SKKN Một số bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học

- Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và

MỤC LỤC

II Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và

6 Bài tập ứng dụng đạo hàm, tích phân trong những tình huống

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

- Nghị quyết số 29 NQ/TW, ngày 04 tháng 11 năm 2013 “Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” đã khẳng định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”

- Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn”

- Về phương pháp dạy học Toán: Thực hiện dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh (đi từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó); Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; Tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề; Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực, kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; Kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn

- Về đánh giá kết quả giáo dục môn Toán: Mục tiêu đánh giá là cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học để điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung Việc đánh giá thường xuyên do giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên các môn học khác, của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ, trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh, đi liền với tiến trình hoạt động học tập của học sinh, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học

sinh Việc đánh giá định kì là đánh giá kết quả giáo dục sau một giai đoạn học tập Kết quả đánh giá định kì được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích cho người học theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo Khuyến khích vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại quá trình thực hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan, tự luận, kiểm tra viết, bài tập thực hành, các dự án học tập, thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, ); đồng thời hướng dẫn giáo viên lựa chọn các phương pháp, công cụ đánh giá phù hợp với từng thành phần năng lực toán học

- Hiện nay trong các kỳ thi như học sinh giỏi trường, học sinh giỏi tỉnh và kỳ thi tốt nghiệp THPT thường có câu về phần liên hệ với thực tiễn ở mức độ trung bình khá

và khá nên học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản là giải được thông qua việc “Mô hình hóa toán học”

- Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung thực tế trong các sách giáo khoa Đại số THPT và Giải tích để học sinh học và rèn luyện còn rất ít Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn chỉ dạy theo cách “Thi cái gì học cái đó” mà theo Nguyễn Cảnh Toàn đó là kiểu dạy Toán ''xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi

- Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học Đặc biệt là phát triển năng lực toán học, trong đó có năng lực “Mô hình hóa toán học”

Vì những lí do trên tác giả chọn đề tài: “Một số bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học”

II Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và tính mới của đề tài

1 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh biết sử dụng toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn, các bài toán có nội dung thực tiễn và kỹ thuật mô hình hóa toán học tình huống thực tiễn

- Rèn luyện cho các em khả năng biết vận dụng các kiến thức đã học về toán học trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết một số tình

huống thực tiễn đời sống hàng ngày thường gặp

- Hình thành dần cho các em một thói quen biết đặt (giải quyết) những vấn

đề cuộc sống dưới góc độ toán học với câu hỏi: Nguồn gốc của bài toán (hay tình huống thực tiễn, bài toán thực tiễn) xuất phát từ đâu ? Vận dụng kiến thức nào để giải quyết nó?

- Từng bước tạo ra niềm đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinh khi gặp các bài toán có nội dung thực tiễn, các tình huống trong cuộc sống hàng ngày liên quan đến kiến thức toán học để giải quyết

- Rất nhiều tình huống trong thực tiễn, chương trình khuyến mãi, dự đoán tối

ưu trong sản xuất, kinh doanh, trong thi đấu thể thao… đều liên quan đến kiến thức toán học trong chương trình trung học phổ thông mà chúng ta cần giúp các em biết dùng nó để phân biệt được mặt tốt, mặt không tốt để các em biết làm những việc có ích cho gia đình và xã hội Từ đó góp phần giáo dục kỹ năng sống cho các em và giáo dục cộng đồng

2 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm

- Điều tra quan sát: Thực trạng về khả năng mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

3 Đối tượng nghiên cứu

- Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12 Ban cơ bản

- Một số bài toán có nội dung thực tiễn về tập hợp; bất đẳng thức Cô si; hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; tổ hợp, xác suất; đạo hàm, tích phân; bài toán lãi kép

4 Tính mới của đề tài

- Góp phần thực hiện thành công đổi mới chương trình phổ thông 2018 về phát triển năng lực toán học cho học sinh, đặc biệt là năng lực “Mô hình hóa Toán học”

