Định nghĩa 2.2. Ta nói rằng hàm u:Ω→R là hàm nửa lõm trên tập lồi đóngΩ nếu có một hằng sốC≥0thỏa mãn µu(x) + (1−µ)u(y)≤u(µx+ (1−µ)y) +1 2Cµ(1−µ)|x−y| 2 (2.9) với mọix,y∈Ωvൠ∈[0,1].
Điều này dẫn đến tính lõm của hàmx7→u(x)−21C|x|2. Nếuuliên tục thì ta có một điều kiện tương đương với (2.9) đó là
u(x+h)−2u(x) +u(x−h)≤C|h|2, (2.10) với mọi x ∈Ω và h ∈ RN, với |h| đủ nhỏ. Tất nhiên hàm lõm là hàm nửa lõm. Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương. Một lớp các hàm nửa lõm không khả vi đó là các hàmu(x) =infb∈Bg(x,b)với x7→g(x,b)thỏa mãn (2.9).
Ví dụ 2.1. ChoS⊆RN,S6= /0,
d(x) =dist(x,S) =inf
Khi đó d2 là hàm nửa lõm trong RN vì x7→ |x−s|2 thuộcC∞ với các đạo hàm cấp hai là hằng số. Mặt khác, bản thân d cũng là hàm nửa lõm trong mọi tập compact có khoảng cách dương đối vớiS, bởi vìx7→ |x−s|có đạo hàm cấp hai bị chặn trong tập như vậy.
Những tính chất chính của hàm nửa lõm sẽ được trình bày trong Mệnh đề 2.5 và Mệnh đề 2.6 sau đây.
Mệnh đề 2.5. Cho hàm ulà hàm nửa lõm trong Ω. Khi đó u là liên tục Lipschitz địa phương trongΩ.
Chứng minh. Vớix∈Ωvà với mọihthỏa mãnx+h∈Ω,
u(x+h)−u(x) =ψ(x+h)−ψ(x) +Cx·h+C
2|h|
2 ,
trong đó ψ(x) =u(x)−C2 |x|2 là hàm lõm và do đó liên tục Lipschitz địa phương. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Trong Mục 2.1 ta biết rằngD+u(x)⊆∂u(x) =coD∗u(x)với mọiu∈Liploc(Ω). Nếu thêm giả thiết ulà hàm nửa lõm thìD+u(x) =∂u(x). Điều này và một số tính chất khả vi khác của các hàm nửa lõm được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.6 (xem [2], Proposition 4.7). Cho ulà hàm nửa lõm trong Ω. Khi đó
với mọix∈Ωthì
(a) D+u(x) =∂u(x) =coD∗u(x);
(b) hoặcD−u(x) = /0hoặcukhả vi tạix;
(c) nếuD+u(x)là tập một điểm thìukhả vi tạix; (d) ∂u
∂p(x) =minp∈D+u(x)p·qvới mọi vector đơn vịq.
Mệnh đề 2.7. Choulà một hàm nửa lõm và thỏa mãn
F(x,u(x,Du(x)))≥0 h.k.n trongΩ, (2.11)
trong đó F liên tục. Khi đóulà nghiệm nhớt trên của phương trình
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.6 (b), tại mọi điểmx∈Ω
hoặcD−u(x) = /0hoặcD+u(x) =D−u(x) ={Du(x)}.
Trong trường hợp trên thì điều kiện nghiệm nhớt trên được thỏa mãn. Giả sử rằng x
là một điểm mà tại đóukhả vi. Khi đó, tồn tại dãyxn→xthỏa mãn ukhả vi tại xn và
F(xn,u(xn),Du(xn))≥0 ∀n (2.13) (có thể lấyxn≡xlà điểm (2.11) đúng tạix). Vìuliên tục Lipschitz địa phương nên theo định nghĩa củaD∗u(x)ta có
Du(xn)→p∈D∗u(x) khin→+∞,
tại ít nhất một dãy con. Trong trường hợp này,
D∗u(x) =D+u(x) =D−u(x) ={Du(x)}.
