Hiện có nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết môđun Đối với học viên khoa Toán cao học, việc học môn Cơ sở đại số đại tạo hội để tiếp cận sâu nghiên cứu thêm mảng lý thuyết Trong mơđun xạ ảnh môđun nội xạ hai lớp môđun quan trọng ý nghiên cứu nhiều Là học viên cao học việc tìm tịi nghiên cứu điều cần thiết nên làm Do khoảng thời gian hạn hẹp với mục đích nghiên cứu thêm mơđun xạ ảnh tơi chọn đề tài tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU”
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MƠĐUN ĐỐI NGẪU Giảng viên hướng dẫn: Học viên thực hiện: TS PHAN VĂN THIỆN TRƯƠNG THN HỒNG THỦY Ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Lớp: Cao học khóa K20 (2011-2013) Huế, 02/2012 LỜI NĨI ĐẦU Hiện có nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuyết môđun Đối với học viên khoa Toán cao học, việc học môn Cơ sở đại số đại tạo hội để tiếp cận sâu nghiên cứu thêm mảng lý thuyết Trong mơđun xạ ảnh môđun nội xạ hai lớp môđun quan trọng ý nghiên cứu nhiều Là học viên cao học việc tìm tịi nghiên cứu điều cần thiết nên làm Do khoảng thời gian hạn hẹp với mục đích nghiên cứu thêm mơđun xạ ảnh tơi chọn đề tài tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU” Phần tiểu luận phân thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuNn bị Chương 2: Một số tập môđun xạ ảnh với môđun đối ngẫu Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS Phan Văn Thiện ủng hộ, chia sẻ tài liệu từ bạn lớp cao học Toán K20 trường đại học sư phạm Huế Tiểu luận nhiều lí chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến tất người để tiểu luận hoàn thiện Huế, ngày 12 tháng 02 năm 2012 Trương Thị Hồng Thủy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC CHUẨN BN 1.1 Môđun 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp Tổng trực tiếp 1.4 Dãy khớp .8 1.5 Môđun tự 1.6 Môđun xạ ảnh 11 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU 13 2.1 Bài tập .13 2.2 Bài tập .15 2.3 Bài tập .16 2.4 Bài tập .16 2.5 Bài tập .17 2.6 Bài tập .18 2.7 Bài tập .19 2.8 Bài tập .20 KẾT LUẬN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BN 1.1 Môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, ( M , +) nhóm aben M gọi R-mơđun trái có ánh xạ (được gọi phép nhân vơ hướng) R × M →M r, x ֏ rx thỏa mãn tính chất sau: (i) r ( x + y ) = rx + ry (r + s ) x = rx + sx ; (ii) (rs ) x = r ( sx) ; (iii) 1.x = x ; ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M Một R-môđun trái M kí hiệu R M cịn gọi mơđun trái R Tương tự, ta có định nghĩa cho R-môđun phải cách xét phép nhân vô hướng bên phải M R-môđun phải kí