2.2.3.1. M ột số ví dụ
Ví du l : Cho tứ giác lồi ABCD. Qua điếm p trên cạnh AB hãy dựng đường thẳng d chia tứ giác thành hai đa giác có diện tích bằng nhau.
Lời giải
Từ A kẻ đường thắng song song với PD cắt CD tại E. Từ B kẻ đường thẳng song song với PC cắt CD tại F
=> AE // PD và BF // PC Khi đó ta có:
Sapd = Sepd => Sabcd = Spbce (1)
M à Spbc = Sppc => Spbce = Spef (2)
Từ (1 ) v à (2 ) s u y ra Sabcd = SpEF
Do đó bài toán trở thành dựng đường thẳng đi qua p chia tam giác PEF thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Gọi Ọ là trung điểm EF.
Neu Q e CD (kể cả Q trùng c hoặc D) (hìnhl) thì PQ là đường thẳng cần dựng.
Neu Ọ nằm ngoài CD, giả s ử Q G DE (nếu Q e CF xét tương tự) Từ F kẻ đường thẳng song song với PD, cắt AD kéo dài tại G.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2
=> FG // PD. Khi đó ta có:
Sabcd = Sapcd + Spbc = Sapcd + Sppc
= Sapfd = Sapd + Spfd = Sapg + SpDCr = Sapg-
=> Gọi H là trung điểm AG thì PH là đường thẳng cần dựng. Ket luân: Cách dựng đường thắng d
Kẻ đường thẳng song song với PD cắt CD tại E. Từ B kẻ đường thẳng song song với PC cắt CD tại F Gọi Ọ là trung điểm của EF, có hai trường họp:
Trường hợp 1\ Q e CD (kể cả Q trùng c hoặc D thì p ọ là đường thẳng cần dựng.
Trường họp 2: Q Ể CD thì từ F kẻ đường thẳng song song với PD, cắt AD kéo dài tại G.
Gọi H là trung điểm AG thì PH là đường thẳng cần dựng.
Vỉ du 2 : M ột mảnh vườn hình tam giác A B C có m ột giếng D nằm trên cạnh BC. H ãy chia mảnh vườn thành hai phần có diện tích bằng nhau bởi m ột đường thẳng đi qua ữ .
Lời giải
A
Bước 7: Phân tích
Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua D và chia ÀABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Giả sử d cắt cạnh tam giác tại E, gọi I = ED n AM (với M là trung điểm BC)
K h i đ ó ta có Saedc = Sbed nên Saei = Smtd
=> Saei + Seim = Smid + Seim
=> Saem = Semd
= > - h(A ,EM ).EM = - h(D,EM).EM => h(A,EM) = h(D,EM)
=> EM //AD
Bước 2 : Cách dựng
Gọi M là trung điểm của BC. Qua m kẻ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh tam giác ở E.
Khi đó DE là đường thẳng phải dựng.
Bước 3: Chứng minh
Theo cách dựng thì AD // EM, giả sử I = ED n AM
=> Saem = Semd
=> Saem ■ Seim = Semd ■ Seim => S aeĩ = Smĩd
Mà M là trung điểm của BC nên Sa b m = Sam c ^ Sa b m - Saei + Sm id = Sam c + Saei ■ Smid
=> Sbed = S aed c
Vậy DE là đường thẳng cần dựng.
Bước 4: Biện luận
Neu D là trung điểm BC thì AD là đường thẳng cần dựng Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Nhân xét
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2
K
Giả sử DB > DC.
Qua c vẽ đường thẳng song song với DA, cắt BA ở K. Như vậy AABC được biến đổi thành ADBK có cùng diện tích . Đe chia ADBK thành hai phần có diện tích bằng nhau ta dựng đường trung tuyến DE của tam giác đó.