Do đó, cho n→+∞ta được
F(x,u(x),p)≥0 ∀p∈D−u(x).
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Kết quả tiếp theo là về tính nửa lõm của nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Định lý 2.1. Chou∈BC(RN)∩Lip(RN)là một nghiệm nhớt của phương trình
u(x) +H(x,Du(x)) =0, x∈RN, (HJ) với hằng số LipschitzLu. Giả sửH thỏa mãn
|H(x,p)−H(x,q)| ≤ω|p−q|, ∀x,p,q∈RN. (H3) vớiC>0vàL0>2Lu, (H6) xác định bởi
H(x+h,p+Ch)−2H(x,q) +H(x−h,p−Ch)≥ −C|h|2 (H6) đúng với mọix,h∈RN,p∈B(0,L0). Khi đóulà hàm nửa lõm trênRN.
Một cách rất thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm của một hàm cho trước là dựa vào phép chập-inf, đây là một công cụ rất cơ bản trong giải tích lồi và giải tích không
trơn. ChoΩlà một tập con củaRN vàulà một hàm bị chặn. Với mọiε >0, đặt
uε(x):=inf u(y) + 1 2ε|x−y|2 :y∈Ω (2.14) hàmuε được gọi làε−chập-infcủa u. Tương tự,
uε(x):=sup u(y)− 1 2ε |x−y|2 :y∈Ω (2.15) là ε−chập-supcủau.
Bổ đề 2.1(xem [2], Lemma 4.11). Chouliên tục và bị chặn trongΩ. Khi đó
(a) uε vàuε là nửa lõm trongΩ;
(b) uε %u,uε &u,khiε →0+, hội tụ đều địa phương trongΩ;
(c) infvàsuptrong (2.14) và (2.15) đạt được nếuε<d2(x,∂Ω)/(4kuk∞).
Từ Bổ đề 2.1 (c) vớiε >0đủ nhỏ ta có thể đặt Mε(x):=arg min y∈Ω n u(y) +|x−y|2/2ε o , Mε(x):=arg max y∈Ω n u(y)− |x−y|2/2ε o .
Bổ đề 2.2 (xem [2], Lemma 4.12). Cho u ∈C(Ω) là hàm bị chặn, x ∈ Ω và
ε <d2(x,∂Ω)/(4kuk∞). Khi đó, hoặcD−uε(x) = /0hoặcD−uε(x) ={(x−yε)/ε}, trong đó{yε}=Mε(x)(tương ứng, hoặcD+uε(x) = /0hoặcD+uε(x) ={−(x−yε)/ε}, trong đó {yε}=Mε(x)). Hơn nữa, với mọiyε ∈Mε(x)(tương ứng,Mε(x)),
(i) |x−yε| ≤2√εkuk1/2∞ ;
(ii) |x−yε|2/ε→0khiε→0+, trên các tập con compact củaΩ;
(iii) (x−yε)/ε ∈D−(yε)(tương ứng−(x−yε)/ε ∈D+(yε)).
Các Bổ đề 2.1 và 2.2 cho thấy, nghiệm nhớt liên tục của phương trình (HJ) có một xấp xỉ đều từ hai phía bởi nghiệm nhớt liên tục Lipschitz địa phương của phương trình xấp xỉ. Chính xác hơn, ta có
Mệnh đề 2.8(xem [2], Proposition 4.13). Giả sửH thỏa mãn
với x,y∈Ω,p∈RN, trong đóω1là một mô đun. Nếuu∈C(Ω)là một nghiệm nhớt dưới của (HJ) trong Ω, thì uε ∈Liploc(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình
λuε(x) +H(x,Duε(x)) =ρε(x) trongΩε, (HJε)
với
Ωε =nx∈Ω:d(x,∂Ω)>2√εkuk1/2∞ o
vàρε(x)→0+ khiε →0, trên các tập con compac củaΩ.