- Giúp giáo viên hiểu được tầm quan trọng của Toán học với thực tiễn

- Giúp học sinh thấy được mối quan hệ tương hổ giữa toán học với thực tiễn

và ngược lại

- Góp phần vào dạy học Stem, đánh giá theo Pisa

- Sáng kiến có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I Cơ sở khoa học:

1 Cơ sở lý luận:

1.1 Khái niệm năng lực:

Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ vào các tố chất và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kinh nghiệm, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện đạt kết quả các hoạt động trong những điều kiện cụ thể

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã xác định mục tiêu hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi bao gồm các năng lực chung và các năng lực đặc thù Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp Năng lực đặc thù là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu của một hoạt động như toán học,

âm nhạc, mĩ thuật, thể thao

- Các năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua các môn học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;

- Các năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một

số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ

Năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Mỗi một thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo Điều này có độ phức tạp cao và được minh hoạ trong bảng dưới đây:

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn

đề về phương diện toán học

Năng lực mô hình

hoá toán học

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế

và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Năng lực giải quyết

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

Năng lực giao tiếp

toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ,

chính xác)

- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic, ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học:

- Để sử dụng kiến thức và kĩ năng toán vào việc giải quyết một vấn đề của thực tiễn, người ta phải trải qua các bước của quá trình mô hình hóa toán học - quá trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngoài toán học thành vấn đề của toán học, rồi

sử dụng các công cụ toán để tìm câu trả lời cho vấn đề được đặt ra ban đầu

- Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu,

đồ thị, ) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được

mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

1.3.1 Hệ thống và mô hình

Hệ thống là một tập hợp các phần tử với những tác động qua lại giữa chúng,

mà những tác động này phải tuân theo một số nguyên lí hay quy tắc nào đó đặc trưng cho hệ thống này

Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống này

Người ta thường sử dụng khái niệm mô hình với hai nghĩa khác nhau

Theo nghĩa thứ nhất, mô hình là một bản sao, một ví dụ, có những tính chất đặc trưng cho sự vật gốc mà mô hình đó biểu diễn Với nghĩa này thì các khối cầu, chóp, nón (cụ thể, vật chất) được sử dụng trong dạy học hình học là những mô hình của các khái niệm hình cầu, hình chóp, hình nón

Theo nghĩa thứ hai thì mô hình là một biểu diễn cho các phần quan trọng của một hệ thống (có sẵn hoặc sắp được xây dựng) với mục đích nghiên cứu hệ thống

đó Nói cách khác, mô hình là cái thu được từ việc diễn đạt theo một ngôn ngữ nào

đó các đặc trưng chủ yếu của một tình huống, một hệ thống mà người ta cần nghiên cứu Cách biểu diễn này tuân theo một tập hợp các quy tắc nào đó Khi các quy tắc ấy là quy tắc toán học thì một mô hình toán học đã được tạo ra

1.3.2 Mô hình hóa toán học

Mô hình toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của một hiện tượng nào đó, một mô hình toán học bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó

Mô hình hoá toán học: Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tiễn, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học Một vài cấu trúc toán học cơ bản

có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán Mô hình hoá toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn

1.3.3 Quy trình mô hình hoá toán học

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo, có thể đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tưởng hóa, đơn giản hóa vấn đề để

từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình huống (mô hình trung gian)

Bước 2: Mô hình thực tế được toán học hóa, tức là được thông dịch sang ngôn ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu Chúng ta nên lưu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, việc xác định, đưa ra mô hình phụ thuộc vào việc chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở Bước 2 Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong Bước 3 Ở đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với

vấn đề thực tế Chúng ta lưu ý rằng: đây là một bước quan trọng giúp cho người thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh Đây cũng là bước quan trọng khi mà sự mạnh, yếu của mô hình được xem xét, thảo luận

Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đoán kết quả Đây là một bước đòi hỏi người thực hiện cần có kinh nghiệm sử dụng ngôn ngữ để trình bày những ý tưởng toán học Ở đây, chúng ta sẽ phản ánh được chất lượng tư duy của người thực hiện Các báo cáo nên bao gồm các tài liệu về quá trình tiến hành, cũng như các dự đoán và câu trả lời cuối cùng