Vỉ du 3 : Cho hình vuông ABCD, hãy dụng tứ giác nội tiếp hình vuông sao cho tứ giác đó có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải
A M B
Bước ỉ : Phân tích
Giả sử dựng được tứ giác nội tiếp MNPQ thỏa mãn yêu cầu bài toán Không mất tính tổng quát, giả sử M e AB, N e BC, p e CD, Q e AD Gọi (O, R) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD,
p là chu vi tứ giác MNPQ
Somao < - OA.QM = - R.QM , Sombn < - OB.MN = - R.MN
2 2 2 2
S o N C P < ịo C .N P = Ì r . C P , S o p d q ^ O D . P Q ^ R . P Q
2 2 2 2
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:
Som aq + Sombn + Soncp + Sopdq < — R.QM + — R.MN + — R.CP + —R.PQ
2 2 2 2 _ QM + MN + NP + PQ Sa b c d — R - --- --- 2 o R-p Sabcd — 2 p < ( không đ ổ i ) R
Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi OA 1 QM, OB 1 MN, o c 1 NP, OD 1 PQ Mà ABCD là hình vuông nên khi đó QM // BD // NP, MN // AC // p ọ
nghĩa là các cạnh của tứ giác MNPỌ song song với các đường chéo của hình vuông ABCD. Bước 2 : Cách dựng Dựng điểm M bất kỳ thuộc AB Từ M dựng MN // AC ( N e BC ) Từ N dựng NP // BD ( p e CD ) Từ p dựng PQ / / AC ( Q G AD) Biện luận
Bài toán đã cho có vô số nghiệm hình. Nhân xét
•N ếu thay hình vuông bằng một hình đa giác thì đều thì với cách giải đó ta có bài toán sau:
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2
“Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O, R). Trên môi cạnh của tứ giác ta lấy một điếm đế tạo thành một tứ giác. Chứng minh rằng chu vi của tứ giác được
2s
tạo thành không nhỏ hơn —
R
Ví du 3 : Cho tứ giác ABCD. D ựng điếm o nằm bên trong tứ giác sao cho nếu nối o với trung điếm các cạnh của tứ giác thì tứ giác được chia ra thành bốn phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm o thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi E, H, M lần lượt là trung điểm của AB, AD, AC. Khi đó ta có:
So h ae = — Sa b c d ( 1 ) 4 M à S m h a e = — S a b c d ( 2 ) 4 Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra So h ae= Sm h a e => Sohe= Sm he => OM // HE hay OM // BD
Tương tự với n là trung điểm BD thì ta cũng có ON // AC Vậy ta có điểm o cần dựng.
Rước 2: Cách dựng
Dựng đường thẳng d ’ đi qua N và song song với AC. Dựng o = d n d'
Bước 3: Chứng minh
Theo cách dựng thì OM // BD // HE nên S o h e = S m h e
=> S ohe + S h ae = Smhe + S hae => SoHAE = SmHAE
Chứng minh tương tự gọi G, K là trung điểm của DC, CB. Ta c ó So h dg = Snh d g = — Sa b c d
4
Sogck = T Sabcd » Sqkbe = "7 Sabcd
4 4
Vậy o là điểm cần dựng.
Bước 4: Biện luận
Vì AC luôn cắt BD nên d và d ’ luôn cắt nhau Bài toán có một nghiệm hình.
Ví du 4: H ãy dựng tam giác với đáy có độ dài là a, chiều cao ứng với cạnh đáy là h thỏa mãn bán kính đường tròn nội tiếp lớn n h ấ t
Lời giải D
Giả sử đã dựng được AABC thỏa mãn có đáy BC = a, chiều cao hạ từ A xuống BC là h và có bán kính đường tròn nội tiếp là r.
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2 Ta có : Sa b c == — a.h = 2 AB + AC + BC 2 .r = AB + AC + a 2 .r a.h =>r = AB + AC + a
D o đó r đạt giá trị lớn nhất khi v à chỉ khi AB + AC nhỏ nhất (v ì a, h
không đổi).
Gọi d là đường thẳng di qua A, song song với BC, cách BC một đoạn là h. Gọi D là điếm đối xứng với c qua d, khi đó theo tính chất của phép đối xứng trục ta có AC = AD
Do đó AB + AC = AB + AD > BD = A ’B + A ’D (A ’ = d n BD ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = A ’ hay A = d n BD
Bước 2 : Cách dựng
Dựng đoạn BC có độ dài là a
Dựng d là đường thắng di qua A, song song với BC, cách BC một đoạn là h. Dựng D là điểm đối xứng với c qua d
Dựng A = d n BD
Nối A, B, c ta được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán
Biện luận
Bài toán có hai nghiệm hình là hai tam giác đối xứng nhau qua BC.
