Tính giả đơn điệu trong không gian có số chiều lớn hơn

hơn một

Trong phần này chúng ta tập chung vào việc xét tính giả đơn điệu của ánh xạ aphin loại đặc biệt trên nón không âm K = _Rⁿ₊. Chúng ta nhắc

lại điều cơ bản sau :

Định lý 2.19. Cho M là ma trận cấp n×n và q ∈ _Rⁿ thì T (x) = M x+q là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊ khi và chỉ khi

z ∈ _Rⁿ và ,hz, M zi < 0 ⇒

M^Tz ≥ 0 và hz, qi ≥ 0

M^Tz ≤ 0,hz, qi ≥ 0 và z, M z⁻+ q< 0.

Ở đây z_i⁻ := max{0;−z_i} với i = 1,2, ..., n.

Định lý2.19cho phép chúng ta xét tính giả đơn điệu của ánh xạ aphin loại đặc biệt trên nón _Rⁿ₊.

Định lý 2.20. Giả sử T (x) = M x+q là ánh xạ aphin,

M = diag(λ₁, λ₂, ..., λ_n) ;q = (q₁, q₂, ..., q_n) (2.26) tương ứng là ma trận đường chéo chính và véc tơ trong _Rⁿ. Thì T

là giả đơn điệu trong _Rⁿ₊ khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

i) λ_i > 0; ∀i ∈ {1,2, ..., n}.

ii) Tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n} sao cho

λ_i < 0, q_i < 0

λ_j = 0, q_j = 0; ∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. (2.27) Chứng minh. Chúng ta đi xét 4 trường hợp sau :

Trường hợp 1: λ_i ≥ 0; ∀i ∈ {1,2, ..., n}.

Trong trường hợp này M là xác định dương và T là đơn điệu trên _Rⁿ₊. Do đó T là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊.

Trường hợp 2: Tồn tại i;j ∈ {1,2, ..., n} sao cho i 6= j, λ_i < 0 và λ_j > 0.

Đặt z = 0, ...,0,^p2λ_j,0, ...,0,√

−λ_i,0, ...,0^T, với ^p2λ_j là giá trị thứ i và ^√−λ_i là giá trị thứ j, ta có

M^Tz =

0, ...,0, λ_i^p2λ_j,0, ...,0, λ_j^p−λ_i,0, ...,0

T .

Với giá trị thứ i là âm và giá trị thứ j là dương. Do đó theo Định lý 2.19 thì Thì T không giả đơn điệu trên _Rⁿ₊.

Trường hợp 3: Tồn tại i;j ∈ {1,2, ..., n} sao cho i 6= j, λ_i < 0 và λ_j < 0.

Đặt z = (0, ...,0,1,0, ...,0,−1,0, ...,0)^T, với 1 là giá trị thứ i và −1 là giá trị thứ j, ta có

hz, M zi = λ_iz_i² +λ_jz_j² = λ_i+ λ_j < 0. M^Tz = (0, ...,0, λ_i,0, ...,0,−λ_j,0, ...,0)^T.

Với giá trị thứ i là âm và giá trị thứ j là dương. Do đó theo Định lý 2.19 thì T không giả đơn điệu trên _Rⁿ₊.

Trường hợp 4: Tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n}sao choλ_i < 0và λ_j = 0 ; với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}.

Chúng ta sẽ áp dụng Định lý 2.19 để chứng minh rằng điều kiên của q trong (2.27) là cần và đủ để T (x) =M x+q là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊. Điều kiện đủ : Cho z = (0, ...,0,1,0, ...,0)^T, với 1 là giá trị thứ i ta có

z⁻ = (0,0, ...,0)^T,z, M^Tz = λ_iz_i² = λ_i < 0, và

M^Tz = (0, ...,0, λ_i,0, ...,0)^T ≤ 0.

Nếu T là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊ thì phù hợp với Định lý 2.19 0> z, M z⁻+q = q_i.

Thay vào đó một số nguyên dương k và định nghĩa

z^k = 0, ...,0,−1 k ^{,0, ...,0,1,0, ...,0} T .

Với ⁻¹_k là giá trị thứ i và 1 là giá trị thứ j. Chú ý rằng z^k, M z^k = λ_i z_i^k2 = ^λi k^{2 < 0,} z^k, M z^k= λ_i z^k_i² = ^λi k^{2 < 0.} Và M^Tz^k = 0, ...,0,^λi k ^{,0, ...,0} T ≤0, M^Tz^k = 0, ...,0,−^λi k ^{,0, ...,0} T ≥0. Nếu T là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊ , do Định lý 2.19

z^k, q ≤ 0, z^k, q≥ 0. Suy ra rằng 1 k^qi+qj ≤0, −¹ k^qi+qj ≥ 0. Hoặc tương đương

q_i

k ≤ q_j ≤ −^qi k^.

Cho k → ∞ ta được q_j = 0 với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. Do đó ta chứng minh được

q_i < 0; q_j = 0;∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}.

Điều kiện cần : Giả sử q_i < 0; q_j = 0;∀j ∈ {1,2, ..., n} \ {i} thỏa mãn (2.27). Để chỉ ra T là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊ chúng ta chọn bất kỳ x, y từ

Rⁿ₊ . Từ (2.26) và (2.27) chúng ta suy ra rằng hT (x), y−xi = (λ_ix_i +q_i) (y_i−x_i). Và hT (y), y −xi = (λ_iy_i+q_i) (y_i −x_i). Từ λ_ix_i+q_i < 0 và λ_iy_i+q_i < 0 ta suy ra hT (x), y−xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y−xi ≥ 0. Do đó T là giả đơn điệu trên _Rⁿ₊.

Bây giờ chúng ta đi mô tả lớp ánh xạ giả đơn điệu aphin mà toán tử chỉnh hóa T_ε là không giả đơn điệu với mọi ε > 0 đủ nhỏ.

Định lý 2.21. Cho T (x) = M x+q với M = diag(λ₁, λ₂, ..., λ_n) ;q = (q₁, q₂, ..., q_n) tương ứng là ma trận đường chéo chính và véc tơ trong Rⁿ. Nếu T chỉ giả đơn điệu trong _Rⁿ₊ (T giả đơn điệu nhưng không đơn điệu trong _Rⁿ₊) thì tồn tại ε > 0 sao cho T_ε(x) = T (x) + εx

không giả đơn điệu trên _Rⁿ₊, với mọi ε ∈ (0, ε).

Chứng minh. Từ T (x) = M x + q chỉ giả đơn điệu trong _Rⁿ₊. Theo Định lý 2.20 tồn tại duy nhất i ∈ {1,2, ..., n} sao cho λ_i < 0, q_i < 0, và λ_j = q_i = 0 ; với mọi j ∈ {1,2, ..., n} \ {i}. Đặt |λ_i| > 0 chúng ta thấy rằng với mỗi ε ∈ (0, ε) ma trận đường chéo chính M_ε = M + εI có hai phần tử trên đường chéo chính trái dấu nhau. Do đó theo Định lý 2.20 ánh xạ T_ε(x) = M_εx + q không giả đơn điệu trên _Rⁿ₊, với mọi ε ∈ (0, ε).

Bây giờ chúng ta sẽ lấy một số ví dụ minh họa cho Định lý 2.21 Ví dụ 2.6. Cho T (x) = M x+q với M = −1 0 0 0 ; q = −1 0. Với bất kì x = (x₁, x₂)^T;y = (y₁, y₂)^T ∈ _R²₊ chúng ta có hT (x), y−xi = (−x₁ −1) (y₁ −x₁) ; hT (y), y−xi = (−y₁ −1) (y₁ −x₁). Từ −x₁ −1 < 0 và −y₁ −1< 0, ta có hT (x), y−xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y−xi ≥ 0.

Do đó T(x) là giả đơn điệu trên _R²₊. Với mỗi ε ∈ 0,¹₂ đặt

x_ε = 0, ε−2ε²⁻ 1 2 T , y_ε = ε, ε−2ε² + 1 ε−2ε²⁻ 1 2 T .

Chúng ta có x_ε, y_ε ∈ _R²₊ và

hT_ε(x_ε), y_ε−x_εi = 0, hT_ε(y_ε), y_ε −x_εi = −ε³ < 0.

Do đó T_ε(x) không giả đơn điệu trên _R²₊. Chú ý SOL _R²₊, T = ∅. Tiếp theo ta xét một ví dụ mà bất đẳng thức biến phân có nghiệm.

Ví dụ 2.7. Cho M, q, T như trong Ví dụ 2.6 và K = [0,1]×_R+ ⊂ _R²₊. Từ T(x) là giả đơn điệu trên _R²₊, nó giả đơn điệu trên K.

Chọn x_ε, y_ε như trong Ví dụ 2.6. Với bất kì ε ∈ 0,¹₂, chúng ta có thể chỉ ra rằng T_ε(x) = M_εx+q + εx là giả đơn điệu trên K, với mọi ε∈ 0, ¹₂.

Không khó khăn gì để chúng ta chứng minh rằng SOL _R²₊, T =

{1} ×_R+.

Kết luận

Chương 2 đã trình bày ứng dụng những tính chất của hàm giả aphin và ứng dụng.

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các nội dung sau: Một số khái niệm và những tính chất cơ bản của hàm giả aphin. Một số ứng dụng tính chất của hàm giả aphin vào nghiên cứu bài toán bất đẳng thưc biến phân.

Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.

Tài liệu tham khảo

[1] Hoàng Tụy,(2005),Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone , J. Conv. Anal., Volume 10, No. 1, pp. 149-168.

[3] J. Dugundij, A. Granas,(1982), Fixed point Theory, Vol. 1, Polish Scientific Publishers, Warsaw.

[4] Monica Bianchi, Siegfried SchaibleAn Extension of Pseudolinear function and Variational Inequality Problems, J. Optim. Appl. Vol. 104, pp. 59-71.

[5] N. Hadjisavvas, S. Komlosi and S. Schaible,(2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer.

[6] M. S. Gowda, (1990), Affine Pseudomonotone Mapping and the Linear Complementarity Problem, SIAM J. Matrix Anal. Appl. Vol. 11, No. 3, pp. 373-380.

[7] Pham Duy Khanh,(2012), Partial Solution for an Open Question on Pseudomonotone Variational Inequalities, Appl. Anal.Vol. 91, No. 9, pp.1691–1698.

[8] Pham Duy Khanh,(2013), On the Tikhonov Regularization of Pseudomonotone Mapping, Optim. Lett. DOI 10.1007/s 11590-013- 0659-9.