Bài tập về nhà

BÀI TẬP MƠN TỐN CAO CẤP tmtuong Ngày 23 tháng năm 2016 1 ex − − x − x2 17 lim x→0 x − sin(x) √ + x3 − ebx 18 lim x→0 ln (1 + x) − x cos (ax) Tính giới hạn sau lim √ x→+∞ 3x4 − x8 + 3x − x3 − 3x2 + 2x x→2 x2 − x − √ √ √ x− a+ x−a √ lim x→a+ x2 − a2 lim ecos x − e cos x x→0 x2 − tan3 x 19 lim sin 2x + arcsin2 x − arctan5 x x→0 3x + 4x3   1 21 lim − x→0 x tan x x 20 lim 2x − lim √ x→+∞ x2 + 2x + x→∞ 4.3x − π limπ (x − )(tan x) x→ r 1+x lim ln x→0 x 1−x p p x3 + 3x2 − x2 − 2x lim lim tan x x→0 sin 5x − 2x πx 23 lim (1 − x) tan x→1 22 lim esin x − ex x→0 sin x − x x 25 lim √ x→0 − cos x 24 lim x→∞  lim x→1 − − x − x3  26 lim x→0  1 + tan x sin3 x x→0 + sin x  x x − 2x + 11 lim x→∞ x2 − 4x + arcsin x x→0 x  27 lim 10 lim  12 lim x→0 + tgx + sin x   tan 5x − e−3x ex tan x − sin x x→0 x3   1 29 lim − x→0 sin x x 28 lim sin x x5 − 2x + x→∞ (x2 + 2)(x4 + x − 2) p  p 31 lim x2 + 2x − x2 − 2x 30 lim  2x+2 2x + x−5 x→∞ x+3   x + x+1 14 lim x→∞ x −   5x + 4x+1 15 lim x→∞ 5x −   x − 2016x+1 16 lim x→∞ x + 13 lim x→−∞ 2x − x→−∞ 2x2 + x + p  p 33 lim x2 + 4x − x2 + x − x 32 lim √ x→+∞ √ cos2 x − − x2 34 lim x→0 sin2 x 35 x2 − x→+∞ 2x2 − x − Xét liên tục hàm số ( lim ln (1+2x) (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 36 lim x→0 x (1 + x)5 − (1 + 5x) x→0 x2 + x5 Tìm a để hàm số ( x + x2 + x3 − 38 lim x→1 x−1 f (x) = sin 5x x→0 ln (1 + 4x) 39 lim − cos x − cos 2x xx − x→1 ln x − x + điểm x = −1 ln (cos x) 43 lim √ x→0 + x2 − Xét liên tục hàm số ( ln (1 + x) x→0 sin 3x − sin x Xét liên tục hàm số ( x ln (3x+1) ex2 −1 −5 Tìm a để hàm số ( x > ln (x+1)−x x2 x +a f (x) = cos x + x x ≤ x > x ≤ liên tục điểm x = điểm x = Xét liên tục hàm số ( f (x) = x 6= x = điểm x = Sự liên tục hàm số sin πx x−1 −π 10 Tìm a để hàm số ( x 6= x = f (x) = ln(x+1)−ln(1−x) x |x| < 1, x 6= x = a liên tục điểm x = điểm x = 11 Tìm a để hàm số Xét liên tục hàm số ( x + x > f (x) = x2 x ≤ ( f (x) = x3 +8 x+2 a x > −2 x ≤ −2 liên tục điểm x = −2 điểm x = Xét liên tục hàm số ( x2 f (x) = x +5x−6 x−1 f (x) = 44 lim f (x) = x+a x 6= x = Xét liên tục hàm số ( x2 + x ≥ −1 f (x) = 2x + x < −1 42 lim √ cos x−2 cos 2x tan x liên tục điểm x = e2x − 40 lim x→0 ln (1 − 4x) x→0 x > x ≤ điểm x = 37 lim 41 lim √e3x −1 − x2 f (x) = e −1 x sin x 12 Tìm a để hàm số ( x 6= x = f (x) = điểm x = √ cos x− 3x+1 x a liên tục điểm x = x 6= x = 13 Tìm a để hàm số ( f (x) = e2x +e−2x −2 2x2 2a + √ e x x2 + y = x2 + x 6= x = x2 sin x y = √ x2 + liên tục điểm x = p y = ln(1 − x) + x2 14 Tìm a để hàm số ex−1 −1 (x−1)x2 x 6= a−2 x = ( f (x) = 10 y = 2x x − e ln 12 x+6 11 y = e3x +