Trên đây là năm bước của quá trình mô hình hóa toán học, lưu ý rằng có nhiều biến thể của quy trình này Ở Bước 4, có thể xảy ra một trong hai khả năng: + Khả năng thứ nhất: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được

+ Khả năng thứ hai: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế Lúc này phải tìm nguyên nhân Có thể đặt ra những câu hỏi sau :

- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, người

ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng

- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì phải xây dựng lại Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn

- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, quy luật nào bị

bỏ sót không

2 Cơ sở thực tiễn

Trong năm 2006, sách giáo khoa (SGK) lại lần nữa chỉnh lý, đổi mới Sự thay đổi chủ yếu trong SGK là đổi mới phương pháp, cố gắng quán triệt phương châm: lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động của học sinh, giảm lý thuyết kinh viện, tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến thức Vai trò của môn toán vẫn chưa được làm rõ Các bài toán gắn liền với đời sống chưa nhiều Như vậy, có thể thấy rằng quan điểm chỉ đạo xuyên suốt quá trình dạy học ở trường phổ thông được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách giáo dục môn toán đã được quán triệt Tuy nhiên, việc quán triệt quan điểm này chưa thực

sự toàn diện và cân đối Thực tế thì sách giáo khoa toán hiện nay đã có những đổi mới lớn về nội dung theo hướng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn

đã có những quan tâm nhất định Điều này được thể hiện các bài toán gắn liền với thực tiễn có bổ sung nhưng số lượng hạn chế, chỉ mang tính chất giới thiệu, những

bài toán mang tính chất “đánh đố” được cắt bỏ Phân trình độ của các em theo 2 hướng (nâng cao và chuẩn) để phù hợp với các đối tượng, các vùng miền

Chương trình thì giảm tải nhưng phần kiến thức về phép tính lũy thừa, mũ

và lôgarirt theo chúng tôi tính thực tiễn phần này cần quan tâm hơn nữa vì sách giáo khoa vẫn chưa làm nổi bật vai trò quan trọng của nó Cần phải đưa các bài toán thực tế nhiều hơn ở phần đọc thêm để các em có thể tự nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của giáo viên Làm như vậy thì góp phần giúp học sinh củng cố và hoàn thiện kiến thức có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, các

em có điều kiện lựa chọn hướng phát triển là phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống Chương trình sách giáo khoa mới sau 2018, bản dự thảo của Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố ngày 19 tháng 01 năm 2018, rất vui là đã có chương trình môn Toán ở từng cấp cũng dành thời lượng thích đáng để tiến hành các hoạt động thực hành và trải nghiệm toán học cho học sinh chẳng hạn như: Tiến hành các đề tài, các dự án học tập về Toán, đặc biệt là các đề tài và các dự án về ứng dụng Toán học trong thực tiễn; tổ chức các trò chơi toán học, câu lạc bộ toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán; ra báo tường (hoặc nội san) về Toán; tham quan các cơ

sở đào tạo và nghiên cứu Toán học, giao lưu với học sinh có khả năng và yêu thích môn Toán, Những hoạt động đó sẽ giúp học sinh vận dụng những tri thức, kiến thức, kĩ năng, thái độ đã được tích luỹ từ giáo dục toán học và những kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn cuộc sống một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lí hoạt động, năng lực tự nhận thức và tích cực hoá bản thân; giúp học sinh bước đầu xác định được năng lực, sở trường của bản thân nhằm định hướng và lựa chọn nghề nghiệp; tạo dựng một số năng lực cơ bản cho người lao động tương lai và người công dân có trách nhiệm

II Một số bài tập có nội dung thực tiễn “được mô hình hóa toán học” để giải

1 Bài tập về mệnh đề tập hợp

1.1 Bài tập 1 Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được:

+) Số ngày mưa: 10 ngày;

+) Số ngày có gió: 8 ngày;

+) Số ngày lạnh: 6 ngày;

+) Số ngày mưa và gió: 5 ngày;

+) Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày;

+) Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày;

+) Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày

Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh)?

