2.2. Lagrangian toàn phần
2.2.7. Dòng mang điện và dòng trung hòa
23
Để việc xét có tắnh tổng quát, ta hãy kắ hiệu lưỡng tuyến fermion:
6- ≡ *xx.G
.Ũ+ , k-G = x<G , k-Ũ = x<Ũ (2.2)
Chú ý rằng điện tắch của fermion trên xG lớn hơn điện tắch của fermion dưới xŨ là một. Sử dụng các kắ hiệu (2.2), ta xét Lagrangian Dirac của các fermion trong một thế hệ. ℒ-ợ = P6p-c M 6- + Pkp-Gc M k-G+ Pkp-Ũc M k-Ũ = Px̅.Gc O x.G+ Px̅<Gc O x<G+ Px̅.Ũc O x.Ũ+ Px̅<Ũc O x<Ũ + Q √2Ểz 6p-c 6-+ z 6p-c 6-Ồ + R Ể6p-c =6- + kp-Gc =k-G+ kp-Ũc =k-ŨỒ +1Q ềể Ừx̅.Gc ổr*x.G+x.G+ x̅.Ũc ổr*x.Ũ+x.Ũ − 4ềyỂ=*xG+x̅Gc xG+ =*xŨ+x̅Ũc xŨỒỬ ℒ-ợ = Px̅Gc O xG+ Px̅Ũc O xŨ + Q √2Ểz x̅.Gc x.Ũ+ z x̅.Ũc x.GỒ + R Ể=*xG+x̅Gc xG+ =*xŨ+x̅Ũc xŨỒ +1Q ềể Ừx̅Gc Ỗổr*x.G+Ã. − 4ềy=*xG+ỷxG+ x̅Ũc Ỗổr*x.Ũ+Ã. − 4ềy=*xŨ+ỷxŨỬ (2.3) Trong (2.3) ta đã sử dụng tắnh chất: điện tắch của fermion trái bằng điện tắch của fermion phải. Các số hạng ở hàng thứ nhất của (2.3) là phần động năng của các fermion. Số hạng ở dòng thứ hai mô tả tương tác của các W boson với các dòng mang điện. Nếu ta viết nó dưới dạng
ℒ-,, = Q
24
Trong đó các dòng mang điện được cho bởi
Ỳ *x+ = x̅.Gc x.Ũ =12 x̅Gc *1 − cd+xŨ
Như vậy các dòng mang điện có dạng V-A như trong tương tác yếu và chỉ có các fermion trái trong lưỡng tuyến tham gia. Trong thế hệ thứ nhất dòng mang điện là: Ỳ = 12 ̅ c *1 − cd+ +12 ³c *1 − cd+3 Ta có hệ thức: %Í √2= Qy 8 ềy
Khối lượng của W boson:
ề
y =Qy4 ℎộỈ 9y ề =Q92
Ta thay khối lượng của W boson vào hệ thức phắa trên sẽ thu được mối liên hệ giữa trung bình chân không (VEV) với hằng số tương tác yếu Fermi
= 8 1 √2%Í;
\ y
Với %Í = 1.166 È 10 d% & y suy ra ≃ 246 % &
Tóm lại: ta đã xây dựng được lý thuyết kiểu vector (tương tác hai fermion với một trường vector) với hạt truyền có khối lượng và ở năng lượng thấp, tương đương với lý thuyết V-A. Điều quan trọng là lý thuyết này tái chuẩn hóa được do hạt truyền W là trường chuẩn.
