Tính liên tục Lipschitz

Định nghĩa 2.1. Giả sử u là một hàm số xác định trên tập mở Ω ∈RN. u được gọi là hàm Lipschitz(hay hàm liên tục Lipschitz) trên lân cậnV ⊂Ω (vớihằng số

LipschitzK ≥0) nếu

|u(x)−u(y)| ≤K|x−y|, ∀x,y∈V.

Hàmuđược gọi là hàmLipschitz địa phương(hayliên tục Lipschitz địa phương)

trên Ω nếu với mỗi x∈Ω tồn tại lân cận mở Ux của x trong Ω sao cho u là hàm Lipschitz trênUx.

Ta giả sử rằngH thỏa mãn điều kiện sau

H(x,p)→+∞khi |p| →+∞. (H4) Khi H có dạng

H(x,p) =sup

a∈A

{−f(x,a).p−l(x,a)}, (2.1) điều kiện đủ để (H4)đúng là tính bị chặn của l cùng với giả thiết

∃r>0 :B(0,r)⊆co f(x,A), ∀x∈RN. (2.2)

Mệnh đề 2.1. Cho điều kiện(H4). Khi đó mọi nghiệm nhớt dướiu∈BC(RN)của phương trình (HJ)là liên tục Lipschitz.

Chứng minh. Vớix∈RN xét hàm số

ϕ(y) =u(y)−C|y−x|,

trong đóC>0là một hằng số được chọn sau. Do tính bị chặn củaudẫn đến tồn tại

¯

y∈RN thỏa mãn

ϕ(y¯) = max

y∈RNϕ(y).

Ta cần phải có y¯=xvớiCđủ lớn. Nếu không ta có λu(y¯) +H(y¯,C y¯−x

|y¯−x|)≤0, (2.3)

doulà một nghiệm nhớt dưới của (HJ) vày→C|y−x|khả vi tại y=y¯6=x. VớiC

đủ lớn, thì (2.3) mâu thuẫn với(H4). Do đó vớiC như trên,

u(y)−C|y−x| ≤u(y¯)−C|y¯−x|=u(x), ∀y∈RN.

Một điều kiện khác trênH đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt đó là ∃C>0 :Hx,C x−y |x−y|)−H(y,C x−y |x−y| ≥ −C|x−y|, ∀x,y∈RN. (H5)

Với H có dạng (2.1), điều kiện (H5) đúng vớiC ≥M/(1−L), trong đó f,l thỏa mãn

(f(x,a)−f(y,a)).(x−y)≤L|x−y|2, L≥1, |l(x,a)−l(y,a)| ≤M|x−y|, ∀x,y,a.

Mệnh đề 2.2. Cho các điều kiện(H1),(H3),(H5),λ >1vàu∈UC(RN)là nghiệm nhớt của phương trình(HJ). Khi đó

|u(x)−u(y)| ≤C|x−y|.

Chứng minh. Dễ thấy rằngv(x,y) =u(x)−u(y)là nghiệm nhớt của phương trình λv(x,y) +Hb(x,y,Dxv(x,y),Dyv(x,y)) =0 trongR2N, trong đóHˆ(x,y,p,q):=H(x,p)−H(y,−q). Mặt khác,ω(x,y):=C|x−y|thỏa mãn λ ω(x,y) +Hb(x,y,Dxω(x,y),Dyω(x,y))−g(x,y) =0 trongR2N, với g(x,y) =C|x−y|+Hx,C x−y |x−y| −Hy,C x−y |x−y| .

Từ g≥0bởi (H5) vàv,ω ∈UC(R2N)vàHb thỏa mãn(H1),(H3), áp dụng kết quả về sự so sánh nghiệm trong Nhận xét 2.3 ta cóv<ω trongR2N.Vậy mệnh đề được chứng minh.

Bây giờ ta nêu một cách ngắn gọn một số tính chất khả vi của hàm liên tục Lipschitz địa phương. Theo định lý Rademacher, mọi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn địa phương. Do đó, nếu u∈

Liploc(Ω)(tập các hàm liên tục Lipschitz địa phương trong Ω), thì tập hợp

D∗u(x) = p∈RN : p= lim n→+∞ Du(xn),xn→x

là tập không rỗng và đóng với mọix∈Ω. Ký hiệucoD∗ulà bao lồi của nó. Một kết quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là

coD∗u(x) =∂u(x), ∀x∈Ω, (2.4) trong đó ∂u(x)làgradient tổngquát hay gradient Clarkecủa utạixđược xác định bởi

∂u(x):=p∈RN :u0(x;p)≥ p.q, ∀q∈RN =p∈RN :u0(x;p)≤ p.q, ∀q∈RN .

