hơn một
Trong phần này chúng ta tập chung vào việc xét tính giả đơn điệu của ánh xạ aphin loại đặc biệt trên nón không âm K = Rn+. Chúng ta nhắc
lại điều cơ bản sau :
Định lý 2.19. Cho M là ma trận cấp n×n và q ∈ Rn thì T (x) = M x+q là giả đơn điệu trên Rn+ khi và chỉ khi
z ∈ Rn và ,hz, M zi < 0 ⇒
MTz ≥ 0 và hz, qi ≥ 0
MTz ≤ 0,hz, qi ≥ 0 và z, M z−+ q< 0.
Ở đây zi− := max{0;−zi} với i = 1,2, ..., n.
Định lý2.19cho phép chúng ta xét tính giả đơn điệu của ánh xạ aphin loại đặc biệt trên nón Rn+.
Định lý 2.20. Giả sử T (x) = M x+q là ánh xạ aphin,
M = diag(λ1, λ2, ..., λn) ;q = (q1, q2, ..., qn) (2.26) tương ứng là ma trận đường chéo chính và véc tơ trong Rn. Thì T
là giả đơn điệu trong Rn+ khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) λi > 0; ∀i ∈ {1,2, ..., n}.
ii) Tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n} sao cho
λi < 0, qi < 0
λj = 0, qj = 0; ∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. (2.27) Chứng minh. Chúng ta đi xét 4 trường hợp sau :
Trường hợp 1: λi ≥ 0; ∀i ∈ {1,2, ..., n}.
Trong trường hợp này M là xác định dương và T là đơn điệu trên Rn+. Do đó T là giả đơn điệu trên Rn+.
Trường hợp 2: Tồn tại i;j ∈ {1,2, ..., n} sao cho i 6= j, λi < 0 và λj > 0.
Đặt z = 0, ...,0,p2λj,0, ...,0,√
−λi,0, ...,0T, với p2λj là giá trị thứ i và √−λi là giá trị thứ j, ta có
MTz =
0, ...,0, λip2λj,0, ...,0, λjp−λi,0, ...,0
T .
Với giá trị thứ i là âm và giá trị thứ j là dương. Do đó theo Định lý 2.19 thì Thì T không giả đơn điệu trên Rn+.
Trường hợp 3: Tồn tại i;j ∈ {1,2, ..., n} sao cho i 6= j, λi < 0 và λj < 0.
Đặt z = (0, ...,0,1,0, ...,0,−1,0, ...,0)T, với 1 là giá trị thứ i và −1 là giá trị thứ j, ta có
hz, M zi = λizi2 +λjzj2 = λi+ λj < 0. MTz = (0, ...,0, λi,0, ...,0,−λj,0, ...,0)T.
Với giá trị thứ i là âm và giá trị thứ j là dương. Do đó theo Định lý 2.19 thì T không giả đơn điệu trên Rn+.
Trường hợp 4: Tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n}sao choλi < 0và λj = 0 ; với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}.
Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2.19 để chứng minh rằng điều kiên của q trong (2.27) là cần và đủ để T (x) =M x+q là giả đơn điệu trên Rn+. Điều kiện đủ : Cho z = (0, ...,0,1,0, ...,0)T, với 1 là giá trị thứ i ta có
z− = (0,0, ...,0)T,z, MTz = λizi2 = λi < 0, và
MTz = (0, ...,0, λi,0, ...,0)T ≤ 0.
Nếu T là giả đơn điệu trên Rn+ thì phù hợp với Định lý 2.19 0> z, M z−+q = qi.
Thay vào đó một số nguyên dương k và định nghĩa
zk = 0, ...,0,−1 k ,0, ...,0,1,0, ...,0 T .
Với −1k là giá trị thứ i và 1 là giá trị thứ j. Chú ý rằng zk, M zk = λi zik2 = λi k2 < 0, zk, M zk= λi zki2 = λi k2 < 0. Và MTzk = 0, ...,0,λi k ,0, ...,0 T ≤0, MTzk = 0, ...,0,−λi k ,0, ...,0 T ≥0. Nếu T là giả đơn điệu trên Rn+ , do Định lý 2.19
zk, q ≤ 0, zk, q≥ 0. Suy ra rằng 1 kqi+qj ≤0, −1 kqi+qj ≥ 0. Hoặc tương đương
qi
k ≤ qj ≤ −qi k.
Cho k → ∞ ta được qj = 0 với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. Do đó ta chứng minh được
qi < 0; qj = 0;∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}.
Điều kiện cần : Giả sử qi < 0; qj = 0;∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i} thỏa mãn (2.27). Để chỉ ra T là giả đơn điệu trên Rn+ chúng ta chọn bất kỳ x, y từ
Rn+ . Từ (2.26) và (2.27) chúng ta suy ra rằng hT (x), y−xi = (λixi +qi) (yi−xi). Và hT (y), y −xi = (λiyi+qi) (yi −xi). Từ λixi+qi < 0 và λiyi+qi < 0 ta suy ra hT (x), y−xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y−xi ≥ 0. Do đó T là giả đơn điệu trên Rn+.
