Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho.. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1:(2,5 đ) Rút gọn các biểu thức sau:
1 B = (3 √2 + √6 ) √6−3√3
2 B = 3
√2−√5
Câu 2: (6,0đ)
1 Cho phương trình x2−2 (m−1) x−2 m=0 , với m là tham số
a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Với điều kiện trên, hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1- x2 đạt giá trị nhỏ nhất
2.Lớp 9A có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật của bạn X (là một thành viên trong lớp), các bạn lớp 9A có rất nhiều món quà tặng bạn X Ngoài ra, mỗi bạn nam của lớp làm 3 tấm thiệp và mỗi bạn nữ, xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặng bạn X Biết số tấm thiệp và số con hạc bằng nhau, hỏi bạn X là nam hay nữ
Câu 3: (4,0 đ)
1 Giải phương trình sau: √x−5 + √7−x = x2−12 x +38
2 Chứng minh rằng A = 1+ 1
√2+
1
√3+…
1
√2018 không phải là số tự nhiên
Câu 4: (5,5đ) Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và B Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn
đã cho Trên tia Ax lấy điểm I ( với I khác A); đường thẳng vuồn góc với CI tại c cắt By tại K Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E
a) Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh AI.BK = AC.CB
c) Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
d) Giả sử các điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất
Câu 5: (2,0 đ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng:
x
√1+x2+
y
√1+ y2+
z
√1+z2≤
3 2