Vớiu0(x;p)vàu0(x;p)là cácđạo hàm theo hướng tổng quátđược xác định bởi

u0(x;q):= lim sup y→x,t→0+ u(y+tq)−u(y) t u0(x;q):= lim inf y→x,t→0+ u(y+tq)−u(y) t .

Một khái niệm liên quan nữa đó là đạo hàm Dini theo hướng, cụ thể là

∂+u(x;q):=lim sup t→0+ u(x+tq)−u(x) t ∂−u(x;q):=lim inf t→0+ u(x+tq)−u(x) t

Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng

u0(x;q)≤∂−u(x,q)≤∂+u(x,q)≤u0(x;q), ∀x∈Ω,q∈RN, (2.5) và điều này có nghĩa là vớiu∈Liploc(Ω),

D−u(x)∪D+u(x)⊆∂u(x), ∀x∈Ω. (2.6) Cũng thấy rằngD+u(x),D−u(x)là các tập bị chặn.

Kết quả tiếp theo về sự tồn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (một phía) của các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là

∂u

∂q(x):=∂u(x,q):= lim

t→0+

u(x+tq)−u(x)

Mệnh đề 2.3. Chou∈Liploc(Ω). Khi đó, với mọiqmà|q|=1, tồn tại ∂u ∂q(x) = min p∈D+u(x) p·q=u0(x;q) (2.7) tại mọix∈ΩmàD+u(x) =∂u(x,q).

Chứng minh. Cho p∈D+u(x)và|q|=1. Khi đó

u(x+tq)−u(x)−t p.q≤o(|t|), vớit đủ nhỏ. Ta có p.q≥ u(x+tq)−u(x) t −o(t) t , vớit >0nhỏ. Từ đó suy ra inf p∈D+u(x) p·q≥∂+u(x,q). Kết hợp với (2.5) ta được u0(x;q)≤∂−u(x;q)≤∂+u(x;q)≤ inf p∈D+u(x)p·q. Mặt khác ta cũng có u0(x;q) = min p∈∂u(x) p·q.

Vậy (2.7) đúng nếuxthỏa mãnD+u(x) =∂u(x,q).

Mệnh đề trên cho phép ta chứng minh một biến thể rất hữu ích của Mệnh đề 1.10 đối với các bán vi phân và đạo hàm theo hướng của hàm lềuđược xác định bởi

u(x):= inf

b∈Bg(x,b).

Mệnh đề 2.4. Giả sửBlà tập compact ,gliên tục trênΩ×B, khả vi theoxvớiDxg

liên tục trên Ω×B. Khi đóu∈Liploc(Ω), D+u(x) =∂u(x,q)với mọixvà kết luận của Mệnh đề 1.10 vẫn đúng.

Chứng minh. Từ giả thiết thìx7→g(x,b)là Lipschitz địa phương đối vớib∈B, suy ra u∈Liploc(Ω). Tiếp theo ta chứng minh rằng D+u(x) =coY(x)trong đó

Theo Bổ đề 1.5 thì D+u(x)⊆ coY(x). Mặt khác, do (2.4) và (2.6) nên D∗u(x)⊆

Y(x).

Cho p∈D∗u(x)và lấy xn →x thỏa mãn Du(xn)→ p. Khi đó lấy bn ∈M(xn), không mất tính tổng quát ta giả sử rằngbn →b¯∈B. Từg(xn,bn)≤g(xn,b)với mọi

n∈ N và b∈B, từ tính liên tục của g ta kết luận được rằng b¯ ∈M(x). Theo tính khả vi của utạixn và Bổ đề 1.5, ta cóDu(xn) =Dxg(xn,bn). Chon→+∞, ta được

p=Dxg(x,b¯); tức là p∈Y(x). Sự tồn tại đạo hàm theo hướng và công thức

∂u

∂q(x) = min

y∈Y(x)y·q, ∀qmà |q|=1 (2.8) được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3. Ta cần chứng minh rằng D−u(x) ={y}khi

Y(x)là tập một điểm{y}. Thấy rằng trong trường hợp này (2.8) trở thành∂u(x;q) =

y·q với mọi q, điều đó cho thấy y∈D−u(x) hay {y} ⊆D−u(x). Chiều ngược lại được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.5.