b. Dòng trung hòa
Số hạng ở dòng thứ ba trong (2.3) là dòng điện từ Ỳ Ẩ = Ể=*xG+x̅Gc xG+ =*xŨ+x̅Ũc xŨỒ
25 Tương tác với photon
ℒ Ẩ = Ỳ ẨR
Bây giờ ta xét hai số hạng cuối cùng trong (2.3). Đây chắnh là dòng trung hòa tương tác với Z boson
ℒ-Ó, =1Q
ềể Ỳ€
Từ (2.3) ta có:
Ỳ€ = x̅Gc Ỗổr*x.G+Ã. − 4ềy=*xG+ỷxG+ x̅Ũc Ỗổr*x.Ũ+Ã. − 4ềy=*xŨ+ỷxŨ
= Ỳ€*xG+ + Ỳ€*xŨ+ (2.4) Thông thường người ta viết dòng trung hòa dưới dạng trái (L), phải (R) Ỳ€*x+ = \yỂQ.-x̅c *1 − cd+x + Q<-x̅c *1 + cd+xỒ (2.5)
So sánh (2.4) và (2.5) ta có:
Q.,<- = ổrlx.,<m − 4ềy=*x+ Để đầy đủ ta đưa dạng V-A của dòng trung hòa
Ỳ€*x+ =12 ỂQử-x̅c x − Qữ-x̅c cdxỒ Mối liên hệ giữa hai loại hệ số như sau:
Qử- = Q.-+ Q<-, Qữ- = Q.-− Q<- Do đó:
Q.u =12, Q<u = 0, Q. = −12 + 4ềy, Q< = 4ềy, Q.G =12 −23 4ềy, Q<G = −23 4ềy,
26
Q.Ũ = −12 +13 4ềy, Q.Ũ =13 4ềy
Các dòng trung hòa và điện từ nối các fermion cùng loại nghĩa là cùng ở phắa trên hoặc cùng ở phắa dưới của lưỡng tuyến. Trong khi đó W boson nối fermion trên với fermion dưới. Đối với các lepton ta có:
ℒB C@ADợ = ℒ€+ ℒu€+√yK l ̅ .c .z + ̅.c .z m − R ̅c + nK
Òể ̅c Ỗ*−1 + 4ềy+ + cdỷ (2.6) Hai số hạng đầu của (2.6) là phần động năng của electron và neutrino, số hạng thứ ba là dòng mang điện còn các số hạng cuối cùng là dòng điện từ và trung hòa. Từ (2.6) ta có các đỉnh tương tác của hai fermion với một boson chuẩn.
Đối với quark ta có: ℒFGHIJợ = ℒG€ + ℒŨ€ + Q √2l0p.c 3.z + 3̅.c 0.z m + g 2 3 0pc 0 −13 3̅c 3j R +41Q ềể 0pc ẳg1 −83 (ềyj − cdẵ 0 + nK Òể 3̅c Ễ −1 +r(ềy − cdž 3 (2.7) 2.2.8. Ma trận CKM
Tương tác Yukawa của trường Higgs với các quark được cho bởi:
ℒ = ℎG=p~n0< + ℎŨ=p~3<+ ℎ1, (2.8) Trong đó lưỡng tuyến Higgs và liên hợp của nó có dạng:
~ = g ỄỄ€+ 9j, ~n = gỄ−Ễ j , ~A∗+ 9 n = *ỄA∗+ 9, −Ễ + Với:
= = 03 .
27
ℎG0p.*ỄA + 9+0<+ ℎŨ3̅.*ỄA∗+ 9+3<+ ℎG9Ỗ0p.0<+ 0p<0.ỷ + ℎŨ9Ể3̅.3<+ 3̅<3.Ồ + ⋯ = ℎG90p0 + ℎŨ93̅3 + ⋯
Ta gán cho =,0<, 3< chỉ số thế hệ như sau: = → =7 = g0377j
.
