SKKN Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1 Kĩ kĩ giải toán 1.2 Bài tập toán phương pháp dạy học giải tập toán Tình hình dạy học rèn luyện kĩ để giải toán cực trị hàm số trường THPT 10 II Hệ thống kiến thức cực trị hàm số sách giáo khoa giải tích lớp 12 10 Định nghĩa cực trị hàm số 10 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 11 Quy tắc tìm cực trị hàm số 11 III Xây dựng khai thác hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT 12 Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên đồ thị hàm số 12 1.1 Phương pháp 12 1.2 Một số ví dụ minh họa 12 1.3 Bài tập tương tự 15 Tìm cực trị hàm số biết đạo hàm hàm số, đồ thị hàm số đạo hàm 17 2.1 Phương pháp 17 2.2 Ví dụ minh họa 17 2.3 Bài tập tương tự 19 Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị điểm cho trước 20 3.1 Phương pháp 20 3.2 Ví dụ minh họa 20 3.3 Bài tập tương tự 23 Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 24 4.1 Phương pháp 24 4.2 Một số ví dụ minh họa 25 4.3 Bài tập tương tự 31 Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 33 5.1 Phương pháp 33 5.2 Một số ví dụ minh họa 33 5.3 Bài tập tương tự 37 Cực trị hàm hợp 38 6.1 Phương pháp 38 6.2 Các ví dụ minh họa 38 6.3 Bài tập tương tự 43 III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 44 Mục đích thực nghiệm 44 Tổ chức nội dung thực nghiệm 45 C KẾT LUẬN 48 I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 48 Kết nghiên cứu 48 Hướng phát triển đề tài 48 II KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT 48 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Mơn Tốn trung học phổ thơng, đạo hàm ứng dụng đạo hàm nội dung chương trình Các tốn thường xuất kỳ thi đại học, cao đẳng trước củng kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, tốt nghiệp THPT năm gần Vì vậy,ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hàm số cần thiết học sinh lớp 12 trung học phổ thông Trải qua nhiều năm cơng tác, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng giải toán cực trị hàm số đặc biệt em học sinh có học lực trung bình Trước khó khăn học trị, tơi tìm tịi, xâu chuổi, hệ thống lại dạng toán bản, quan trọng cực trị hàm số để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Kiến thức kĩ toán học giúp người giải vấn đề thực tế sống cách có hệ thống xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển, việc rèn luyện kĩ giải tốn cực trị hàm số củng đóng góp phần vấn đề Với lí trình bày tơi chọn đề tài “Rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT" làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sở lí luận thực tiển kĩ kĩ giải tốn từ đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ giải toán cực trị cho HS lớp 12 THPT III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Làm rõ sở lí luận để rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh 12 THPT Xác định dạng toán cực trị hàm số lớp 12 khai thác Đề xuất biện pháp sử dụng khai thác tập cực trị hàm số để góp phần rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT Kiểm nghiệm tính khả thi hiệu dạng tốn đề xuất IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài liệu, cơng trình có liên quan đến đề tài, kĩ giải tốn - Nghiên cứu chương trình, SGK, SBT SGV giải tích lớp 12 Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực Quan sát, dự thăm lớp tiết luyện tập, tự chọn cực trị hàm số lớp 12 trường trường lân cận Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1 Kĩ kĩ giải toán 1.1.1 Kĩ Theo từ điển Hán Việt Phan Văn Các, “kĩ khả vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn’’ khả hiểu sức có ( mặt ) để làm tốt cơng việc Như kĩ khả thực có kết hành động theo mục đích điều kiện định +) Vai trị quan trọng kĩ góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, xác hóa lại kiến thức Điều vừa tính chất, đồng thời vừa mục tiêu quan trọng dạy học: Chú ý đến rèn luyện phát triển kĩ cho HS, từ làm sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần bước tiếp thu kiến thức kĩ phù hợp với phát triển trí tuệ rộng phù hợp với yêu cầu sống +) Kĩ hình thành hoạt động hoạt động Kĩ tri thức thống hoạt động Tri thức cần thiết để tiến hành thao tác, độ thành thạo thao tác hiểu kĩ năng, thao tác thực kiểm tra tri thức Con đường từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ tương ứng đường luyện tập Nói để khẳng định vai trị quan trọng việc tổ chức hoạt động học tập trình hình thành phát triển kĩ cho HS +) Nói đến kĩ ta cần phân biệt với kĩ xảo Kĩ kĩ xảo có điểm tương đồng, khả người hình thành sở tri thức chủ thể trình tiến hành hoạt động trình tập luyện, cách thức hành động Tuy nhiên kĩ kĩ xảo có điểm khác biệt sau: kĩ yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo chủ thể cao kĩ xảo thiên khuôn mẫu, máy móc Kĩ xảo có trước tiền đề để có kĩ Kĩ có tính ổn định khơng bền vững kĩ xảo Trong q trình hoạt động, qua thời gian, kĩ bổ sung rút ngắn đi, thay đổi +) Như ta biết, kiến thức sở kĩ năng, tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có yêu cầu rèn luyện kĩ tương ứng 1.1.2 Kĩ giải toán Kĩ giải toán khả vận dụng kiến thức toán học để giải tập toán học ( tìm tịi, suy đốn, suy luận, chứng minh…) Kĩ giải toán dựa sở tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ năng, phương pháp Kĩ tốn học hình thành phát triển thơng qua việc thực hoạt động Tốn học hoạt động học tập mơn Tốn Kĩ rút ngắn, bổ sung, thay đổi trình hoạt động Cần rèn luyện cho HS kĩ bình diện khác nhau: +) Kĩ vận dụng tri thức nội mơn Tốn thể mức độ thơng hiểu tri thức Toán học +) Kĩ vận dụng tri thức Tốn học vào mơn học khác thể vai trị cơng cụ Tốn học môn học khác, điều thể mối liên hệ liên môn môn học nhà trường +) Kĩ vận dụng Toán học vào đời sống mục tiêu quan trọng môn Tốn Nó cho HS thấy rõ mối liên hệ Toán học đời sống Một số kĩ cần thiết giải tốn: +) Kĩ tìm hiểu nội dung tốn: Phân tích tốn, làm rõ kiện biết, tìm mối liên hệ đại lượng chưa biết với đại lượng biết từ đến quy trình để giải toán Đây kĩ phát giải vấn đề, kĩ quan trọng giải toán +) Kĩ tìm kiếm, đề chiến lược giải, hướng giải toán: Huy động tri thức, kinh nghiệm thân có liên quan để giải tốn +) Kĩ tự kiểm tra đánh giá tiến trình kết toán, tránh sai lầm giải toán: Trong giải toán, việc phát sửa chữa sai lầm thành cơng người học tốn +) Kĩ thu nhận, hợp thức hóa tốn thành kiến thức người giải toán +) Kĩ vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ rèn luyện q trình tìm tịi lời giải tốn +) Kĩ tính tốn: điều cần thiết thực tiễn sống Các đức tính để có kĩ là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì, ln có ý thức tìm tịi phương pháp tính tốn khác Kĩ tính tốn rèn luyện qua luyện tập, thơng qua tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực phép tính gần +) Kĩ trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc vẽ đồ thị xác, rõ ràng +) Kĩ ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục ý nghĩa thực tiễn +) Kĩ tốn học hóa tình thực tiễn +) Kĩ tổ chức hoạt động nhận thức giải toán: xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải tốn Phân loại toán để lựa chọn phương pháp giải, tập hợp kiện, xác định ẩn, lập mối liên hệ đại lượng chưa biết với đại lượng biết, xác định rõ giả thiết, kết luận.Biết sử dụng phương pháp suy luận thao tác tư khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa tiến trình giải tốn +) Kĩ tổng hợp: liên kết kiện tốn, tóm tắt nội dung toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, định hướng quy trình giải tốn +) Kĩ phân tích: biết phân tích quan hệ cấu trúc tốn, dự đốn, phân tích khắc phục sai lầm q trình giải tốn, xác định trọng tâm cần giải toán +) Kĩ mơ hình hóa: mơ hình hóa tốn chuyển tốn thành mơ hình phân tích quan hệ toán học phương pháp toán học sử dụng mơ hình Đây kĩ cần thiết để giải tốn có ứng dụng thực tiễn tốn liên mơn khác +) Kĩ sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập ghi nhận thông tin từ nội dung toán 1.1.3 Đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ giải toán cho HS 1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng biện pháp nhằm rèn luyện kĩ giải toán cho học sịnh THPT a Cơ sở tâm lý giáo dục Quá trình học tiến hành kết hợp hoạt động dạy thầy hoạt động học trị, biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt dộng dạy tác động vào hoạt động học HS, làm cho HS có động hồn thiện tri thức kĩ Vì cần ý đến hoạt động học, biện pháp tập trung vào rèn luyện phát triển dạng hoạt động HS, rèn luyện kĩ học tập HS: kĩ nhận thức, kĩ thực hành, kĩ tổ chức hoạt động, kĩ tự kiểm tra, đánh giá b Cơ sở phương pháp dạy học mơn Tốn Thực dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức học sinh ( từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó ) Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh Học sinh tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận vấn đề HS cần rèn luyện kĩ vận dụng Toán học vào việc học tập môn khác, vào thực tiễn sống Do cần thiết xây dựng biện pháp nhằm rèn luyện kĩ giải toán cho HS, góp phần thực nhiệm vụ mơn đồng thời đảm bảo tính liên mơn dạy học 1.3.3.2 Giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho HS Để rèn luyện kĩ giải toán cho HS ta cần phải có giải pháp đồng bộ, bao gồm hoạt động sau: a, Tổ chức hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập HS q trình rèn luyện kĩ Căn vào chương trình, người GV cần phải xác định chọn lọc kiến thức, kĩ cần trang bị, hình thành, phát triển cho HS Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi phương pháp dạy học, trình dạy học, người GV cần tổ chức hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là: - Tạo tình gợi hoạt động tương thích với nội dung mục tiêu dạy học - HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có giao lưu HS với HS, GV với HS - GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt qua khó khăn cách phân tách hoạt động thành phần đơn giản hơn, cung cấp cho HS số tri thức phương pháp nói chung điều chỉnh mức độ khó khăn nhiệm vụ dựa vào phân bậc hoạt động - GV giúp HS xác nhận tri thức đạt trình hoạt động, đưa bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức cách sâu sắc, đầy đủ b Trang bị tri thức phương pháp giải toán cho HS Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định bước polya từ hình thành kĩ giải tốn theo quy trình Khi có quy trình giải tốn chung trên, cộng với tri thức phương pháp nội dung tốn học cụ thể HS tìm tịi, khám phá để tìm đến lời giải tốn Riêng tốn chưa có khơng có thuật giải: GV cần hướng HS suy nghĩ, tìm tịi lời giải Qua trang bị cho HS số tri thức phương pháp giải toán Thơng qua dạy HS giải số tốn cụ thể mà cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải lớp toán có dạng quen thuộc Từ hình thành kĩ giải loại tốn c Rèn luyện kĩ giải tốn thơng qua củng cố, luyện tập Việc củng cố tri thức kĩ cách có định hướng có hệ thống có ý nghĩa to lớn việc dạy học toán Củng cố cần thực khơng tri thức mà cịn kĩ năng, kĩ xảo, thói quen thái độ Trong mơn tốn củng cố diễn hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hố ơn 1.2 Bài tập tốn phương pháp dạy học giải tập tốn 1.2.1 Vai trị tập q trình dạy học Bài tập tốn học có vai trị quan trọng mơn Tốn, giá mang hoạt động HS Thông qua giải tập, HS phải thực hoạt động định, bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp, hoạt động tốn học phức tạp, hoạt động phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngơn ngữ Vai trò tập thể phương diện: +) Đối với mục đích dạy học: tập tốn học trường phổ thơng giá mang hoạt động mà việc thực hoạt động thể mức độ đạt mục đích Bài tập tốn học góp phần hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo; phát triển lực trí tuệ; bồi dưỡng giới quan vật biện chứng hình thành phẩm chất đạo đức người lao động +) Đối với nội dung dạy học: tập toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định, làm cho tập trở thành phương tiện để cài đặt nội dung dạng tri thức hoàn chỉnh +) Đối với phương pháp dạy học: tập toán học giá mang hoạt động để người học kiến tạo nội dung định sở thực mục đích dạy học khác Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với dụng ý khác phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động làm việc với nội dụng mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức HS, giúp GV nắm bắt thông tin hai chiều trình dạy học 1.2.2 Những yêu cầu lời giải toán - Kết kể bước trung gian - Lập luận chặt chẽ - Lời giải đầy đủ - Ngơn ngữ xác - Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật - Tìm nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý 1.2.3 Phương pháp chung để giải toán Dựa tư tưởng tổng quát với gợi ý chi tiết Polya cách thức giải toán kiểm nghiệm thực tiễn dạy học, nêu phương pháp chung để giải tốn sau: +) Tìm hiểu nội dung đề bài: phát biểu đề hình thức khác để hiểu rõ nội dung, phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh +) Tìm cách giải: tìm tịi phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi đại lượng biết, biến đổi đại lượng chưa biết hay phải chứng minh, lập mối liên hệ chúng; liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, trường hợp riêng, toán tổng quát +) Trình bày lời giải: Từ cách giải phát được, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước A B C D Lời giải: Cách 1: Từ đồ thị hàm số y  f (x ) ta có bảng xét dấu đạo hàm hàm số y  f (x ) bên với x 1, x điểm cực trị hàm số y  f (x ) Qua bảng xét dấu ta thấy hàm số y  f (x ) có điểm cực trị Vậy đáp án B Cách 2: Qua đồ thị hàm số y  f (x ) ta thấy hàm số y  f (x ) có hai điểm cực trị Đồ thị hàm số y  f (x ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Suy hàm số y  f (x ) có điểm cực trị Vậy đáp án B Qua hai cách ta thấy ứng dụng cách làm tập trắc nghiệm Ví dụ Cho hàm số y  f (x ) có BBT sau Tìm số điểm cực trị hàm số y  f (x ) A B C D Lời giải: Qua BBT ta thấy hàm số y  f (x ) có ba điểm cực trị Và đồ thị hàm số y  f (x ) cắt trục hồnh điểm phân biệt Do đó, hàm số y  f (x ) có điểm cực trị Vậy đáp án D Ví dụ Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số y  f ( x ) A B C D Lời giải: Cách 1: Qua đồ thị ta có bảng xét dấu đạo hàm hàm số y  f ( x ) sau : Qua ta thấy hàm số y  f ( x ) có điểm cực trị Vậy đáp án A Cách 2: Ta thấy hàm số y  f (x ) có điểm cực trị dương nên suy số điểm cực trị hàm số y  f ( x ) 34 2.1   Vậy đáp án A Ví dụ Cho hàm số y | x  3x  m  3m | Tìm tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có điểm cực trị Lời giải: Đặt f (x )  x  3x  m  3m  f '(x )  3x    x  1 ( nghiệm đơn ) nên hàm số y  f (x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y | x  3x  m  3m || f (x ) | có điểm cực trị hàm số đồ thị hàm số f (x )  x  3x  m  3m cắt trục hoành ba điểm phân biệt  x  3x  m  3m  (1) có ba nghiệm phân biệt x  m (1)  (x  m )(x  mx  m  3)    2 x  mx  m   Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt  x  mx  m   có hai nghiệm phân biệt khác m      m  (2;2) 0 3m  12       m  (2;2) \ 1      m  1 3m   m  1         Mặt khác m   nên m  Vậy có giá trị nguyên m  thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Đặt f (x )  x  3x  m  3m  f '(x )  3x    x  1 (nghiệm đơn) nên hàm số y  f (x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y | x  3x  m  3m || f (x ) | có điểm cực trị hàm số đồ thị hàm số f (x )  x  3x  m  3m cắt trục hoành ba điểm phân biệt đồ thị hàm số y  f (x ) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh  f (1).f (1)   (m  3m  2)(m  3m  2)   (m  1)2 (m  1)2 (m  2)(m  2)   m  (2;2) \ 1 Mặt khác m   nên m  Vậy có giá trị nguyên m  thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Cho hàm số y | x | 3x  m | x | 3m Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [  10;10] để hàm số cho có điểm cực trị Lời giải: Đặt f (x )  x  3x  mx  3m  