4.3.1. Sự tiến hóa của số hạng phá vỡ SĐX mềm
Ta đưa vào một số thông số đầu vào sau: ộ€ = 100 % & , € = 400 % & , \/y = 3700 % & ở thang năng lượng còn 2ộÔ ú = 10.
Với thông số đầu vào như trên ta giải các phương trình nhóm tái chuẩn hóa
(3.2) đến (3.12) từ thang năng lượng cho đến .
Sau quá trình tắnh toán ta thu được kết quả thông qua các đồ thị sau:
Hình 4.3: Sự tiến hóa của các khối lượng gaugino trong khoảng từ tới
Nhận xét:
- Đồ thị có dáng điệu ba đường cong hội tụ tại thăng năng lượng ở giá
trị = 400 % & do các tham số phụ thuộc vào thang năng lượng hay còn được gọi là hiệu ứng ỀchạyỂ được mô tả bằng các phương trình nhóm tái chuẩn hóa. Giá trị
2 4 6 8 10 12 14 16 200 400 600 800 1000 t Gev M G ev M3 M2 M1
60
hội tụ của các đường cong là 400 % & vì trong phần tắnh toán ta đặt điều kiện biên là giá trị 400 % & và bắt đồ thị hội tụ tại đó.
- r có xu hướng giảm do trong công thức (3.12) có chứa 5r = 3 có giá trị dương nhưng đứng sau dấu Ề-Ể nên khi 2 tăng thì r sẽ giảm .
- \, y trong công thức (3.12) có xu hướng tăng lên do có chứa 5y = −1 và 5\ = −rrd , đây là các giá trị âm nhưng đứng sau dấu Ề-Ểnên khi 2 tăng thì hai đồ thị \, y tăng chứ không giảm như r.
- Đường y gần như nằm ngang còn đường \ thì có xu hướng tăng nhanh
hơn. Do trong phương trình \ có chứa 5\ nhỏ hơn rất nhiều so với 5y trong y mà
5\, 5y mang giá trị âm và nằm sau dấu Ề-Ể nên đường y có xu hướng tăng chậm hơn nhiều so với \.
Hình 4.4: Hằng số phá vỡ siêu đối xứng mềm ở mức một vòng
Nhận xét:
- Đồ thị có dạng ba đường cong hội tụ tại giá trị ộ€ = 100 % & ở mức năng
lượng do hiệu ứng ỀchạyỂ được mô tả bằng các phương trình nhóm tái chuẩn
hóa. Giá trị hội tụ của các đường cong là 100 % & vì trong phần tắnh toán ta đặt điều kiện biên bằng 100 % &.
2 4 6 8 10 12 14 16 200 400 600 800 1000 1200 t Gev A G ev At Ab A
61
- Cả ba đường đều có xu hướng giảm xuống và có độ dốc tương ứng giảm dần là R|, R@, R do trong các phương trình (3.2), (3.3), (3.4) các số hạng âm chiếm ưu thế hơn các số hạng dương.
- Đường R| giảm nhiều nhất do số hạng âm chiếm ưu thế hơn hẳn số hạng dương, cụ thể là trong phương trình R| số hạng âm chứa hằng số tương tác mạnh Qr lớn và chứa hằng số tương tác Yukawa có hệ số là 12. Trong khi phương trình của R@ chỉ có hằng số tương tác Yukawa với hệ số là 2 nhỏ hơn nên dù vẫn có xu hướng giảm dần nhưng độ dốc giảm đi đáng kể so với R|.
- Đường R thì có dạng gần như nằm ngang mặc dù vẫn có xu hướng giảm là do trong công thức R các số hạng âm và dương có đóng góp là tương đương nhau, số hạng âm chỉ đóng góp nhiều hơn một ắt.
Hình 4.5: Khảo sát khối lượng các hạt trong khoảng . tới
Nhận xét:
- Trong đó: ẽ, ì là khối lượng của lưỡng tuyến Higgs.
, . , Ũ , G , ắ là khối lượng của lần lượt các hạt slepton, quark. Các khối
lượng Ă, .Ă, ŨĂ, GĂ, ắĂ có giá trị bằng , . , Ũ , G , ắ nên không
đưa vào đồ thị phắa trên nữa
4 6 8 10 12 14 16 3000 3200 3400 3600 3800 t Gev m G ev mQ3 mQ1 mu3 mu1 md3 md1 mL3 mL1 me3 me1 mHd mHu
62
- Tất cả các đồ thị khối lượng đều hội tụ tại giá trị = 3700 % &.