0< → 0<7 , 3< → 3<7
Khi đó (2.8) trở thành:
ℒ/ = ℎG7¾=p7~n0<¾ + ℎŨ7¾=p7~3<¾ + ℎ. 1 = ℎG7¾90p70¾ + ℎŨ7¾93̅73¾ + ⋯ (2.8a) Để viết lại cho gọn biểu thức (2.8a) ở trên, ta sử dụng các ký hiệu sau:
0€ = ự00\y 0rầ = ự 0′ 1′ 2′ầ , 3€ = ự 3\ 3y 3rầ = ự 3′ 4′ 5′ầ Từ (2.8a) ta thu được số hạng khối lượng của các quark:
ℒẨHLL = 0ppp€ G0€+ 3ppp€ Ũ3€+ ⋯ Với các ma trận khối lượng tương ứng là:
G = Ừ9ℎG7¾Ử , Ũ = Ừ9ℎŨ7¾Ử
Nhìn chung các ma trận khối lượng này không có dạng đường chéo nên ta cần chéo hóa chúng bằng các ma trận thắch hợp
0€ = &G0 ⟹ 0ppp€ G0€ = 0p&G G&G0 3€ = &Ũ3 ⟹ 3ppp€ Ũ3€ = 3̅&Ũ Ũ&Ũ3 0 = 801 2;, 3 = ự 3 4 5ầ Suy ra: ℒẨHLL = 0p GnÙéA ÙóH0 + 3̅ ŨnÙéA ÙóH3
28 = *0p 1̅ 2̅+ ự 0G 0n 00 0 0 @ầ 8 0 1 2; + l3̅ 4̅ 5pm ự Ũ 0 0 0 L 0 0 0 |ầ ự 3 4 5ầ
Sau khi thực hiện chéo hóa ma trận khối lượng, biểu thức Lagrangian cho dòng mang điện có một số thay đổi:
ℒnn = zỬỲ ∓ = z Ỳ + ⋯
Ỳ = x̅. c x.Ũ = 0p7[c Ã.37[⟹ 0pppc À .3€ = 0p&G c Ã.&Ũ3 = 0pc Ã.Ỗ&G &Ũỷ3 Trong đó, ,ậZ = Ỗ&G &Ũỷ gọi là ma trận CKM (Cabibbo-Kobayeshi- Maskawa matrix).
2.3. Thành công và hạn chế của Mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn là một lý thuyết trường tái chuẩn hóa giải thắch được hầu hết các kết quả thực nghiệm và dự đoán được nhiều sự kiện sau đó đã được thực nghiệm kiểm chứng.
Một số trong những thành công to lớn của mô hình chuẩn đó là dự đoán sự tồn tại của dòng trung hòa của W và Z meson, sự tồn tại hạt Higgs và của quark duyên. Có thể lấy vắ dụ như sự tiên đoán quark duyên và hạt Higgs.
Mô hình chuẩn tuy cần đến tương tác Yukawa để tạo khối lượng cho các fermion, nhưng nó lại không liên hệ được với một loại đối xứng nào để có thể cố định dạng của Lagrange tương tác như đối xứng chuẩn. Vì lẽ đó Lagrange Yukawa không chéo hóa được bằng một ma trận unitary mà đã được chéo hóa bằng các ma trận unitary khác nhau cho trường phải trái một cách riêng rẽ. Bằng cách sử dụng các ma trận này ta đã thu được ma trận CKM và từ đó tìm được những tổ hợp tuyến tắnh thắch hợp thay cho các trường quark hay lepton nguyên thủy. Sự tương tự của ma trận CKM tỏ ra phù hợp với thực nghiệm.
Tuy nhiên khi sử dụng các ma trận nói trên để xây dựng dòng trung hòa ta lại thấy không có sự pha trộn nào giữa lepton hay các quark. Sự tự khử số hạng thay
29
đổi hương trong dòng trung hòa được coi là hệ quả của một cơ chế, gọi là cơ chế Glashow-Iliopoulos-Maiani (GIM mechanism).
Tương tác bằng các dòng tắch điện đã bao hàm được một cách thuyết phục lý thuyết 4 đường của Fermi. Khi tắnh đến sắc động lực học, mô hình chuẩn đã mô tả một cách chắnh xác những sự kiện diễn ra trong thế giới vi mô, ắt nhất là đến khoảng cách 10 \ 1 .
Tuy vậy mô hình chuẩn cũng chứa đựng khá nhiều những khiếm khuyết rất
cần phải khắc phục trong các mô hình mở rộng. Một trong số đó là sự có mặt của quá nhiều những tham số tùy ý, cần phải được xác định bằng thực nghiệm. Chắnh điều này tạo ấn tượng là Mô hình chuẩn còn xa mới trở thành một lý thuyết về nền tảng của thế giới vật chất. Ta có thể tóm lược những khiếm khuyết của mô hình trong những vấn đề chắnh sau đây.