hiệu M R Nếu R vành giao hốn khái niệm mơđun trái môđun phải trùng Trong suốt tiểu luận khơng đề cập thêm để đơn giản ta qui ước nói M R-mơđun nghĩa M R-môđun trái Định nghĩa 1.1.2 Cho M R-môđun Tập N M gọi môđun M N nhóm nhóm cộng M N đóng kín phép nhân vơ hướng R-mơđun M Định lý 1.1.1 Cho M R-môđun, N tập khác rỗng M Khi khẳng định sau tương đương: (i) N môđun M (ii) ∀x, y ∈ N , ∀r ∈ R : x + y = N , rx ∈ N (iii) ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ N : rx + sy ∈ N Định nghĩa 1.1.3 Cho N môđun R-mơđun M nhóm thương ( M / N , +) có cấu trúc R-mơđun với phép nhân định nghĩa: r ( x + N ) = rx + N (r ∈ R, x ∈ M ) R-môđun ( M / N , +,.) gọi môđun thương môđun M môđun N Định nghĩa 1.1.4 Cho S tập R-môđun M Môđun bé M chứa S gọi môđun M sinh S, ký hiệu: S Nếu M = S S gọi hệ sinh M M sinh S Nếu M có hệ sinh hữu hạn M gọi mơđun hữu hạn sinh 1.2 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho M , N R-môđun Ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu R-mơđun hay cịn gọi R-đồng cấu điều kiện sau thỏa mãn: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) f (rx) = rf ( x) ∀x, y ∈ M , r ∈ R Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tồn ánh, song ánh tương ứng Nếu có đẳng cấu f : M → N M gọi đẳng cấu với N, kí hiệu M ≅ N Nếu f : M → N R-đồng cấu ta có: (i) f (0) = (ii) f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ M Đối với đồng cấu f : M → N ta kí hiệu Im f = f ( M ) Ker f = { x ∈ M | f ( x) = 0} = f −1 (0) Gọi Im f ảnh f, Ker f hạt nhân f Mệnh đề 1.2.1 Cho f : M → N đồng cấu R-mơđun Khi f đơn cấu Ker f = Định nghĩa 1.2.2 Cho M N hai R-môđun Tập hợp tất R-đồng cấu từ M vào N ký hiệu HomR ( M , N ) Mệnh đề 1.2.2 Cho R vành giao hốn Khi với phép cộng nhân vô hướng: ∀f , g ∈ HomR ( M , N ), r ∈ R : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x), ∀x ∈ M (rf )( x) = rf ( x), ∀x ∈ M HomR ( M , N ) R-môđun Định nghĩa 1.2.3 Cho R vành giao hoán xem R mơđun nó, R-mơđun M * = HomR ( M , R) gọi môđun đối ngẫu M Với phần cho trước tùy ý u ∈ M ta xác định ánh xạ ϕu : M * → R,ϕu ( f ) = f (u ), ∀f ∈ M * Dễ kiểm tra thấy ϕu R-đồng cấu, tức phần tử mơđun đối ngẫu M ** M * Hơn nữa, tương ứng u ֏ ϕu cho ta Rđồng cấu ε : M → M ** gọi đồng cấu tự nhiên từ môđun M vào môđun song đối ngẫu M** Nói chung đồng cấu ε khơng phải đẳng cấu, chí nói chung khơng phải đơn cấu Nếu ε đẳng cấu mơđun M gọi môđun phản xạ Các môđun đối ngẫu đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc môđun có nhiều ứng dụng khác đại số 1.3 Tích trực tiếp Tổng trực tiếp {M } Định nghĩa 1.3.1 Cho họ R-môđun i i∈I Khi tích Descartes ∏ M i = {( xi )i∈I | xi ∈ M i } với phép cộng phép nhân vô i∈I hướng: ∀( xi )i∈I ,( yi )i∈I ∈ ∏ M i , ∀r ∈ R : ( xi )i∈I + ( yi )i∈I = ( xi + yi )i∈I i∈I r ( xi )i∈I = (rxi )i∈I R-mơđun, gọi tích trực tiếp họ {M i }i∈I Trường hợp M i = M với i ∈ I ta ký hiệu ∏ M i = M I i∈I Một tồn cấu R-mơđun pj : ∏ Mi → M j i∈I (xi )i∈I ֏ xj gọi phép chiếu tự nhiên Định nghĩa 1.3.2 Cho {M i }i∈I họ môđun R-môđun Tập tích Descartes ∏ M i gồm tất phần tử ( xi ) mà xi = hầu hết i∈I trừ số hữu hạn số i ∈ I , môđun con, gọi tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) họ {M i }i∈I ký hiệu ⊕ M i i∈I Trong trường hợp M i = M với i ∈ I ta ký hiệu ⊕ M i = M ( I ) i∈I Một họ đơn cấu R-môđun qj : M j → ⊕ Mi i∈I xj x j ֏ ( xi ), xi = 0 gọi phép nhúng tự nhiên neáu i = j neáu i ≠ j Khi I tập hữu hạn ∏ M i = ⊕ M i , cịn trường hợp vơ hạn i∈I i∈I ⊕ M i môđun thực ∏ M i Thơng thường, xét tích trực tiếp ta i∈I i∈I quan tâm phép chiếu p j , tổng trực tiếp ta quan tâm đến phép nhúng q j Định lý 1.3.1 Cho R vành giao hoán Với i ∈ I , M i R-mơđun (⊕i∈I M i )* = ∏ i∈I M i * Chứng minh Cho f ∈ (⊕i∈I M i ) * , cho f i : M i → R, f i (mi ) = f (m) , thành phần thứ i m mi , ngược lại Khi f i hàm xác định với i ∈ I Hơn f i ∈ M i * Xét tương ứng φ : (⊕i∈I M i ) * → ∏ i∈I M i * f ֏ (f i )i∈I Dễ thấy φ xác định đơn ánh Bây ta cho ( f i )i∈I , định nghĩa f : ⊕i∈I M i → R , ∑ i∈I mi ֏ ∑ i∈I f i (mi ) Dễ thấy f ∈ (⊕ i∈I M i ) * φ ( f ) = ( f i )i∈I , φ toàn ánh Ta dễ dàng kiểm tra φ đồng cấu môđun 1.4 Dãy khớp Định nghĩa 1.4.1 Một dãy đồng cấu R-môđun f f f f → M i −1 → M i → M i +1 → i −2 i −1 i i +1 gọi khớp i Im( f i −1 ) = Ker( f i ) f g Dãy khớp → X → Y → Z → gọi dãy khớp ngắn f g Ta thấy dãy đồng cấu R-môđun → X → Y → Z →0 khớp X ≅ Im f Z ≅ Y / Im f Định nghĩa 1.4.2 Dãy khớp f g → X → Y → Z → gọi chẻ Y Im f hạng tử trực tiếp Y Dãy khớp chẻ môđun không nằm hai đầu gọi dãy khớp chẻ Dãy khớp ngắn f g → X → Y → Z →0 chẻ X Z Vậy dãy khớp ngắn chẻ chẻ Y Mệnh đề 1.4.3 Cho dãy khớp ngắn f g → X → Y → Z →0 Các khẳng định sau tương đương (i) Dãy khớp chẻ → X cho hf = 1X (ii) f có nghịch đảo trái, tức có đồng cấu h : Y (iii) g có nghịch đảo phải, tức có đồng cấu k : Z → Y cho gk = 1Z 1.5 Môđun tự Định nghĩa 1.5.1 Cho R vành, S tập hợp Một R-môđun tự R R-môđun F với ánh xạ f : S → F cho với ánh xạ g : S → X từ tập S vào R-môđun X, tồn đồng cấu R-môđun h : F → X thỏa mãn hf = g f S F g h X Mỗi ℤ -môđun tự gọi nhóm abel tự Đặt F = {φ : S → R : φ ánh xạ, φ ( S ) = hầu khắp } Định nghĩa phép cộng: ∀φ ,ψ ∈ F : (φ + ψ )( s ) = φ ( s ) + ψ ( s ), ∀s ∈ S Định nghĩa phép nhân: ∀r ∈ R, ∀φ ∈ F : (rφ )( s ) = rφ ( s ), ∀s ∈ S F với phép cộng phép nhân thành R-môđun Xét ánh xạ f : S →F s ֏ fs với f s : S → R cho 1, neáu t = s f s (t ) = 0, neáu t ≠ s Khi ( F , f ) R-môđun tự S Định nghĩa 1.5.2 Cho M R-môđun, S tập M n S gọi hệ sinh M ∀x ∈ M , x = ∑ ri xi , ri ∈ R, si ∈ S i =1 n S gọi độc lập tuyến tính ∑ ri xi = 0, ri ∈ R, si ∈ S ⇒ ri = 0, ∀i = 1, , n i =1 S gọi sở M S hệ sinh M độc lập tuyến tính Cho họ R-mơđun ( M i )i∈S , S ≠ ∅, M i = R, ∀i ∈ S Xét tổng trực tiếp ⊕i∈S M i = {( xi )i∈S | xi = hầu khắp} Mỗi phần tử ( xi )i∈S xem ánh xạ φ : S →R i ֏ xi với φ (i ) = hầu khắp Ta có ⊕i∈S M i R-mơđun tự F sinh S Mệnh đề 1.5.1 Mọi R-môđun M ảnh tồn cấu R-mơđun tự Suy ra, R-môđun M đẳng cấu với thương môđun tự 10 Định lý 1.5.1 Cho M R-môđun Tập S ⊂ M sở ánh xạ bao hàm i : S → M mở rộng thành đẳng cấu R-môđun h : F → M với F R-môđun tự sinh S f S F i h M Hệ 1.5.1 R-môđun M tự M có sở Định lý 1.5.2 (Tính phổ dụng) Cho F R-môđun tự với sở U = {ei | i ∈ I } X R-môđun Khi ánh xạ f : U → X mở rộng cách thành đồng cấu ϕ : F →X Chứng minh Đồng cấu ϕ : F → X xác định hệ thức ϕ (∑ xi ei ) = ∑ xi f (ei ) Bây ψ : F → X đồng cấu mở rộng f ψ (ei ) = f (ei ), i ∈ I ψ (∑ xi ei ) = ∑ xiψ (ei ) = ∑ xi f (ei ) = ϕ (∑ xi ei ) Điều chứng tỏ ϕ = ψ 1.6 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.6.1 R-môđun P gọi xạ ảnh đồng cấu Rmôđun f : P → B tồn cấu tồn cấu R-mơđun g : A → B có đồng cấu R-mơđun h : P → A thỏa gh = f 11 P h f g A B Định lý 1.6.1 Mọi môđun tự xạ ảnh Mệnh đề 1.6.1 Cho X R-môđun Các khẳng định sau tương đương: (i) X R-môđun xạ ảnh (ii) Mọi dãy khớp ngắn đồng cấu R-môđun α β →U →V → X →0 chẻ (iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R-môđun tự 12 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU 2.1 Bài tập Cho R vành giao hoán Chứng minh P R-môđun tự hữu hạn sinh, có đẳng cấu tự nhiên P ≅ P ** Chứng minh Nếu ta chọn R-cơ sở e1 , , en P f ∈ P * hoàn toàn xác định với giá trị ei , i = 1, , n tương ứng f với n-bộ ( ( f (e1 ), , f (en )) ∈ R n ) cho ta R-tuyến tính đơn ánh từ P * vào R n → R f i (re + + rn en ) = ri Đây là toàn ánh Ta định nghĩa f i : P 1 hàm tọa độ thứ i theo sở P ta chọn Khi đó, ánh xạ P* → R n biến hàm tọa độ thành vectơ thứ i sở trực chuN n R n Ta có đẳng cấu P* → R n , hàm tọa độ cho sở P phải sở P* Vì với sở e1 , , en R-môđun tự hữu hạn sinh, hàm tọa độ cho sở sở đối ngẫu Nó gọi sở đối ngẫu ký hiệu e1* , , en* (các hàm f i ei * ) Ta có ánh xạ R-tuyến tính P → R định nghĩa 1 neáu i = j ei * (e j ) = 0 neáu i ≠ j Bây ta chứng minh tập trên: Ta ánh xạ R-tuyến tính P → P ** cho R-mơđun P, sau kiếm tra