- Các đường tăng: ẽ, ì, , , . , G , ắ . Trong đó: ẽ là
tăng mạnh nhất. Tiếp theo là đến G , ắ , Ấì, Ẩ
- Các đường giảm: . , Ũ , Ũ , G , ắ .
- Dáng điệu của các đường cong về sự phụ thuộc các khối lượng mềm theo thang năng lượng có thể hiểu được thông qua việc phân tắch các số hạng khác nhau trong phương trình nhóm tái chuẩn hóa tương ứng. Cụ thể: Những số hạng liên quan đến tương tác chuẩn sẽ làm tăng các tham số khối lượng mềm. Trong khi đó các số hạng liên quan đến tương tác Yukawa sẽ làm chúng giảm khi thang năng lượng
giảm từ đến .
4.3.2. Phổ khối lượng và ứng cử viên vật chất tối
Thông qua việc nghiên cứu các tham số phá vỡ siêu đối xứng mềm ở thang
năng lượng thấp và tiến hành chéo hóa các ma trận khối lượng, chúng tôi đã tắnh toán được phổ khối lượng của các hạt siêu đồng hành trong mô hình MSSM ràng buộc. Kết quả cụ thể được trình bày trong bảng 4.1.
Bảng 4.1: Khối lượng các hạt siêu đồng hành trong mô hình MSSM ràng buộc
Tên hạt Ký hiệu Khối lượng các hạt (GeV)
Squark 0ơ\.y 3790; 3724
1̃\.y 3790; 3724 2̃\.y 3024; 2014 3È\.y 3790; 3781 4̃\.y 3790; 3781 5ẹ\.y 3708; 3028 Slepton ̃\.y 3713; 3697 ơ\.y 3713; 3697 ̃\.y 3696; 3662 Neutralinos ơ\,y,r, 1079; 1074,6; 333,1;176,3 Charginos ơỬ 1079,4; 333,1 Higgs(CP even) > 3758 Higgs(CP even) ℎ 125,36 Higgs (CP odd) R 3758 Higgs (CP Charged) >Ử 3759
63 Sneutrino 9ơ 3712 9ơ 3712 9ơ 3695 Gluino Qơ 924,49 Nhận xét:
- Khối lượng hạt Higgs thu được là 125,36 % & phù hợp với khối lượng hạt Higgs tìm được trong thực nghiệm.
- Stop nhẹ nhất trong squark là do hằng số tương tác Yukawa tương ứng với stop (e@) có giá trị lớn hơn so với các hằng số Yukawa khác (eG, eŨ, en, eL, e|)
- Stau nhẹ nhất trong slepton. Nguyên nhân ở đây là các hằng số Yukawa tương ứng với Stau (e) có giá trị lớn hơn so với các Yukawa của Slepton khác (e , e ).
- Khối lượng hạt siêu đồng hành nhỏ nhất tìm được qua quá trình tắnh toán là khối lượng của Neutralinos ơ = 176,3 % &. Trong mô hình chúng ta sẽ xem xét thì R-parity được bảo toàn cho nên khi Neutralinos được sinh ra thì nó không thể phân rã thành hai hạt nhẹ hơn trong mô hình chuẩn mà chỉ có thể phân rã thành một hạt trong mô hình chuẩn và một hạt siêu đồng hành. Tuy nhiên Neutralinos là hạt siêu đồng hành nhẹ nhất nên nó không thể phân rã ra hạt siêu đồng hành có khối lượng nặng hơn nó, do đó nó là hạt siêu đồng hành bền.
Bên cạnh đó Neutralinos là hạt trung hòa về điện và không có màu tắch cho nên nó không tham gia tương tác điện từ hay tương tác mạnh. Tương tác chuẩn duy nhất mà Neutralinos tham gia là tương tác yếu.
Khối lượng hạt này như chúng ta tìm được ở đây là lớn so với các hạt khác trong mô hình chuẩn ( !"#$%& > @AC FGHIJ), cho nên ảnh hưởng hấp dẫn gây bởi sự tắch tụ các hạt Neutralinos trong vũ trụ có khả năng giải thắch được các hiện tượng liên quan đến vật chất tối.
Với những lý do đó Neutralinos là một ứng cử viên tốt cho vật chất tối trong mô hình mà chúng ta đang xem xét.
64
KẾT LUẬN
Trong bản luận văn này, chúng tôi trình bày những nghiên cứu hiện tượng luận về mô hình MSSM ràng buộc và ứng cử viên vật chất tối trong mô hình này dựa trên việc xem xét phương trình nhóm tái chuẩn hóa và những tắnh toán số cần thiết.
