABCD

thì

Vì K là trung điếm AC nên ta có SiAK = Sick và Sm a k = Smck

=> SiAK - Smak - Sick - Smck

=> SiAM = Sicm ( 1 ’)

Vì I là trung điểm của BD nên SiBM = SiDM (2’)

Ta có Smab = SiABM - SiMA = Sabi + SiBM - SiMA (3’)

Smcd = SiDCM - SiMD = Scdi + SiCM - SiMD ( 4 ’)

Cộng h a i vế của (3’) và (4’) ta có:

Smcd + Smab - Sabi + SiBM - SiMA + Scdi + SiCM - SiMD

Từ (1 ’) và (2’) suy ra S m c d + S m a b = S a b i + S c d i = “ S a b c d

Kết luân

Quỹ tích điểm M là đường thẳng IK thuộc miền tú’ giác ABCD.

Ví du 5 : Cho tam giác A B C đều, I là điếm nằm trong tam giác. Gọi X ,

y, z lần lượt là khoảng cách từ I đến BC, CA, AB. Tìm tập hợp tất cả các điêm I sao cho X y y, z là độ dài ba cạnh của m ột tam giác.

Lời giải

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

Gọi h là độ dài đường cao của AABC.

Gọi X, y, z lần lượt là khoảng cách từ I đến BC, CA, AB và a là độ dài của cạnh tam giác.

Ta có:

Sabc = SiBC + SiCA + SiAB

1 , - 1 1 1

<^> — a.h = —x .a + —y .a + —z.a

2 2 2 2 <=>h = x + y + z (1) Đ e X, y , z lập th à n h đ ộ d à i b a c ạ n h c ủ a m ộ t ta m g iá c th ì x + y < z , y + z < x , z + x < y = > 2 x < X + y + z , 2 y < X + y + z , 2 z < X + y + z h h h Từ (l ) suy ra X < 2 , y < 2 , z < 2

Gọi M, N, p là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Từ (2) suy ra I nằm trong tam giác MNP.

Vậy tập họp điểm

I

Nhân xét

•X ét bài toán tương tự

“Cho tam giác ABC. Tìm tập họp tất cả những điềm nam trong tam giác mà khoảng cách từ điềm đó đến một cạnh nhỏ hơn tông khoảng cách từ điêm đó đến hai cạnh khác. ”

Ví du 6: Cho x O ỵ, A, B là hai điếm cho trước trên Ox, c , D là hai điếm cho trước trên Oy. Tim tập hợp các điếm M nằm trong xO y sao cho

Sm a b + Smcd = m ( k h ô n g đ ổ i ) . Lời giải

Trên Ox lấy điểm K sao cho OK = AB. Trên Oy lấy điểm L sao cho OL = CD. Khi đó với mọi M nằm trong xOy ta có

Sm a b = Sm ok v à Sm c d = Sm ol

Do đó bài toán trở thành tìm tập hợp các điếm M nằm trong xOy sao cho

Smok + Smol = m .

L ấ y trê n O x đ iể m p sa o c h o Sp o l = m . T ừ p d ụ n g đ ư ờ n g th ẳ n g d so n g so n g

với KL, cắt Oy tại Q. Ta sẽ chứng minh tập hợp các điểm M là đoạn PQ. Thật vậy, giả s ử M e PQ, ta có:

S m o k + S m o l = S m o k l = S k o l + S k m l = S k o l + S k p l = S p o l = m -

Ngược lại nếu M Ể PQ thì Skol ỷ Skpl

=> S m o k l

ỷ

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đoạn thẳng p ọ

( tr ừ h a i đ i ể m p v à Q ) .

Nhân xét

• Từ cách giải trên ta cũng dễ dàng chứng minh được So k q = rn. Do đó bài toán có cách giải khác như sau:

Lấy trên Ox điểm p sao cho Sp o l = m Lấy trên Oy điểm Q sao cho S k o q = rn

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2

• X é t b à i to á n tư ơ n g tự:

“Cho AABC, tìm tập họp các điếm M trong mặt phang thỏa mãn Sm a b +

Sm a c = m (không đói) ”

2.2.4.2. Bài tập củng cố

Bài 1: Cho hai đoạn thắng AB và CD cố định có độ dài băng nhau. Các điềm M sao cho các tam giác M AB và M CD cỏ diện tích bang nhau nằm trên đường nào?.

Bài 2 : Cho góc xOy. Tìm tập họp nhữn điềm M trong góc xO y sao cho tong khoảng cách từ M đến Ox và Oy bằng độ dài k cho trước.

Bài 3: Cho góc xOy. Tìm tập hợp nhữn điếm M trong góc xO y sao cho hiệu khoảng cách từ M đến Ox và Oy bang độ dài l cho trước.