Bây giờ chúng ta đi mô tả lớp ánh xạ giả đơn điệu aphin mà toán tử chỉnh hóa Tε là không giả đơn điệu với mọi ε > 0 đủ nhỏ.
Định lý 2.21. Cho T (x) = M x+q với M = diag(λ1, λ2, ..., λn) ;q = (q1, q2, ..., qn) tương ứng là ma trận đường chéo chính và véc tơ trong Rn. Nếu T chỉ giả đơn điệu trong Rn+ (T giả đơn điệu nhưng không đơn điệu trong Rn+) thì tồn tại ε > 0 sao cho Tε(x) = T (x) + εx
không giả đơn điệu trên Rn+, với mọi ε ∈ (0, ε).
Chứng minh. Từ T (x) = M x + q chỉ giả đơn điệu trong Rn+. Theo Định lý 2.20 tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n} sao cho λi < 0, qi < 0, và λj = qi = 0 ; với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. Đặt |λi| > 0 chúng ta thấy rằng với mỗi ε ∈ (0, ε) ma trận đường chéo chính Mε = M + εI có hai phần tử trên đường chéo chính trái dấu nhau. Do đó theo Định lý 2.20 ánh xạ Tε(x) = Mεx + q không giả đơn điệu trên Rn+, với mọi ε ∈ (0, ε).
Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ minh họa cho Định lý 2.21 Ví dụ 2.6. Cho T (x) = M x+q với M = −1 0 0 0 ; q = −1 0. Với bất kì x = (x1, x2)T;y = (y1, y2)T ∈ R2+ chúng ta có hT (x), y−xi = (−x1 −1) (y1 −x1) ; hT (y), y−xi = (−y1 −1) (y1 −x1). Từ −x1 −1 < 0 và −y1 −1< 0, ta có hT (x), y−xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y−xi ≥ 0.
Do đó T(x) là giả đơn điệu trên R2+. Với mỗi ε ∈ 0,12 đặt
xε = 0, ε−2ε2− 1 2 T , yε = ε, ε−2ε2 + 1 ε−2ε2− 1 2 T .
Chúng ta có xε, yε ∈ R2+ và
hTε(xε), yε−xεi = 0, hTε(yε), yε −xεi = −ε3 < 0.
Do đó Tε(x) không giả đơn điệu trên R2+. Chú ý SOL R2+, T = ∅. Tiếp theo ta xét một ví dụ mà bất đẳng thức biến phân có nghiệm.
Ví dụ 2.7. Cho M, q, T như trong Ví dụ 2.6 và K = [0,1]×R+ ⊂ R2+. Từ T(x) là giả đơn điệu trên R2+, nó giả đơn điệu trên K.
Chọn xε, yε như trong Ví dụ 2.6. Với bất kì ε ∈ 0,12, chúng ta có thể chỉ ra rằng Tε(x) = Mεx+q + εx là giả đơn điệu trên K, với mọi ε∈ 0, 12.
Không khó khăn gì để chúng ta chứng minh rằng SOL R2+, T =
{1} ×R+.
Kết luận
Chương 2 đã trình bày ứng dụng những tính chất của hàm giả aphin và ứng dụng.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các nội dung sau: Một số khái niệm và những tính chất cơ bản của hàm giả aphin. Một số ứng dụng tính chất của hàm giả aphin vào nghiên cứu bài toán bất đẳng thưc biến phân.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Tụy,(2005),Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone , J. Conv. Anal., Volume 10, No. 1, pp. 149-168.
[3] J. Dugundij, A. Granas,(1982), Fixed point Theory, Vol. 1, Polish Scientific Publishers, Warsaw.
[4] Monica Bianchi, Siegfried SchaibleAn Extension of Pseudolinear function and Variational Inequality Problems, J. Optim. Appl. Vol. 104, pp. 59-71.
[5] N. Hadjisavvas, S. Komlosi and S. Schaible,(2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer.
[6] M. S. Gowda, (1990), Affine Pseudomonotone Mapping and the Linear Complementarity Problem, SIAM J. Matrix Anal. Appl. Vol. 11, No. 3, pp. 373-380.
[7] Pham Duy Khanh,(2012), Partial Solution for an Open Question on Pseudomonotone Variational Inequalities, Appl. Anal.Vol. 91, No. 9, pp.1691–1698.
[8] Pham Duy Khanh,(2013), On the Tikhonov Regularization of Pseudomonotone Mapping, Optim. Lett. DOI 10.1007/s 11590-013- 0659-9.