Không giải thắch được tại sao nhóm chuẩn của mô hình có dạng tắch trực tiếp:
()*3+ È ()*2+ È )*1+
Nhưng chỉ có duy nhất tương tác yếu là vi phạm đối xứng chẵn lẻ. Nó cũng không giải thắch được sự lượng tử điện tắch, mặc dù đã coi là bao hàm được toàn bộ tương tác trong tự nhiên.
Không giải thắch được tại sao có ba thế hệ của hạt chất. Nó cũng không cho được cách thức để xác định các yếu tố của ma trận CKM.
Chưa có cơ chế để ước lượng khối lượng của hạt Higgs. Thậm chắ sự tồn tại của trường Higgs sẽ kéo theo rất nhiều sơ đồ có bổ chắnh phân kỳ cho khối lượng của hạt Higgs
Đặc biệt quan trọng là trường hợp chứa phân kỳ bậc 2 và vấn đề này sẽ được giải quyết nếu xét đến siêu đối xứng.
30
Một trong những vấn đề khá tinh tế nữa là vi phạm CP của tương tác mạnh,
mà ta sẽ gọi là Vấn đề CP mạnh. Nội dung của nó như sau: Tương tác mạnh được
mô tả bằng nhóm chuẩn SU(3) và Lagrange sau:
6q *r+ = −ÍđẻÉ ÍÉđẻ+ ∑ opI IPMoI (2.9) Không có sự vi phạm chẵn lẻ. Tuy nhiên, ta có thể thêm vào (2.9) số hạng:
6q *r+[ = Ễ16Ê1 ytHvtẹH v
Trong đó, tẹ là tensor đối ngẫu của F:
tẹH v =12 { vỉễtỉễH
Và {ịỹƯỦ là tensor Ricci-Levi-Civita bốn chiều. Số hạng này là đạo hàm toàn phần cho nên về nguyên tắc không gây nên một hiệu ứng vật lý nào mới. Tuy nhiên, thực tế lại không phải như vậy. Khi lượng tử hóa, toán tử này lại vi phạm đối xứng CP và sẽ sinh ra một lưỡng cực điện cho neuntron. Tuy nhiên, thực nghiệm lại cho giá trị của Ễ rất nhỏ. Tại sao Ễ nhỏ? Đó chắnh là vấn đề vi phạm CP mạnh.
Giải quyết vấn đề vi phạm CP mạnh bằng Mô hình chuẩn, cho rằng, nó được sinh ra từ thừa số pha của hệ số liên kết Yukawa, tỏ ra là không thắch hợp. Hiện nay, đang thiên về chấp nhận một cơ chế mới, gọi là Cơ chế Peccei-Quinn. Theo cơ chế này, ngoài nhóm đối xứng tắch của Mô hình tiêu chuẩn, còn có một nhóm đối xứng tổng thể U(1) khác và Ễ trở thành một biến động lực và biến này có giá trị bằng 0 trong chân không suy biến. Điều này sẽ kéo theo sự tồn tại của một hạt giả vô hướng, gọi là axion có khối lượng rất nhỏ. Hạt này có vai trò rất lớn trong cấu trúc của vật chất tối.
Tóm lại cho đến giai đoạn hiện nay, đã có rất nhiều phương án mở rộng mô hình chuẩn. Một trong những khả năng mở rộng đó là Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM).
31
Chương 3 - MÔ HỉNH CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG
TỐI THIỂU
Mô hình chuẩn cho tới nay đã đạt được những thành công nhất định trong vật lý. Đó là chưa có một thắ nghiệm nào cho kết quả mâu thuẫn với mô hình này. Tuy nhiên các nhà vật lý vẫn không hài lòng với lý thuyết này. Các đặc tắnh quan trọng
nhất của mô hình chuẩn đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm nhưng vẫn có một
số vấn đề không thỏa mãn về mặt lý thuyết như sau: + Có quá nhiều tham số tự do
+ Nhóm ()*2+ ⊗ )*1+ không tự do tiệm cận
+ Điện tắch không lượng tử hóa + Vấn đề phân bậc gauge
Trong khi ba vấn đề trên được đưa về giải quyết trong lý thuyết thống nhất lớn (GUT- Grand Unified Theory) thì vấn đề phân chia thế hệ lại chưa có cách giải quyết tốt trong lý thuyết thồng nhất lớn. Trong một lý thuyết trường lượng tử tổng quát có chứa một trường vô hướng cơ bản, khối lượng của hạt vô hướng này sẽ nhận giá trị vào cỡ thang năng lượng cắt của lý thuyết (VD: thang Planck hoặc thang thống nhất lớn-GUT). Điều này là do sự xuất hiện các phân kỳ bậc hai khi tắnh toán đến các bổ chắnh vòng cho khối lượng của hạt Higgs.