f '(x )  3x  6x  m  (1) Để hàm số y  f (| x |) | x |3 3x  m | x | 3m có điểm cực trị phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  m  Mặt khác, m   nên m  10, 9, , 1 Vậy có 10 giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Cho hàm số y | x | 3x  m | x | 3m Có giá trị nguyên m để hàm số cho có điểm cực trị Lời giải: 35 Đặt f (x )  x  3x  mx  3m  f '(x )  3x  6x  m  (1) Để hàm số y  f (| x |) | x |3 3x  m | x | 3m có điểm cực trị phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt   '   9  3m   m  (0; 3)  S      m0    P    Mặt khác, m   nên m  1, 2 Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (2x  1)2 (x  2x  m  3) , x   Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  f (| x |) có điểm cực trị Lời giải:  x   Ta có f '(x )   (2x  1)2   x  2x  m     x   x     x  2x  m    (1) Ta thấy x   nghiệm kép , x  nghiệm đơn nên x  điểm cực trị hàm số Ta biết số điểm cực trị hàm số y  f (| x |) hai lần số điểm cực trị dương cộng với Do đó, hàm số y  f (| x |) có điểm cực trị phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt     '  m         m  (3; 4) Vậy, với m  (3; 4) thỏa mãn yêu cầu  S   2      P0 m 3       tốn Ví dụ Cho hàm số y  f (x )  ax  bx  cx  d thỏa mãn a  0, d  2021 , 8a  4b  2c  d  2021  Tìm số điểm cực trị hàm số y | f (x )  2021 | Lời giải: Đối với trước hết ta tìm số giao điểm đồ thị y  f (x ) với trục hoành Chúng ta sử dụng kiến thức chứng minh tồn nghiệm phương trình dựa vào tính liên tục hàm số Xét hàm số y  g(x )  ax  bx  cx  d  2021 ( a  ) Ta có g(0)  d  2021  , g(2)  8a  4b  2c  d  2021  Vì lim g(x )   , lim g(x )   nên tồn   0,   cho g()  0, g( )  x  x  36 Suy  g().g(0)  0, g(2).g( )  , g(0).g(2)  Mặt khác, hàm số y  g(x ) hàm đa thức nên liên tục đoạn [; 0],[0;2],[2;  ] suy phương trình g(x )  có nghiệm thuộc khoảng (; 0),(0;2),(2;  ) Mà phương trình g(x )  phương trình bậc ba nên suy phương trình g(x )  có ba nghiệm phân biệt Điều chứng tỏ hàm số y  g(x ) có hai điểm cực trị Vậy hàm số y | g(x ) || f (x )  2021 | có điểm cực trị 5.3 Bài tập tương tự Câu Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (2x  1)2 (x  4) Số điểm cực trị hàm số y  f (| x |) B A C D Câu Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số y | f (x ) | A B C D Câu Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (x  1)(x  4x ) Số điểm cực trị tối đa hàm số y | f (x ) | A D B C Câu Cho hàm số y  f (x ) có BBT sau Hàm số y | f (x ) | có số điểm cực trị A B C D Câu Cho hàm số y  x  4x  2m  Có giá trị nguyên thuộc đoạn [  10;10] tham số m để hàm số sau có ba điểm cực trị? A B C D 10 Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  x  x 1 x  2mx  9 với x   Có số nguyên dương m để hàm số g x   f  x  có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x    x  1  x  m  x  3 với x   Có số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y  f  x liên tục  có đạo hàm f ' x  x  x  Hàm số y | f  x | có số điểm cực trị bao nhiêu? A B C D 37 Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên m A B 11 để hàm số y | f  x  m | có điểm cực trị? C 12 D 10 Câu 10 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Số điểm cực tiểu hàm số g  x  f  x  x   A B C D Đáp số: Câu Đáp số A B C A B A C A B D 10 Cực trị hàm hợp 6.1 Phương pháp Cho hàm số y  f [u ( x)] Để tìm cực trị hàm số y  f [u ( x)] ta thực theo bước: B1 Tính y '  u '( x) f '[u ( x )] B2 Giải phương trình y '   u '( x) f '[u ( x)]=0 tìm nghiệm dựa vào BBT đồ thị hàm số y  f ( x) B3 Lập BBT hàm số bảng xét dấu y ' B4 Kết luận điểm cực trị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y  f (ax  b) số điểm cực trị hàm số y  f ( x) 6.2.Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm  Đồ thị hàm số y  f '( x) hình bên Số điểm cực trị hàm số y  f ( x  x) A B C D Lời giải: Đầu tiên ta phải xem hàm số y  f ( x) có điểm cực trị? Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) ta thấy hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị x  1, x  Ta có y '  (2 x  2) f '( x  x) x  2 x     y '   (2 x  2) f '( x  x)      x2  x  2  f '( x  x)   x  x  1  +) x  x   x   (nghiệm đơn) +) x  x  1  x  ( nghiệm kép ) 38 x  1 Ta thấy   x   x  x  nên f '( x  x)  Ta có bảng xét dấu y ' : Qua bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số y  f ( x  x) có ba điểm cực trị Đáp số A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm hình vẽ bên Hàm số g  x  f 3  x   x   Đồ thị hàm số y  f   x đạt cực đại điểm sau ? A x   B x  C x  D x  1 Lời giải: Ta có g ' x   2 x f '3  x   x  2 x[f '3  x   1] ; g ' x    2 x[f '3  x   1]  x   2 x[f '3  x  1]     f '3  x   1 +) Số nghiệm phương trình f '3  x   1 số giao điểm đồ thị hàm số y  f '3  x  đường thẳng y  1 x    3  x    f '3  x   1  3  x    x     3  x   x  1  Trong x   nghiệm kép nên x   điểm cực trị hàm số Ta có , dựa vào đồ thị ta có: f '3  x     f ' 3  x   1    x   x  ( 2; 1)  (1; 2) Từ đó, ta có bảng xét dấu g '( x) : Qua bảng xét dấu g '( x) ta thấy hàm số g  x  f 3  x   x có hai điểm cực đại x  1 Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Hàm số y  f '  x  có 39 đồ thị hình bên Số điểm cực đại hàm số g  x   f ( x)  A x2  2021 B C D Lời giải: Ta có: g ' x  f '( x)  x g ' x    f '( x)  x   f '( x)  x (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y  f '( x) (C ) đường thẳng (d ) : y  x Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x  2, x  2, x  ( nghiệm đơn) Nếu tốn hỏi số điểm cực trị đến ta kết luận hàm số y  g  x  có ba điểm cực trị Nhưng tốn hỏi số điểm cực đại ta phải lập bảng xét dấu biểu thức đạo hàm g ' x  f '( x)  x g ' x    f '( x )  x đồ thị (C ) nằm phía đường thẳng  x  (2; 2)  (4; ) , cịn khoảng cịn lại g ' x  Từ đó, ta có bảng xét g ' x   f '( x)  x bảng bên dấu Qua bảng xét dấu g ' x   f '( x)  x ta thấy hàm số có điểm cực đại x  Vậy đáp số A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f 1 f ( x) Lời giải: Ta có: g ' x   f '( x) f '1 f ( x)  f '( x)  g ' x     f '( x) f '1 f ( x)     f '1 f ( x)  +) f '( x)   x   x  ( dựa vào đồ thị ) 1 f ( x)   f ( x)   1 f ( x)   f ( x)  1 +) f '(1 f ( x))    Phương trình f  x   có hai nghiệm x  0; x  x  nghiệm kép nên khơng phải điểm cực trị hàm số Số nghiệm phương trình f  x  1 số giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y  1 Nên phương trình f  x  1 có ba nghiệm đơn 40 Như vậy, ta thấy phương trình g ' x  có nghiệm đơn nên g ' x đổi dấu qua nghiệm Vậy hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ ( Đề Minh Họa 2019 – 2020 ) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A B C D 11 Lời giải: Đặt u ( x )  x  x Ta có: g '  x   u '( x) f '(u )  (3 x  x) f '  x3  x  3 x  x  g '  x    (3 x  x ) f '  x  x      f '  x  x   x   x  2 +) x  x    BBT hàm số u ( x)  x3  x :  x  x  t1 (1)  +) f '  x3  x     x  x  t2 (2)  x  x  t (3)  với t1  0, t2  (0; 4), t3  ( dựa vào đồ thị ) Dựa vào BBT hàm số u ( x)  x3  x ta thấy phương trình (1) có nghiệm nhất, phương trình (2) có nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm Suy g '  x   có nghiệm phân biệt Vậy hàm số có điểm cực trị ta chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   ( x  1)(4 x  x ) , x   Tìm tất giá trị nguyên âm tham số m để hàm số g  x   f ( x  x  3m) có điểm cực trị Lời giải: Đầu tiên ta tính xem hàm số y  f  x  có điểm cực trị? Ta tìm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình f '  x    x  1 Ta có f '  x    ( x  1)(4 x  x )    x  ; g '  x   (2 x  6) f '( x  x  3m)  x  41 x    x  x  3m   2 x     g '  x    (2 x  6) f '( x  x  3m)      x  x  3m  1  f '( x  x  3m)     x  x  3m  x   x  x  3m (1)   x  x  3m  (2)   x  x  3m  (3) Như vậy, để hàm số y  g  x  có điểm cực trị phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt khác Cách 1: ( Đưa tương giao ) Số nghiệm phương trình (1), (2), (3) số giao điểm ( P) : y  x  x với đường thẳng (d1 ) : y  3m , (d ) : y  3m  , (d3 ) : y  3m  ; d1 , d , d3 cắt ( P) điểm phân biệt  3m   9  m   Mà m   nên m  1 Vậy m  1 thỏa mãn u cầu tốn Cách 2: ( Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ) Mỗi phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt 9  3m  10  3m  4    m  ( ; ) \ 0,  ;   3 3  5  3m  3m  0,3m   0,3m   Mà m   nên m  1 Vậy m  1 thỏa mãn u cầu tốn Qua hai cách ta thấy cách học sinh sử dụng hình ảnh trực quan dễ phát vấn đề Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x)  f  x   f ( x)  A B C D Lời giải: Bài toán yêu cầu tìm số điểm cực trị hàm số ta cần tìm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phương trình g ' x   f '( x)   Ta có g '( x)  f '( x) f  x  f '( x)     f ( x)   42 Qua đồ thị hàm số y  f  x ta thấy phương trình f ' x  có hai nghiệm phân biệt x  0, x  Số nghiệm phương trình f  x  số giao điểm đồ thị hàm số Qua đồ thị (C) ta thấy (d) cắt (C) ba điểm phân biệt không trùng với hai nghiệm x  0, x  y  f  x  (C ) đường thẳng ( d ) : y  Như vậy, phương trình g ' x  có nghiệm phân biệt nên g ' x đổi dấu qua nghiệm Vậy hàm số có điểm cực trị Từ ví dụ 7, ta phát triển lên tốn sau: Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số y | f  x   f ( x)  | A B C D Lời giải: Đặt g ( x)  f  x   f ( x)  Theo ví dụ 7, ta thấy hàm số y  g  x có điểm cực trị Số điểm cực trị hàm số y | g  x | số điểm cực trị hàm số y  g  x cộng với số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x với trục hoành ( trừ điểm tiếp xúc) Số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x với trục hoành số nghiệm phương trình g  x    f ( x)  1 g  x   f  x  f ( x)      f ( x)  (1) (2) Qua đồ thị ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm Suy đồ thị hàm số y  g  x cắt trục hoành điểm phân biệt Vậy hàm số y | g ( x) || f  x  f ( x)  | có điểm cực trị 6.3 Bài tập tương tự Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x 1  x  2  với x   Hàm số g  x   f  x   x  có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g  x  f 3 x  2020  2019 x  2021 A B C D 43 Câu Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Hàm số g  x  f  x  x3  x  x  2021 đạt cực đại A x  1 B x  C x  D x  Câu Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi hàm số g  x   f  x  x có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số sau y  f x  có bảng biến thiên Số điểm cực trị hàm số g  x | f 3  x | A B C D Câu Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x  f  x  2021  m có điểm cực trị ? A B C D Đáp số: Câu Đáp số B A C D A B III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi việc xây dựng hệ thống tập dạng toán nhằm rèn luyện kĩ giải toán cực trị lớp 12 THPT 44 Tổ chức nội dung thực nghiệm Tiến hành dạy số tiết tập cực trị hàm số số dạng toán khai thác xây dựng Sau dạy thực nghiệm, tiến hành cho làm kiểm tra Sau nội dung kiểm tra thực nghiệm Câu Số điểm cực trị hàm số y  2 x  3x  A B Câu Cho hàm số y  f (x ) C D có BBT hình bên Số điểm cực đại hàm số A B C D Câu Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị hình bên Điểm cực đại đồ thị hàm số A M (0;1) B N (1; 1) C x  D y  Câu Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  (3x  1)(x  4), x   Điểm cực đại hàm số A x  B x  2 C x  D x  2 Câu Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (x  3)2 (16  x )3, x   Số điểm cực tiểu hàm số cho A B C D Câu Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x )  (2x  1)(2x  2) (2x  2021) , x   Số điểm cực tiểu hàm số cho A 1011 B 1010 C 2022 D 2021 Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y   x  2(m  3) x  đạt cực đại x  A m  B m  13 C m  3 D m  11 Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số f  x  x3  3x  mx 1 có cực trị trái dấu A m  B m  C m  D m  Câu Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y m x   m  1 x  ( m  5) x  có hai cực trị nằm hai phía trục tung? 45 A B C D Câu 10 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x  mx  3x  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x12  x2  10 Tổng giá trị S A B C D Câu 11 Với giá trị tham số m để đường thẳng d : y  (m  1) x   m vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  3x  ? 