Vỉ du 5: Cho AABC, qua đỉnh A của tam giác hãy dựng đường thẳng d sao cho tống khoảng cách từ B và từ c đến d có giá trị nhỏ nhất,
Lời siải
Ta xét hai trường họp :
Gọi B B ’, C C ’ lần lượt là các khoảng cách từ B và c tới d Ta có SABC = Sabe + Sace = ị A E.BB’ + ị AE. C C ’
2 2
2S _
=> B B ’ + C C ’ = AE
Do đó BB’ + C C ’ đạt giá trị lớn nhất khi AE nhỏ nhất
Khi đó AE là đường cao kẻ từ đỉnh A của ÀABC tác là AE _L BC
2S _
=> B B ’ + C C ’= = BC AE
Hay d là đường cao của AABC.
Trường hợp 2\ d không cắt cạnh BC
r"
A
B M c
Gọi M là trung điểm của BC. Dựng M M ’ _L d (M ’ E d)
Tứ giác B B ’C ’C là hình thang nhận M M ’ là đường trung bình nên B B ’ + C C ’ = 2M M ’
Mà M M ’ < AM ( đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d)
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2
Do đó B B ’ + C C ’ lớn nhất khi M ’ = A
Khi đó BB ’ + CC ’ = 2AM (2)
=> d là đường thẳng vuông góc với AM tại A.
Như vậy ứng với hai trường họp ta được hai kết quả (1) và (2), do đó phải so sánh BC và AM. Điều này phụ thuộc vào hình dạng của AABC
a) BÂC < 90°
Kéo dài AM một đoạn MN = MA.
=> tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
=> A B = C N
ẤCN = 180° - BÂC mà BAC <90° nên ẤCN > 90° hay ẤCN > BAC
Xét ABAC và ANCA có AB = CN, AC chung, ẤCN > BAC nên cạnh đối diện với góc BAC nhỏ hơn cạnh đối diện với ACN => BC < AN hay BC < 2AM
b) ẾÂC = 90°
Khi đó tứ giác ABNC là hình bình hành có một góc vuông nên ABNC là hình chữ nhật.
=> BC = 2AM c) BAC > 90°
Chúng minh tương tự phần a) ta được BC > 2 AM. Kết luân
Nếu AABC có BAC < 90° thì đường thẳng d đi qua A cần dựng là đường thẳng vuông góc với đường trung tuyến AM của ÀABC.
Nếu À ABC có BAC = 90° thì bài toán có hai kết quả là đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường trung tuyến AM hoặc đường thẳng d đi qua
Nếu ÀABC có BAC > 90° thì đường thẳng d đi qua A cần dựng là đường thẳng vuông góc với BC.
Nhân xét
•V ới cách giải tương tự như trên, ta cũng có được bài toán tương tự bằng cách thay điều kiện nhỏ nhất bởi điều kiện lớn nhất.
• Cũng với cách giải trên, ta có được bài toán tổng quát của nó:
“Cho tam giác ABC, gọi d là đường thẳng đi qua A. Xác định vị trí của đường thắng d đế tống khoảng cách từ B và từ c đến d có giả trị nhỏ nhất
Ví du 6: Cho tam giác ABC, D ựng điếm o nằm bên trong tam giác sao cho Sa o b * Sb o c • Sc o a = 1' 3
Lời giải A
Trên BC dựng D, E sao cho BD: DE : EC = 1 : 2 : 3 Dựng đường thẳng d qua D và song song với AB Dựng đường thẳng d ’ qua D và song song với AC Dựng o = d ncT
Khóa luận tốt nghiệp Trường Đ H SP Hà N ội 2 2.2.3.2 Bài tập củng cố
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Dựng đường thắng đi qua A và chia tứ giác thành hai phần có diện tích bang nhau.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Dựng các điếm D, F nằm trên cạnh AB, E nằm trên cạnh A C sao cho đường gấp khúc CDEF chia tam giác A B C thành bốn phần có diện tích bang nhau.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD, hãy dựng đường thẳng d đi qua tâm o
của hình vuông sao cho tống khoảng cách từ bốn đinht của hình vuông đến d là:
a) Lớn nhất b) b)Nhỏ nhất
Bài 4 : Cho tam giác A B C có hai góc nhọn ở B và c . Dựng hình chữ nhật M NPQ sao cho M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC, hai điêm p, Q nam trên cạnh BC. Xác định vị trí của M sao cho diện tích M NPQ lớn nhất.