đẳng cấu P hữu hạn tự Mỗi phần tử thuộc P ** ánh xạ tuyến tính P * → R Với m ∈ P , ta có: ∀f , g ∈ P*, r ∈ R : ( f + g )(m) = f (m) + g (m) 13 (rf )(m) = r ( f (m)) Cho ϕ m : P * → R,ϕ m ( f ) = f (m) dễ thấy ϕ m R-đồng cấu nên ϕ m ∈ P ** Xét tương ứng P → P ** m ֏ ϕm Ta có: ϕ m+ m ' ( f ) = f (m + m ') = f (m) + f (m ') = (ϕ m + ϕ m ' )( f ) Vì ϕ m+ m ' = ϕ m + ϕm ' Tương tự: ϕ rm = rϕ m với r ∈ R Từ suy tương ứng m ֏ ϕ m R-đồng cấu P → P ** với Rmôđun P Bây ta chứng minh ánh xạ từ P vào P ** đẳng cấu P hữu hạn tự R Cho e1 , , en R-cơ sở P Cho e1* , , en* sở đối ngẫu P * Nếu m ∈ P m ≠ ei * (m) ≠ số i Vì ϕ m (ei * ) ≠ , nên ϕ m phần tử P ** Điều cho thấy ϕ m m = , ánh xạ P → P ** đơn ánh Bây ta chọn ε ∈ P ** , cần tìm m ∈ P cho ε = ϕ m , có nghĩa ε ( f ) = f (m), ∀f ∈ P * Vì hai vế phương trình tuyến tính f nên tìm thấy m làm cho phương trình thỏa f tác động lên sở đối ngẫu từ việc mở rộng P * Cho = ε (ei * ) ∈ R định nghĩa n m = ∑ ei ∈ P ε (ei * ) = = ei * (m) , ε = ϕ m i =1 14 Tương ứng m ֏ ϕ m cho ta R-đồng cấu P → P ** với môđun P, không với môđun tự hữu hạn sinh đồng cấu tự nhiên từ mơđun tới song đối ngẫu Cho mơđun tự hữu hạn sinh, tương ứng đẳng cấu gọi đẳng cấu song đối ngẫu Theo đẳng cấu này, sở P ** đối ngẫu với sở đối ngẫu e1* , , en* P* sở nguyên gốc e1 , , en Thật vậy, ta có 1 eve (e j * ) = e j * (ei ) = 0 i neáu i = j neáu i ≠ j 2.2 Bài tập Cho P = ⊕i∈ℕ ℤ i ⊂ M với ℤ i = ℤ Chứng minh Homℤ ( M / P, ℤ) = Chứng minh Cho f ∈ Homℤ ( M / P, ℤ) cho f ( P) = Xét hai nhóm M: A = {(2a1 , 22 a2 , ,2 n an , ) : ∈ ℤ} , B = {(3b1 ,32 b2 , ,3n bn , ) : bi ∈ ℤ} , Một phần tử A có dạng (2a1 , 22 a2 , ,2 n−1 an −1 ,0,0, ) + 2n (một phần tử M) Do f ( P) = , ta có f ( A) ⊆ n ℤ với n, f ( A) = Tương tự, ta có f ( B) = Từ f ( M ) = f ( A) + f ( B ) = Nhận xét Ta biết P R-mơđun tự P môđun xạ ảnh Ở giả thiết ta xét cho P môđun tự phải cho P hữu hạn sinh có đẳng cấu tự nhiên P ≅ P ** Còn tập cho P R-mơđun xạ ảnh (khơng cho hữu hạn sinh) ta có đơn cấu P → P ** ( tập sau) Về tập ta có P Rmơđun tự nên môđun xạ ảnh 15 2.3 Bài tập Chứng minh tích trực tiếp M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ không ℤ -môđun xạ ảnh Giả sử M ℤ -mơđun xạ ảnh Ta có M ⊆ F với F nhóm abel tự với sở {ei : i ∈ I } Từ P = ⊕i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ đếm được, ta phân tích I thành I1 ∪ I cho I1 đếm P chứa F1 {e : i ∈ I } i Chú ý M ⊄ F1 , F1 đếm M khơng Xét phép chiếu từ F vào ei ℤ với i ∈ I , ta có đồng cấu f : F → ℤ v ới f ( M ) ≠ f ( F1 ) = (vì F ( P ) = ) (mâu thuN n tập 2) 2.4 Bài tập Một R -môđun phải P xạ ảnh tồn họ phần tử {ai }i∈I