Những kết quả chắnh thu được của luận văn là:
1. Thu được sự phụ thuộc của các tham số phá vỡ siêu đối xứng theo thang năng lượng đối với một mô hình phá vỡ siêu đối xứng cụ thể (mô hình MSSM ràng buộc), và giải thắch dáng điệu của sự phụ thuộc này.
2. Thu được phổ khối lượng của các hạt siêu đồng hành trong mô hình MSSM ràng buộc bằng việc nghiên cứu mô hình ở thang năng lượng thấp.
3. Khối lượng của hạt Higgs nhẹ nhất được tắnh toán có giá trị là
125,36 % & , phù hợp với kết quả đo đạc được gần đây tại máy gia tốc
LHC.
4. Trong mô hình được nghiên cứu, chúng tôi đã chứng tỏ rằng hạt neutralinos đóng vai trò là ứng cử viên tốt cho vật chất tối.
Những kết quả của luận văn có thể sử dụng để tắnh toán những quá trình vật lý cụ thể cần đến khối lượng của các hạt siêu đồng hành, cũng như tắnh toán lượng tàn dư vật chất tối trong vũ trụ.
65
TầI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
1. Hà Huy Bằng (2006), Các bài giảng về Siêu Đối Xứng, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội.
2. Hoàng Ngọc Long (2003), Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống nhất
tương tác điện yếu, NXB Khoa học và kỹ thuật.
3. Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết Hạt cơ bản, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
Tiếng Anh:
4. Arason H., Castano D. J., Kesthelyi B., Mikaelian S., Piard E. J., Ramond P., and Wright B. D. (1992), ỀRenormalization-group study of the standard
model and its extensions: The standard modelỂ, Physical Review D, 9,
pp. 3945-3965.
5. Arason H., Castano D. J., Kesthelyi B., Mikaelian S., Piard E. J., Ramond P., and Wright B. D. (1992), ỀRenormalization-group study of the standard model and its extensions:TheMinimalSupersymmetricStandardModelỂ,
Physical Review D, 9, pp.3465-3513.
6. Csaba Csáki (1996), ỀThe Minimal Supersymmetric Standard Model.
(MSSM)Ể, Modern Physics Letters A, 11, pp.234-314.
7. Manuel Drees (1996), ỀAn introduction to SupersymmetryỂ, Modern Physics
66
PHỤ LỤC
Phụ lục A: Các nhóm biến đổi U(1), SU(2), SU(3)
Ễ Nhóm U(1):
Các biến đổi U(1) với tham số :
o = 7', Ễ ∈ ℛ
Ễ Nhóm SU(2):
Các biến đổi SU(2) với tham số thực * có dạng:
)**+ = 7 ∑ WX+X (A.1) ổH như toán tử spin đồng vị. Từ điều kiện unita: )) = 1,
Ta có: ự1 + P a*HổH H + ⋯ ầ ự1 − P a*HổH H + ⋯ ầ = 1 Do vậy ổH là hermitic: ổH = ổH
Nếu thỏa mãn: ỖổH, ổ|ỷ = P{H|nổn thì công thức (A.1) là nhóm biến đổi SU(2).
Ễ Nhóm SU(3):
Nhóm SU(3) là tổ hợp các ma trận 3È3 unita có định thức bằng 1.
QQ = 1, (A.2)
det Q = 1,
Bất kỳ một phần tử nào của nhóm SU(3)cũng được biểu diễn dưới dạng: Q**H+ = 7 ∑ WX.X
y
X , ộ = 1,2,3,Ẩ,8
Từ điều kiện (A.2), ta có ẦH = ẦH (hermitic) và điều kiện định thức bằng 1 dẫn đến các ma trận ẦH không vết: ạăẦH =0. Các ma trận ẦH gọi là các ma trận Gell-
67
Mann thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau: Ễ.X
y ,.0y ž = PxH|n.1y, 2.X
y ,.0y3 = 3H|n +\rốH|
Hằng số xH|n hoàn toàn phản đối xứng theo các chỉ số của mình, được gọi là hằng số cấu trúc nhóm SU(3), còn lại hệ số 3H|n được xác định như sau:
68
Phụ lục B: Đại số siêu đối xứng
Gọi Q là các toán tử lượng tử làm thay đổi thống kê của trạng thái nghĩa là tăng giảm giá trị spin một lượng bằng một số lẻ của Ỏ (là các toán tử fermion). Ngoài ra các toán tử không làm thay đổi thống kê của trạng thái được gọi là toán tử boson.
Trong đại số siêu đối xứng, mọi vi tử (generator) cho phép biến đổi siêu đối xứng đều là các toán tử fermion, được gọi là các vi tử lẻ của đại số siêu đối xứng; còn các toán tử boson được gọi là các vi tử chẵn.