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Vấn đề đặt ra là cần xác định được có bao nhiêu ngày thời tiết xấu ( có gió, mưa hay lạnh) tại một địa phương khi thống kê được số liệu ngày mưa, gió, lạnh Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:

Số ngày thời tiết xấu được xác định dựa vào số ngày mưa; ngày có gió; ngày lạnh; ngày mưa và có gió; ngày mưa và lạnh; ngày lạnh và có gió; và ngày mưa, lạnh và có gió

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

Để thuận tiện trong việc tính toán, ta kí hiệu tập hợp các ngày mưa là A, tập hợp các ngày có gió là B, tập hợp các ngày lạnh là C

Vấn đề được chuyển về bài toán:

“Xác định số phần tử của tập hợp E A B C    ( kí hiệu là n E ) Biết

Số ngày mưa và có gió nhưng không lạnh: n A B n A B C         5 1 4

Số ngày mưa và lạnh nhưng không có gió: n A C n A B C         4 1 3

Số ngày có gió và lạnh nhưng không mưa: n B C n A B C         3 1 2

Vậy số ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh) là:

2 1 0 4 3 2 1 13        Bước 4 Thẩm định mô hình:

Mô hình xác định số ngày thời tiết xấu hoàn toàn chính xác với bài toán thực tiễn

Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

Số ngày thời tiết xấu (có gió, mưa hay lạnh) là:

2 1 0 4 3 2 1 13        Qua các tính toán ta thấy số liệu khớp với các số liệu dự đoán của Trung tâm

dự báo Bằng việc áp dụng các phép toán tổ hợp vào bài toán thực tiễn, và sử dụng biểu đồ Ven ta thấy việc dự đoán dễ dàng hơn

1.2 Bài tập 2 Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như sau:

+) Về môn Toán: 48 thí sinh;

+) Về môn Vật lý: 37 thí sinh;

+) Về môn Văn: 42 thí sinh;

+) Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh;

+) Về môn Toán hoặc môn Văn: 76 thí sinh;

+) Về môn Vật lý hoặc môn Văn: 66 thí sinh;

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Vấn đề đặt ra là trong một kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, cần xác định được có bao nhiêu học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 môn (môn Toán, môn Vật lý, môn Văn), đạt danh hiệu xuất sắc về 2 môn (Toán và Vật lý, Toán và Văn, hay Vật lý

và Văn), đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn (Toán, Vật lý hay Văn) khi biết số lượng học sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn hoặc cả hai môn hoặc cả ba môn

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:

Việc xác định số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 môn, 2 môn hay 3 môn dựa vào các số liệu học sinh đạt danh hiệu xuất sắc đã được thống kê ở trên

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

Để đơn giản trong việc tính toán, ta gọi tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Toán là T, tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Vật

lý là L, tập hợp các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Văn là V

Vấn đề được chuyển qua bài toán:

Biết:

n T  n L  n V  n T L   n T V   n L V   n T L V   

Tính số học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về 1 môn, 2 môn, ít nhất 1 môn ?

Bước 3 Giải quyết vấn đề toán học:

Giải quyết bài toán theo hướng 1:

Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Toán và Vật lý là:

Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về môn Vật lý và Văn là:

+ Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 1 môn là: 28 18 19 65    (học sinh) + Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc về 2 môn là:

      3.   10 14 13 3.4 25

n T L n T V     n L V   n T L V        (học sinh) + Số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn là:

28 18 29 10 14 13 2.4 94        (học sinh) Giải quyết bài toán theo hướng 2:

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học sinh xuất sắc về môn Toán, môn Vật Lý, môn Văn

Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh chỉ đạt danh hiệu xuất sắc một môn về môn Toán, môn Vật Lý, môn Văn

Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn về môn Toán và môn Vật Lý, môn Vật Lý và môn Văn, môn Văn và môn Toán

Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau:

c

b

72zyx

c

a

71zyx

b

a

424z

y

c

374y

x

b

484z

Vậy có: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn

25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn

94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn

Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

Vậy có: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn

25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn

94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn

Qua việc áp dụng các phép toán Tổ hợp và biểu đồ Ven, việc tính toán trở nên đơn giản hơn

2 Bài tập về ứng dụng bất đẳng thức Côsi

2.1 Bài tập 1 Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trước phải có dạng như thế nào để chiều dài hàng rào của nó là ít nhất?

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Vấn đề đặt ra là quy hoạch cánh đồng hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất với diện tích đã cho trước Các số liệu chính: chiều dài, chiều rộng cánh đồng

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:

+ Chu vi cánh đồng hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài, chiều rộng của cánh đồng

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

Vấn đề được chuyển về bài toán: “ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình chữ nhật nào có chu vi nhỏ nhất”

Gọi x y x ,   0, y  0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cánh đồng

Diện tích của cánh đồng là: S xy  không đổi

Chu vi của cánh đồng là: P  2x y  

Bây giờ ta có bài toán: Xác định x y , để tổng x y  nhỏ nhất biết tích xy không đổi

Bước 3 Giải quyết vấn đề toán học:

Áp dụng BĐT Cô si để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y   xy  S

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y   S

Vậy tổng x y  nhỏ nhất bằng 2 S khi và chỉ khi x y   S

Bước 4 Thẩm định mô hình:

Mô hình xác định chiều dài của hàng rào là hoàn toàn chính xác và phù hợp với bài toán thực tế

Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

Ta đi đến kết luận: “ Trong các tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất”

2.2 Bài tập 2 Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trước phải có dạng như thế nào để diện tích của nó là lớn nhất?

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Vấn đề đặt ra là quy hoạch cánh đồng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với diện tích đã cho trước Các số liệu chính: chiều dài, chiều rộng cánh đồng

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giải thiết:

Diện tích cánh đồng hình chữ nhật phụ thuộc vào chiều dài, chiều rộng của cánh đồng

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

Vấn đề được chuyển về bài toán: “ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất”

Gọi x y x ,   0, y  0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cánh đồng

Chu vi của cánh đồng là: P  2x y   không đổi

Diện tích của cánh đồng là: S xy 

Bây giờ ta có bài toán: Xác định x y , để tích xy lớn nhất biết tổng x y  không đổi

Bước 3 Giải quyết vấn đề toán học:

Áp dụng BĐT Cosi để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 4

x y P

xy    , do đó 2

16 P

Mô hình xác định diện tích của hình chữ nhật như trên là hoàn toàn chính xác phù hợp với bài toán thực tế

Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

Ta đi đến kết luận: “ Trong các tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông

3 Bài tập ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế

3.1 Bài tập 1 Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng

Nhà máy có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Tình huống đặt ra là: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, biết số nguyên liệu, thời gian tạo ra một sản phẩm và giá thành mỗi loại sản phẩm Khi nhà máy có số lượng nguyên liệu và thời gian tạo ra 2 sảm phẩm Nhà máy nên sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu để có lãi cao nhất ?

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

+ Số lượng nguyên liệu, thời gian tạo ra một sản phẩm

+ Giá thành một loại sản phẩm

+ Tổng số nguyên liệu

+ Tổng thời gian để tạo ra hai sản phẩm

+ Sản xuất mỗi loại bao nhiêu để lãi nhiều nhất ?

Tình huống được chuyển thành bài toán:

x

y

Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng

Nhà máy có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Bước 3 Giải quyết vấn đề toán học:

Gọi x,y( x,y 0 ) lần lượt là số sản phẩm loại I, loại II

Khi đó bài toán đưa về tìm , thoả mãn hệ 2x 4y 200

cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn nhất

Một cách tương đương là, tìm x, y thoả mãn hệ

x 0

y 0

x 2y 1002x y 80

I là giao điểm của CE và DF

Dễ thấy toạ độ của I là (20; 40),

miền nghiệm của hệ bất phương trình

là miền tứ giác OCID (kể cả biên)

Khi đó L đạt giá trị lớn nhất tại một

trong các đỉnh của tứ giác OCID,

suy ra L đạt giá trị lớn nhất tại I

Vậy khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất

Bước 4 Thẩm định mô hình:

Mô hình xác định số lượng mỗi loại sản phẩm như trên là hoàn toàn chính xác phù hợp với bài toán thực tế

Bước 5 Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

Vậy khi x = 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất Tức là nhà máy sản xuất sản phẩm loại I là 20, sản phẩm loại II là 40

Trong khi sản xuất, người ta đều hướng tới mô hình tối ưu nhất để có thể sản xuất mức sản phẩm tối thiểu với mức lời cao nhất Cùng với sự phát triển của khoa học, người ta có thể mô hình hóa toán học các bài toán kinh tế, nghĩa là biểu thị các mục tiêu, yêu cầu cần đạt hay các điều kiện cần thỏa mãn bằng ngôn ngữ Toán học đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính để tìm ra lời giải tối ưu nhất

3.2 Bài tập 2 Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

Bước 1 Xây dựng mô hình thực tế:

Tình huống thực tế: Công ty cần thuê xe vận chuyển người và hàng hóa Nơi thuê xe có hai hãng xe, mỗi loại xe của một hãng chở được số người và hàng hóa

cụ thể Công ty cần thuê xe mỗi hãng bao nhiêu chiếc để chi phí thấp nhất khi biết tiền thuê một xe của mỗi hãng ?

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học:

+ Cần vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa

+ Mỗi xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng

+ Mỗi xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng

+ Giá tiền thuê một xe MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là

3 triệu đồng

+ Thuê xe mỗi hãng bao nhiêu chiếc để chi phí thấp nhất ?

Từ tình huống chuyển thành bài toán thực tế: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở

20 người và 0,6 tấn hàng Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là

3 triệu đồng Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

Bây giờ ta có bài toán: Tìm x,y( x,y thõa mãn )

0 x 10

0 y 92x y 142x 5y 30

Bước 3 Giải quyết vấn đề toán học:

Trước hết ta hãy đặt Bài toán thành hệ bất phương trình

Gọi x,y( x,y lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê )

Từ bài toán ta được hệ bất phương trình

Tổng chi phí T( x,y ) 4x 3y  (triệu đồng)

Thực chất của Bài toán này là tìm x,y nguyên

không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T( x,y )nhỏ nhất

Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC

Khi đó T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác IABC, suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất tại I(5; 4) hay x = 5, y = 4 Như vậy thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất

Trong những bài toán như trên, việc vận dụng kiến thức Toán học để giải chúng là không quá khó khăn - khi học sinh đã nắm tương đối vững các kiến thức

về Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tuy nhiên, một khó khăn là lời văn hơi dài rất có thể sẽ ảnh hưởng đến thời lượng trên lớp Để khắc phục khó khăn này, giáo viên có thể in sẵn đề, và khi dùng thì phát cho học sinh mỗi nhóm một đề hoặc dùng Bảng phụ đã chuẩn bị sẵn để học sinh tự ghi trong quá trình hướng dẫn

và giải chúng

Bước 4 Thẩm định mô hình:

Mô hình xác định số lượng mỗi loại xe như trên là hoàn toàn chính xác phù hợp với bài toán thực tế

Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải

T đạt giá trị nhỏ nhất tại I(5; 4) hay x = 5, y = 4 Như vậy thuê 5 xe hiệu MITSUBISHI và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất

Cũng giống như bài toán 3.1, bài toán thực tiễn trên áp dụng mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính để tìm ra đáp án tối ưu nhất Với việc ràng buộc 2 biến trong

4 bất phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn ta xác định được số lượng mỗi loại xe

để có mức chi phí vận tải thấp nhất

4 Bài tập ứng dụng Tổ hợp – Xác suất

4.1 Bài tập 1 Bạn Anh vào một nhà hàng, Anh muốn chọn một món ăn khai vị trong 3 món khai vị, một món chính trong 6 món chính, một món tráng miệng trong 4 loại hoa quả tráng miệng và một loại nước uống trong 5 loại nước uống của quán Hỏi Anh có bao nhiêu cách chọn một thực đơn