P hàm tuyến tính { f i }i∈I HomR ( P, R ) cho hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với a ∈ P , f i (a ) = với hầu hết i (ii) a = ∑ i∈I f i (a ), ∀a ∈ P Chứng minh Giả sử P R-môđun phải xạ ảnh φ : F → P R-tồn cấu, F R-mơđun tự có sở (ei )i∈I Khi dãy khớp ngắn φ → Ker φ → F →P → chẻ ra, tồn R-đồng cấu f : P → F cho φ f = 1P Với phần tử tùy ý a ∈ P f (a ) ∈ F ln có khai triển hữu hạn f (a ) = ∑ ei f i ( a ) , i∈I tức có hữu hạn phần tử i ∈ I cho f i ( a ) ≠ Khi rõ ràng tương ứng f i : P → R xác định f i (a ) = f i ( a ) , ∀a ∈ P R-đồng cấu thỏa mãn điều kiện (i) với i ∈ I Bây ta đặt = φ (ei ), ∀i ∈ I 16 a = (φ f )(a ) = φ (∑ ei f i ( a ) ) = ∑ φ (ei ) f i ( a ) = ∑ f i (a ) , i∈I i∈I i∈I Khi họ (ai )i∈I ∈ P thỏa điều kiện (ii) Ngược lại, giả sử tồn họ phần tử {ai }i∈I P hàm tuyến tính {f } i i∈I HomR ( P, R ) thỏa điều kiện (i) (ii) Xét tập hợp S = {ei }i∈I ánh xạ g : S → P xác định g (ei ) = , ∀i ∈ I Cho F Rmôđun tự tập S Khi theo tính phổ dụng môđun tự do, tồn R- đồng cấu φ : F → P mở rộng g, tức cho φ (ei ) = , ∀i ∈ I Bây ta định nghĩa ánh xạ f : P → F f (a ) = ∑ i∈I ei f i (a ) ; ý tổng hữu hạn nên f hoàn toàn xác định R-đồng cấu Khi ta suy (φ f )(a ) = φ (∑ ei f i (a )) = ∑ φ (ei ) f i (a ) = ∑ f i (a ) = a, ∀a ∈ P i∈I i∈I i∈I tức φ f = 1P Do dãy khớp ngắn φ → Ker φ → F →P → chẻ Điều nói lên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự F nên P R-môđun xạ ảnh Định lý chứng minh Nhận xét Để thuận tiện, đề cập đến {ai , f i } “ cặp sở đối ngẫu” cho môđun (xạ ảnh) P Dĩ nhiên, họ {ai }i∈I , ∈ P dạng tập sinh không thiết sở P 2.5 Bài tập Chứng minh với R vành giao hốn P R-mơđun xạ ảnh bất kỳ, ánh xạ tự nhiên ε : P → P ** đơn cấu Chứng minh Ta biết R-đồng cấu tự nhiên ε : P → P ** định nghĩa ε (a ) = aɵ (cho a ∈ P ) f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * 17 Nế u a ∈ Ker(ε ) , = f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * Từ phương trình a = ∑ i∈I f i (a ), ∀a ∈ P tập 4, ta suy a = Nhận xét Trong chứng minh tập P xạ ảnh hữu hạn sinh tồn {ai , f i :1 ≤ i ≤ n} thỏa điều kiện tập cho a = ∑ i∈I f i (a ), ∀a ∈ P Trong trường hợp này, hàm tuyến tính {f } i i∈I sinh P * Hơn nữa, ánh xạ ε : P → P ** định nghĩa đẳng cấu R-môđun Chi tiết ta có tập sau 2.6 Bài tập Cho R vành giao hoán P R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh với cặp sở đối ngẫu {ai , f i :1 ≤ i ≤ n} Khi P * R-mơđun với a ∈ P, aɵ ∈ P ** , định nghĩa f aɵ = f (a ), ∀f ∈ P * Chứng minh rằng: { } (a) f i , aɵ i cặp sở đối ngẫu cho P * (b) P * R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh (c) Ánh xạ tự nhiên ε : P → P ** định nghĩa ε (a ) = aɵ (với a ∈ P ) đẳng cấu R-môđun Chứng minh (a) Ta phải f = ∑ ( f aɵ i ) f i , ∀f ∈ P * Thật vậy, xét vế phải, với a ∈ P Ta có: (∑ ( f aɵ i ) f i )(a ) = ∑ f (ai ) f i (a ) = f (∑ f i (a )) = f (a ) (b) Theo tập (a) bao gồm (b) (c) Trong tập rõ ràng ε đơn ánh Từ f = ∑ ( f aɵ i ) f i , { f i } tập sinh cho P * Áp dụng kết luận cho cặp sở đối ngẫu 18 { f , aɵ } cho i i P * , ta thấy {aɵ } i tập sinh cho P ** Vì aɵ i = ε (ai ) , ε : P → P ** tồn ánh, ε đẳng cấu Nhận xét Thực ε : P → P ** đẳng cấu (trong trường hợp P xạ ảnh hữu hạn sinh) chứng minh cho trường hợp P tự hữu hạn sinh tập Trong trường hợp P = R , ta có P* = R P ** = R ánh xạ ε ánh xạ đồng từ R vào R Lấy tổng trực tiếp hữu hạn ta thấy ε đẳng cấu với P = R n Cho môđun xạ ảnh P hữu hạn sinh, cố định môđun Q cho P ⊕ Q ≅ R n Vì ε P⊕Q = ε P ⊕ ε Q đẳng cấu nên ε P đẳng cấu Trong trường hợp giả thiết không hữu hạn sinh sao? Có vẻ cơng thức tính tốn (a) cho cặp sở đối ngẫu {ai , f i } Tuy nhiên Nếu tập {ai , f i } vơ hạn, ta khơng có cách biết được, f ∈ P*, f aɵ i = f (ai ) không cho tất hữu hạn với nhiều i Nếu khơng có điều này, tổng ∑ i ( f aɵ i ) f i trở nên vô nghĩa Bài tập tập đưa sau đề cập thêm mối quan hệ P P** trường hợp không hữu hạn sinh 2.7 Bài tập Cho ví dụ (tất yếu khơng phải hữu hạn sinh) R-môđun xạ ảnh P, P1 cho (1) đối ngẫu P* P R-môđun xạ ảnh (2) phép nhúng tự nhiên P1 vào P1 ** đẳng cấu Bài giải (1) Cho R = Z giả sử P hữu hạn sinh Ta có Rmơđun tự Z ⊕ Z ⊕ Khi đó: P* = HomZ (Z ⊕ Z ⊕ , Z) ≅ Z × Z × Đây khơng phải Z -mơđun xạ ảnh 19 (2) Cho R = Q , P1 = Q ⊕ Q ⊕ Q -không gian vectơ (tự do) với số chiều đếm Như (1), có P* ≅ Q × Q × Q -không gian vectơ với số chiều khơng đếm Rõ ràng, đối ngẫu P1 ** Q -không gian vectơ với số chiều khơng đếm Vì thế, phép nhúng tự nhiên ε : P1 → P1 ** đẳng cấu Nhận xét: Trong (2), làm việc với trường Q thực tế Q khơng đếm dễ thấy Q × Q × Q -chiều khơng đếm Nói chung, thực tế k × k × k-chiều khơng đếm trường k nào, chọn P1 = k ⊕ k ⊕ trường k cho (2) 2.8 Bài tập Cho M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ Cho ei = ( x j ) j∈ℕ , x j = j = i , x j = j ≠ i (i) Chứng minh với f ∈ Homℤ ( M , Z) , ta có f (ei ) = với hầu hết i (ii) Đặt P = ⊕i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ , P* = Homℤ ( P, ℤ) Chứng minh P ≅ P ** Chứng minh P Z -môđun tự Để chứng minh (ii) ta chứng minh phép nhúng tự nhiên ε : P → P ** đẳng cấu Ta chứng minh điều cách giả sử có (i) Vì P Z -mơđun tự nên môđun xạ ảnh, suy ε đơn ánh theo tập Ta chứng minh ε toàn ánh với f ∈ HomZ ( P*, Z) Giống tập 7, xem P* M Theo (i) tồn n cho f (ei ) = với i>n Cho X = Zen +1 × Zen + × , cho g=f|X Bởi g Zen+1 ⊕ Zen + ⊕ , từ tập suy g ≡ Vì thế, cho = f (ei )(i ≥ 1) a = (a1 , a2 , ) ∈ P , có f ( x1 , x2 , ) = f ( x1 , , xn ,0, ) + f (0, ,0, xn +1 , xn + , ) = x1 f (e1 ) + xn f (en ) 20 ∞ = ∑ i =1 xi = ε (a )( x1 , x2 , ) Do đó: f = ε (a ) Ta chứng minh (i), ta cho giả thiết, thay vào f (ei ) ≠ với vơ hạn i Vì giả sử f (ei ) ≠ , với i ≥ Ta thay ei −ei cần thiết, giả sử := f (ei ) > Qui định với số nguyên tố p không chia hết cho a1 định nghĩa hai dãy { yn , xn : n ≥ 1} ⊆ X qui nạp n sau: y1 = x1 = , cho n > 1, yn = x1a1 + + xn −1an −1 , xn = pyn Chú ý yn = yn −1 + xn −1an −1 = yn −1 (1 + pan −1 )(n ≥ 2) , xn = pyn chia hết cho yn với i ≤ n Bây với n tùy ý: f ( x1 , x2 , ) = f ( x1 , , xn −1 ,0,0, ) + f (0, ,0, xn , xn +1 , ) = yn + f (0, ,0, xn , xn +1 , ) chia hết cho yn Cho yn → ∞ , điều bao gồm f ( x1 , x2 , ) = Từ f ( x1 , x2 , ) = f (1,0,0, ) + f (0, py2 , py3 , ) = a1 + pf (0, y2 , y2 , ) , Chúng ta có p chia hết cho a1 , mâu thuN n! Nhận xét: Tích trực tiếp M = ∏ i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ không ℤ -môđun xạ ảnh nên khơng phải ℤ -mơđun tự M khơng phải hữu hạn sinh Do với M nói chung khơng có đẳng cấu M M** 21 KẾT LUẬN Trong tiểu luận cố gắng trình bày kiến thức chuN n bị chương nhằm phục vụ cho việc giải tập chương môđun xạ ảnh với môđun đối ngẫu Một số tập đưa nhằm để giải số tập khác số cịn lại Phần lớn mệnh đề, định lý, hệ chương không chứng minh tìm thấy chứng minh chi tiết [1] Mặc dù cố gắng nhiều để hồn thành tiểu luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý thầy cô bạn 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Thiện, Giáo trình sở đại số đại, Đại học sư phạm Huế, 2012 [2] Nguyễn Tự Cường , Đại số đại, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [3] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999 [4] T.Y Lam, Exercices in Modules and Rings, Springer, 2007 [5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun nhóm Aben, Nhà xuất đại học sư phạm, 2008 23 24 ... MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU 13 2.1 Bài tập .13 2.2 Bài tập .15 2.3 Bài tập .16 2.4 Bài tập .16 2.5 Bài tập ... thiết nên làm Do khoảng thời gian hạn hẹp với mục đích nghiên cứu thêm môđun xạ ảnh chọn đề tài tiểu luận “ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU” Phần tiểu luận phân thành hai chương:... → X →0 chẻ (iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R -môđun tự 12 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔĐUN ĐỐI NGẪU 2.1 Bài tập Cho R vành giao hoán Chứng minh P R-mơđun tự hữu hạn