Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc tính giả đơn điệu của ánh xạ T (x) = ax+b, trên tập khác rỗng, lồi, đóng K ⊂ R với a và b là các hằng số thực.
Định lý 2.17. Cho K ⊂ R là tập khác rỗng, lồi, đóng. Và T (x) = ax+b là ánh xạ aphin. Thì T là giả đơn điệu trên K nếu và chỉ nếu một trong năm trường hợp sau xảy ra :
a) K có một phần tử duy nhất; b) K = R và a ≥ 0;
c) K = [α; +∞) với α ∈ R, một trong hai a ≥ 0 hoặc a < 0 và
aα+b < 0;
d) K = (−∞;β] với β ∈ R, một trong hai a ≥ 0 hoặc a < 0 và
aβ +b > 0;
e) K = [α;β] với α;β ∈ R;α < β, một trong hai a ≥ 0 hoặc a < 0 và aα+ b < 0 hoặc a < 0 và aβ+ b > 0.
Chứng minh. Nếu K có một phần tử duy nhất, chúng ta có
hT (x) ;y −xi = hT (y) ;y −xi = 0; ∀x;y ∈ K. Và do đó T là giả đơn điệu trên K.
Nếu a≥ 0, ánh xạ T (x) =ax+b là đơn điệu trên R, và do đó nó giả đơn điệu trên K ⊂ R.
Bây giờ ta đi xét trường hợp a < 0 và K chứa nhiều hơn một phần tử.
Trường hợp 1: K = R. Vì x = −ab và y 6= −ab, chúng ta có
hT (y), y−xi = (ay + b) y + b a = a y + b a 2 < 0. Do đó T không giả đơn điệu trên K.
Trường hợp 2: K = [α; +∞). Nếu aα + b < 0 thì T (x) = ax +b ≤ aα+b < 0; ∀x ∈ K; như vậy
hT (x), y−xi ≥ 0⇒ hT (y), y−xi ≥ 0; ∀x, y ∈ K.
Do đó T là giả đơn điệu trên K. Nếu aα + b ≥ 0 thì T không giả đơn điệu trên K. Để thấy điều này chúng ta chọn x= −ab; y ∈ K\
−ab và áp dụng lập luận như trong trường hợp 1.
Trường hợp 3: K = (−∞;β].
Phân tích tương tự như trường hợp 2 cho thấy T là giả đơn điệu trên K nếu và chỉ nếu aβ +b > 0.
Trường hợp 4: K = [α;β]
Với một số suy luận tương tự được sử dụng trong trường hợp 2; trường hợp 3 cho thấy T là giả đơn điệu trên K nếu và chỉ nếu aα+b < 0 hoặc aβ +b > 0.
Trên cơ sở Định lý 2.17 chúng ta sẽ đi chứng minh tính giả đơn điệu được bảo toàn theo quy tắc ánh xạ.
Định lý 2.18. Cho K là tập khác rỗng, lồi, đóng trên R Và T (x) = ax + b là ánh xạ aphin. Nếu T là giả đơn điệu trên K thì tồn tại
ε > 0 sao cho Tε(x) = (a+ε)x +b là giả đơn điệu trên K với mọi
ε ∈ (0;ε).
Chứng minh. Nó đủ điều kiện để xét 5 trường hợp (a) - (e) trong Định lý 2.17 :
Trong trường hợp (c) - (e) nếu a ≥ 0 thì ta khẳng định đúng. Bởi vậy ta cần xét trường hợp a < 0.
Nếu (c) xảy ra a < 0 và aα+b < 0 thì a+ε < 0 và (a+ε)α+b < 0 với mọi ε ∈ (0;ε), ở đây
ε =
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
|a| ;α ≤ 0 min|a|,|aα+b|α−1 ;α > 0.
Do đó từ Định lý 2.17 Tε(x) = (a+ε)x+b là giả đơn điệu trên K với mọi ε ∈ (0;ε).
Nếu (d) xảy ra a < 0 và aβ+b > 0 thì a+ε < 0 và (a+ε)β+b < 0 với mọi ε ∈ (0;ε), ở đây
ε =
|a| ;β ≥ 0 min|a|,|aβ +b|β−1 ;β < 0.
Do đó từ Định lý 2.17 Tε(x) = (a+ε)x+b là giả đơn điệu trên K với mọi ε ∈ (0;ε).
Nếu (e) xảy ra a < 0 và aα +b < 0 thì lập luận như trường hợp (c). Nếu (e) xảy ra a < 0 và aβ + b > 0 thì lập luận như trường hợp (d).
Trong phần tiếp theo chúng ta đi xét tính giả đơn điệu của Tε được bảo toàn với ε > 0 đủ nhỏ (T là giả đơn điệu ) được mô ta trong Định lý 2.18 với K ⊂R.
Tuy nhiên điều này không còn đúng trong trường hợp K là khác rỗng, đóng, lồi trong Rn, n ≥ 2.