2 A m  B m   2 C m   D m  Câu 12 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  x  x 1 x  2mx  9 với x   Có số nguyên dương m không 10 để hàm số g  x  f  x  có điểm cực trị ? A B C Câu 13 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  Đồ thị hàm số điểm cực trị hàm số g  x  f  x  x 1 A B C D y  f  x  hình vẽ bên Số D Câu 14 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f   x   x  x 1 x  m  x  3 với x   Có số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị ? A B C D Câu 15 Cho hàm số y  f  x liên tục  có đạo hàm f ' x  x  x  Hàm số y | f  x | có số điểm cực trị nhiều bao nhiêu? A B C D Câu 16 Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình bên Có giá trị ngun m để hàm số y | f  x  2m | có điểm cực trị? A B C D 10 Câu 17 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g  x  f 3 x  2020  x  2021 A B C D 46 Câu 18 Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x  f  x  2021  m có điểm cực trị ? A B C D Câu 19 Cho hàm số y  x  4x  Số điểm cực trị hàm số B A D C Câu 20 Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm f '(x )  x (2x  1)3 (x  4) Số điểm cực tiểu hàm số y  f (| x |) B A C D Đáp án: Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án D A 11 A 16 C D B 12 B 17 A A B 13 A 18 B D D 14 B 19 D C 10 C 15 D 20 A Đánh giá kết thực nghiệm 3.1 Đánh giá định tính  Về giáo viên thực nghiệm: Trình độ chun mơn vững vàng hơn, khả nhìn nhận chức tập tốn xác, khả xây dựng khai thác tập toán tốt nhằm rèn luyện kĩ giải tốn nói chung củng kĩ giải tập tốn cực trị cho học sinh 12 THPT nói riêng  Ý kiến giáo viên thực nghiệm: - Biết cách xây dựng hệ thống tập đa dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo dạng toán nhằm rèn luyện kĩ giải toán cực trị cho học sinh lớp 12 THPT 3.2 Đánh giá định lượng Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (12C) lớp đối chứng (12K) 47 Vì kiểm tra dạng hình thức trắc nghiệm nên tơi thống kê kết dạng sau: T.T Loại điểm Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm ( sĩ số: 46 ) ( sĩ số 40 )  điểm 15(32, 6%) 5(12,5%) Từ đến 6,5 điểm 18(39,1%) 15(37,5%) Từ 7, đến 7,5 điểm 8(17, 4%) 10(25%) Từ 8,0 đến 8,5 điểm 5(10,9%) 9(22,5%) Từ 9, đến 10, điểm 0(0%) 1(2,5%) C KẾT LUẬN I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI Kết nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập dạng toán nhằm rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT cách khai thác tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: Từ SGK, sách tham khảo, đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT, tài liệu mạng internet, Sau áp dụng kết nghiên cứu học sinh lớp 12 THPT hứng thú, chủ động tự tin giải toán cực trị hàm số Phần lớn học sinh lớp 12 THPT hoàn thành tốt tập cực trị hàm số SGK, SBT sách tham khảo củng kì thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT, Hướng phát triển đề tài Đề tài làm tài liệu tham khảo cho em học sinh lớp 12 THPT ôn thi tốt nghiệp THPT Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên phục vụ cho việc giảng dạy mơn tốn II KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn Nghệ An, ngày 22 tháng ngăm 2021 48 ... tiển kĩ kĩ giải tốn từ đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ giải toán cực trị cho HS lớp 12 THPT III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Làm rõ sở lí luận để rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh 12 THPT. .. Xác định dạng tốn cực trị hàm số lớp 12 khai thác Đề xuất biện pháp sử dụng khai thác tập cực trị hàm số để góp phần rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT Kiểm nghiệm... chất cực trị điểm xi III Xây dựng khai thác hệ thống tập nhằm rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên đồ thị hàm số 1.1