Để có điều kiện đủ về tính khả vi của nghiệm nhớt, chúng ta cần tới giả thiết về tính lồi chặt của hàm Hamilton.
Mệnh đề 2.9. Giả sửu∈C(Ω)là một nghiệm nhớt của phương trình
λu(x) +H(x,Du(x)) =0 trongΩ,
với λ ≥0.Hơn nữa, giả thiết ánh xạ p7→H(x,p)lồi chặt với mỗix∈Ωcố định và
−ulà hàm nửa lõm. Khi đó u∈C1(Ω).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằngukhả vi tại mọix∈Ω.Theo Mệnh đề 2.6 (c), ta chỉ phải chứng minh rằng D+(−u)(x) là tập một điểm với mọi x∈Ω.
Theo Mệnh đề 2.6 (a), điều đó là đúng nếu D∗(−u)(x)là tập một điểm.
Giả sử ngược lại, tồn tại p1,p2 ∈D∗(−u)(x),p1 6= p2. Khi đó tồn tại các dãy
{xn},{ym}trongΩsao cho, tại đóukhả vi và
x= lim n→+∞xn = lim m→+∞ym, p1 = lim n→+∞D(−u)(xn), p2= lim m→+∞D(−u)(ym). Theo Mệnh đề 1.3 (a), λu(xn) +H(xn,Du(xn)) =λu(ym) +H(ym,Du(ym)) =0. Do tính liên tục ta nhận được λu(x) +H(x,−p1) =λu(x) +H(x,−p2) =0. (2.16)
Đặt ¯ p= 1 2p 1+1 2p 2, sử dụng tính lồi chặt, từ (2.16) ta suy ra λu(x) +H(x,−p¯)<λu(x) +1 2H(x,−p 1) +1 2H(x,−p 2) =0. (2.17) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.6 (a),p¯∈coD∗(−u)(x) =D+(−u)(x) =D−(−u)(x).
Vì ulà nghiệm nhớt của (HJ) nên
λu(x) +H(x,−p¯)≥0,
mâu thuẫn với (2.17). Vậyukhả vi tại mọi điểm thuộcΩ.
Tính liên tục củaDulà hệ quả của tính nửa liên tục trên của hàm đa trịD+uvới
unửa lõm, tức là tính chất:
xn →x, pn ∈D+u(xn), pn→ p⇒p∈D+u(x).
(Chứng minh của điều này ẩn trong chứng minh của Mệnh đề 2.6 (c)).
Nhận xét 2.1. Giả thiết về tính lồi chặt là không thể thiếu vìu(x) =|x|là nghiệm nhớt không khả vi của phương trình
a(x)(|Du(x)|2−1) =0, trongR,
trong đó alà một hàm liên tục và a(x)>a(0)>0 với mọix. Trong ví dụ này −u
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày một cách khái quát về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một, bao gồm: khái niệm nghiệm nhớt, các tính chất cơ bản như đặc trưng của nghiệm nhớt liên tục qua các bán vi phân; mối quan hệ với nghiệm cổ điển, nghiệm thỏa mãn hầu khắp nơi; nguyên lý so sánh nghiệm và tính duy nhất.... Trên cơ sở đó, đề cập tới một số kết quả về tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục như: tính liên tục Lipschitz, tính nửa lõm và tính khả vi.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Trần Đức Vân,Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội, 2005 . [B] Tài liệu tiếng Anh
[2] M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta (1997),Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations,Birkhauser, Berlin.
[3] M. G. Crandall and P. L. Lions (1983),Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations,Trans. Amer. Math. Soc.,277:1-42.
[4] M. G. Crandall, L. C. Evans and P. L. Lions (1984), Some properties of vis- cosity solutions of Hamilton-Jacobi equations,Trans. Amer. Math. Soc.,282: