Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa bất đẳng thức biến phân dạng đơn giản (kí hiệu VI ).
Định nghĩa 2.3. Cho một tập khác rỗng, lồi, đóng K là tập con của không gian Euclit n chiều Rn, ánh xạ T : K → Rn. Bất đẳng thức biến phân định nghĩa bởi K và T được kí hiệu V I(K, T) là bài toán tìm một véc tơ x ∈ K sao cho :
hT (x), y−xi ≥ 0;∀y ∈ K.
Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu SOL(K, T). Khi K = Rn thì ta gọi V I (Rn, T) là bất đẳng thức biến phân không có ràng buộc.
Chú ý 2.2. Véc tơ x là nghiệm của bài toán V I(Rn, T) khi và chỉ khi T(x) = 0.
Chúng ta có thể chứng minh được rằng :
+) Nếu T là giả đơn điệu trên K thì SOL(K, T) là lồi. +) Nếu T là liên tục trên K thì SOL(K, T) là đóng.
Với mỗi ε > 0 chúng ta đặt Tε = T + εI. Ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên Rn.
Nếu bài toán VI (K, Tε) có nghiệm duy nhất kí hiệu x(ε) thì tập
{x(ε), ε > 0} được gọi là quỹ đạo Tikhonov của VI (K, T). Bây giờ chúng ta sẽ nêu một số điều kiện để giới hạn lim
ε→0+x(ε) tồn tại và nó là nghiệm của bài toánVI (K, T). Phương pháp tìm nghiệm của bài toánVI (K, T)là thông qua chuỗi điểmx(εk), k ∈ N;εk → 0+;k →+∞
của quỹ đạo Tikhonov và dùng giới hạn lim
k→+∞x(εk) được gọi là phương pháp Tikhonov chính quy.
Chúng ta xét hai định lý sau :
Định lý 2.10. Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K → Rn
là liên tục và giả đơn điệu trên K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
i) SOL(K, Tε) là khác rỗng với mỗi ε > 0 và lim
ε→0+x(ε) tồn tai. Ở đây x(ε) chọn bất kì trong SOL(K, Tε).
ii) SOL(K, Tε) là khác rỗng với mỗi ε > 0và lim
ε→0+supkx(ε)k < ∞. Ở đây x(ε) chọn bất kì trong SOL(K, Tε).
iii) SOL(K, T) là khác rỗng.
Định lý 2.11. Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K → Rn
là liên tục và giả đơn điệu trên K. Nếu SOL(K, T) là khác rỗng thì ta có :
i) Mỗi ε > 0 bất kì, tập SOL(K, Tε) là compact và khác rỗng. ii) lim
ε→0+diamSOL(K, Tε) = 0.
Ở đây diamM := sup{kx−yk : x ∈ M, y ∈ M} là đường kính của
M ⊂ Rn.
Đến đây chúng ta quan tâm đến vấn đề sau : Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K →Rn là liên tục và giả đơn điệu trên K. Bài
toán V I(K, T) có nghiệm thì có tồn tại ε > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0;ε] để Tε = T + εI là giả đơn điệu và bài toán V I(K, Tε) có nghiệm duy nhất hay không?
Phần đầu của câu hỏi ta chỉ cần chỉ ra tồn tại một ánh xạ liên tục khả vi giả đơn điệu T : R2 → R2 sao cho SOL R2, Tε 6= ∅. Nhưng với ε > 0 thì Tε = T +εI không giả đơn điệu.
Bây giờ chúng ta sẽ đi giải quyết phần hai của câu hỏi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});