Ừ=ịữ, =pỹçồỬ = 2hịỹçẨÃẨốồữ,
Ừ=ịữ, =ỹồỬ = Ừ=pịçữ, =pỹçồỬ = 0, (B.1) ỖÃẨ, =ịữỷ = ỖÃẨ, =pịçữỷ = 0,
ỖÃẨ, ÃDỷ = 0 Các loại chỉ số được quy ước như sau:
- Chỉ số các thành phần spinor Weyl (4, ú,Ẩ,4ç, úç,Ẩ) nhận giá trị trong tập giá trị {1,2}.
- Chỉ số các thành phần vetor Lorentz 4 chiều (m,n,Ẩ) nhận giá trị trong tập giá trị {1,2,3,4} hoặc {0,1,2,3}.
- Chỉ số liên quan đến không gian nội tại (A, B,Ẩ) nhận giá trị từ 1 đến N>=1. Khi N=1 ta có đại số siêu đối xứng. Khi N>1 ta có đại số siêu đối xứng mở rộng. Chỉ số này cho ta biết, trong một hệ vật lý, có bao nhiêu siêu đối xứng, và do đó ứng với mỗi hạt fermion/boson vật lý sẽ có bao nhiêu hạt sfermion/bosino đồng hành. Giá trị N giảm theo năng lượng: ở thang năng lượng nhỏ, không có siêu đối xứng (coi như N=0)
Từ các ma trận Pauli ta có:
ÃẨhẨ = g−ÃÃ €+ Ãr Ã\− PÃy
69
Trong mỗi biểu diễn của đại số siêu đối xứng, số trạng thái boson và fermion bằng nhau.
Định nghĩa toán tử số fermion ÝÍ, sao cho ΘÓ6 có trị riêng +1 đối với trạng thái boson và -1 đối với trạng thái fermion. Ta có:
ạăỖΘÓ6ÃẨỷ = 0, Với xung lượng ÃẨkhác 0 thì:
ạăỖ7Ó6ỷ = 0 (B.2) Công thức (B.2) cho thấy số trạng thái boson và fermion là bằng nhau trong các biểu diễn của đại số siêu đối xứng. Về mặt ý nghĩa vật lý, trọng tâm của đại số
(B.1) là hệ thức giữa các vi tử siêu đối xứng và các vi tử tịnh tiến theo thời gian:
Ừ=ịữ, =pỹçồỬ = 2hịỹçẨÃẨốồữ
Ý nghĩa của hệ thức là tác động liên tiếp của hai phép biến đổi siêu đối xứng hữu hạn sẽ tương đương với một phép tắnh tiến trong không thời gian (của các trạng thái mà các phép biến đổi siêu đối xứng này tác động).
70
Phụ lục C: Nhóm tái chuẩn hóa
Giả sử có hai sơ đồ tái chuẩn hóa là R và R’. Sau khi tái chuẩn hóa, Lagrangian phải thỏa mãn:
ℒ = ℒ< = ℒ<8
Mối liên hệ giữa các trường đã tái chuẩn hóa như sau: Φ<8 = ểê\/y*k[, k+Φ<
Trong đó:
ểê*k[, k+ =ểê*k[+ ểê*k+
Điều này cho thấy các trường đã tái chuẩn hóa ở các sơ đồ khác nhau có mối liên hệ qua hằng số khả tắch. Vì Φ<, Φ<8 hữu hạn, nên ểê*k[, k+ cũng hữu hạn, mặc dù nó là tỷ số của hai số vô hạn. Tương tự cho các đại lượng khác như hằng số tương tác và khối lượng.
Hằng số tương tác: Ầ<8 = ể.\*k[, k+ểêy*k[, k+Ầ< Hằng số khối lượng: <y8 = <y + ố y*k[, k+ Trong đó: ể.*k[, k+ = 9l<8m
9*<+,
ố y*k[, k+ = ố y*k[+ − ố y*k+
Các công thức trên cho thấy: Các biến đổi tái chuẩn hóa lập thành một nhóm và gọi là nhóm tái chuẩn hóa. Để mô tả nhóm này người ta tìm phương trình đặc trưng gọi là phương trình nhóm tái chuẩn hóa (renormalization group equation) hay phương trình Callan-Symanzik (C-S)
Phương trình Callan-Symanzik: ẳ O + úO *K + O
71 Trong đó: ú*K + =li→€mg OQO j< Ẩ>,K>, ố*K + =li→€mg < O < O jẨ>,K>, c*K + =lim →€g OOln ểrj Ẩ>,K>,