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét mở rộng thuyết Mô hình chuẩn thành
Mô hình chuẩn Siêu Đối Xứng tối thiểu (MSSM- Minimal Supersymmetric
Standard Model). Chúng ta sẽ cho người đọc làm quen với cả cấu trúc của Mô hình chuẩn với N=1 và Mô hình siêu đối xứng tổng quát.
Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu được xây dựng trên cơ sở siêu đối xứng hóa Lagrangian của mô hình chuẩn ()*3+, ⊗ ()*2+.⊗ )*1+/ sao cho tập tham số tự do là tối thiểu.
32
3.1. Siêu đối xứng (SUSY- Supersymmetric)
Siêu đối xứng là một đối xứng giữa fermion và boson, hay chắnh xác hơn, giữa các trạng thái có spin khác nhau. Các phép biến đổi siêu đối xứng được sinh bởi các vi tử Q, biến fermion thành boson và ngược lại. Các vi tử này cùng với ÃẨ tạo thành một phương án Ềtối thiểuỂ của đại số siêu đối xứng.
Ừ=ịữ, =pỹồỬ = 2hịỹẨÃẨốồữ,
Ừ=ịữ, =ỹồỬ = Ừ=pịữ, =pỹồỬ = 0, (3.1) ỖÃẨ, =ịữỷ = ỖÃẨ, =pịữỷ = 0,
ỖÃẨ, ÃDỷ = 0
Với hẨ là các ma trận Pauli. Các trạng thái hạt trong một lý thuyết trường siêu đối xứng thành lập các biểu diễn của đại số (3.1). Các biểu diễn siêu đa tuyến có một số tắnh chất quan trọng như:
+ Số bậc tự do của boson và fermion là bằng nhau: Ôồ = ÔÍ
+ Khối lượng của mọi trạng thái trong một siêu đa tuyến là suy biến:
ồ = Í + Năng lượng À ≥ 0
Mô hình chuẩn là sự phá vỡ một cách tự nhiên thuyết gauge ()*3+, ⊗ ()*2+. ⊗ )*1+/ với trường vật chất như sau:
Leptons: 67 = 9
.É = 1,2, −\y , <É = *1,1, −1+
Quarks: =7 = 03 <É = 3,2,\ , 0<É = 3,1,yr , 3<É = 3,1, −\r
Higgs: > = ℎℎ€ = 1,2,\y , P =1, 2, 3 Trong đó: i là chỉ số thế hệ
33
L và R là hai thành phần trái và phải của fermion
Số ở trong ngoặc là số lượng tử của ()*3+, ⊗ ()*2+. ⊗ )*1+/
3.2. Cấu hình hạt và bạn đồng hành siêu đối xứng trong mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)
Mô hình siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) là một phần mở rộng của lý thuyết gauge ()*3+, ⊗ ()*2+. ⊗ )*1+/. Các quy tắc của việc xây dựng lý thuyết SUSY chuẩn với N=1 là để gán một siêu trường vector (VSF-vector Superfield) cho mỗi trường chuẩn và siêu trường chiral (χSF-chiral superfield) với từng trường vật chất. Cấu trúc vật chất của một VSF là một gauge boson và fermion Weyl gọi là gaugino, của χSF là một fermion Weyl và một vô hướng phức tạp. Trường vô hướng vecto biến đổi như là biểu diễn phó của nhóm đối xứng chuẩn, trong khi các siêu trường