x2 +5 liên tục điểm x = 12 y = xsin x 15 Tìm a để hàm số ( f (x) = ln(1+x)−x sin2 x 2a + x 6= x = Tính vi phân hàm số x−2 điểm x = 1 y = √ x2 + liên tục điểm x = 16 Tìm a để hàm số ( f (x) = e2x −2x−1 sin2 x 3a − y = x 6= x = f (x) = x sin x+ln(1+2x2 ) sin2 x x2 + 2x + a y = (3x)x − < x < x ≥ f (x) = sin(π−πx) x2 −1 x2 +3x+a x2 +1 Tính đạo hàm cấp cao Tính f (100) (x) với f (x) = x liên tục điểm x = 18 Tìm a để hàm số ( x điểm x = −1 y = (a2 − x2 )5 2x với a số liên tục điểm x = 17 Tìm a để hàm số ( x2 Tính f (200) (x) với f (x) = p x4 + 3x3 x2 Tính f (300) (x) với f (x) = ex sin x x < 10 x ≥ Tính f (400) (0) với f (x) = 1+x 1−x liên tục điểm x = Tính f (500) (0) với f (x) = xe−x Tính đạo hàm hàm số Tính f (600)(x) với f (x) = r 1+x 1−x p y = ln(x + + x2 ) x x2 − 1 y = y = ex ln sin x Khai triển Taylor cho hàm số sau: x4 − 5x3 + 5x2 + x + điểm x = đến cấp x2 y = e cos x x5 + 2x4 − x2 + x + điểm x = −1 đến cấp y = x2 earctgx y = ex x sin x + cos x x cos x − sin x +2x−1 điểm x = −1 đến cấp 4 2x−x điểm x = 1/2 đến cấp Khai triển Maclaurin cho hàm số sau: y = e sin(x) Z dx √ dx (x + 1) x Z e−(x 11 12 đến lũy thừa y = etan(x) đến lũy thừa Z 13 y = ln(cos(x)) đến lũy thừa y = e 14 đến lũy thừa 5 y = tan(sin(x)) đến lũy thừa x2 dx − x2 Z dx − x4 Z 2x + 13 dx x2 + x − y = 3x đến lũy thừa 16 y = 2x đến lũy thừa y = 10 y = 17 đến lũy thừa − sin x Z 18 đến lũy thừa + tan x x2 Z 19 11 y = cos(sin(x)) đến lũy thừa 12 y = f (x) = +x đến lũy thừa cos(x) 20 x2 x2 − dx x(x2 + 3) Z x−2 dx x2 − x + Z 2xdx (1 + x)(1 + x2 )2 Tính tích phân sau: Z Z √ − x2 23 dx Z x)2 p x x3 + 2dx Z sin x √ dx + cos x Z dx √ √ x−1+ x+1 27 Z dx ex + e−x 28 Z ex dx e2x + Z dx √ x x2 + Z x3 (1 − 2x4 )3 dx +∞ 24 (1 − √ x xdx Z 10 x+ x3 ex x3 Z 22 e2x (3x + 1)dx x2 − dx x(x + 1)(x2 + 1) Z 5x3 − 17x2 + 18x − (x − 1)2 (x − 2) Z x3 + dx x3 − 5x2 + 6x Z 3x2 + 7x − 32 dx (x − 1)(x − 2)(x − 3) 25 5x + dx + 4x − Z 21 dx + 2x + 10 2x2 + x + dx x3 + 3x2 + 3x + Z x2 5x + dx + 4x − Z 15 y = esin x đến lũy thừa xdx 3x2 dx √ x3 + Z 2x−x2 +1) 26 Z e ln x √ dx x + ln x Z √ x + ln x 29 dx x Z xdx √ 30 x2 + Z 1 √ 31 dx; HD: đặt 2x + = (2x + 1) x + t Z 32 −2 Z 33 Z 34 √ dx √ ; HD: đặt t = x + (x + 1) x + Z +∞ 53 dx x(2 + ln2 x) Z +∞ 54 +∞ 55 35  ln x + p x3 e−x dx Z x2 sin 2xdx Z xe−x dx  Z + x2 dx +∞ 56 2x − dx e3x x x2 e− dx Z 36 sin x dx 16 + cos2 x Z +∞ 57 Z 37 Z 38 Z 39 Z 40 Z 41 Z 42 Z 43 Z 44 dx; HD: đặt t = arctan x (1 + x2 )2 −∞ Z +∞ 48 Z +∞ 49 +∞ 64 x2 −1 Z −1 dx + 1) (x2 −∞ Z x3 + x dx e−x2 +∞ arctgx dx x2 +∞ x2 + dx x4 + +∞ dx x x2 + 67 dx x −1 Z 68 2x − dx e3x Z √ 69 e−2x cos xdx dx + 1)(x2 + 4) +∞ 66 x−x dx dx − 8x + 16 dx + 12x + 26 +∞ 65 Z Z 2x2 Z dx + 6x + 11 +∞ 63 ln x dx x2 47 x2 −∞ Z dx x2 + 4x + +∞ 62 ex + √ x dx e −1 +∞ +∞ −∞ Z Z dx ; HD: đặt t = 5 10 x x 1+x +x √ 61 dx p x − ln2 x 46 +∞ Z 3x2 dx + 2x3 +∞ dx x ln3 x 60 2x(x2 Z +∞ e Z x dx x +5 x2 dx +4 x2 59 dx √ (1 + x) x √ 58 e3x + dx ex + Z 45 Z 2x2 + dx e3x+1 Z −1 50 −∞ Z +∞ 51 Z +∞ 52 −∞ dx x2 arctan x dx; HD: đặt t = arctan x (1 + x2 )3/2 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng Z dx x2 + Z ∞ − cos x dx + x2 +∞ 2x2 dx + sin2 3x Z +∞ Z ln3 x dx x+5 +∞ √ Z √ y = dx √ ; KQ: hội tụ + x2 + x3 +∞ x2 (y + 1)dx + (x3 − 1)(y − 1)dy = x2 − y2 10 xdy + y dx = với điều kiện y(1) = 1/2 dx ; KQ: phân kỳ x3 − 11 (x2 + 2xy + y )dx + (y + 2xy − x2 )dy = 12 y + 2xy = xe−x 10 Khảo sát cực trị hàm số 13 y + y = cos x z = x2 + xy + y − 2x − y z = x + 14 y cos x + y = − sin x y + x−3 y 15 y − y sin x = sin x cos x y = xe−x x z = x2 + xy − y + x − y + 16 y + z = x2 + xy + y − 2x − y 17 xydx + (y − 2x)dy = z = x3 + 3xy − 15x − 12y 18 y − f (x, y) = 3x1/3 y 1/3 − x − 0, 01y + 2016 f (x, y) = 9x 1/3 1/3 y y = x ln x với điều kiện y(e) = e2 x ln x 19 xy − 2y = 2x4 − x − 0, 03y + 2016 20 y + 2xy = 4x 10 50 f (x, y) = 2xy + + x y 21 y + z = x3 − x2 + 2ey − e2y + 22 y + 2xy = x5 e−x 2x y=x − x2 10 f (x, y) = 40x0,3 y 0,4 − 0, 03x − 2y + 2016 23 y − 2xy = 5x3 11 z = 8x3 + 2xy − 3x2 + y + 17 24 y − 12 z = x4 + y − 2x2 + 4xy − 2y √ 25 y − x2 + y = arcsin x với điều kiện y(0) = 13 u = x + 8y với điều kiện x2 + 4y = 14 u = 2x2 − 6y 26 y − y = xy với điều kiện x + 2y = 27 y = 15 u = x2 + 3xy − 5y với điều kiện 2x + 3y = − x2 y 29 y 00 − 2y + y = 2x + 30 y 00 + 2y = 4x + Giải phương trình vi phân y = √ 2y x 28 y − 2xy = x3 y 16 f (x, y) = 12x + 3y với điều kiện x0,5 y 0,5 = 50 11 y = 3xex x 31 y 00 + 2y − 3y = 4x + 1 x2 + x 32 y 00 − 6y + 9y = 2x2 − x + (1 + x2 )dy = xydx 33 y 00 − 2y + y = (x + 1)ex (x + 2x3 )dx + (y + 2y )dy = 34 y 00 − 9y + 20y = x2 e4x x(1 + y )dx − y(1 + x2 )dy = 35 y 00 + 6y + 9y = −xe4x y = xy − x p 2x − y dx + ydy = 36 y 00 − 6y + 9y = 2x2 − x + x2 37 y 00 − 2y + y = ex (1 + x) x dx + (y + 1)dy = +1 38 y” + 3y − 4y = e−4x + xe−x 39 y” − 3y + 2y = x cos x 40 y” − 4y + 8y = e2x (a) + sin 2x (b) 41 y” − 3y + 2y = 3x + sin 2x 12 (c) Ma trận phép toán ma trận (d) Tính A2 , A3 suy An , n ∈ N,   −1 (a) A = −2   a (b) A = b   cos α − sin α (c) A = sin α cos α   1 (d) A = 1 1 1   1 (e) A = 0 1 1   1 (f) A = 0 1 0   sin α − cos α (g) A =  −1 sin α − cos α   −1 Tính Cho f (x) = x − 5x + 3; A = −3 f (A)   Cho f (x) = 3x2 + 2x − 4; A = Tính f (A)     −1 1 Cho A = 3 −1 ; B = 1 1 Tính 1 0 (e) (f) (g)     −1 −1 X= 4     2 X = X −3 −4     −5   X = −2 3       −2 −1 −2 X = −2 −1 −2       1 −1 1 X −X = −1 1 −1     −2 2 −1 X = 2 −2 −2 −2     −3 2 −3  −3 X = 2 −2 −4 −1 Tìm hạng ma trận sau:   −1 2 −1 −3 4  (a) A =  5 −1 7 7   −4 −1 −4 5    7 (b) B =    −10   −1 −2 7 (c) C = 4 −2 −1   −4 1 −2 −4 2  (d) D =  0 −1 1 −7 −4 Tính định thức sau: 12 −4 −3 −8 (a) 19 −14 −1 −11 −2 −1 −3 (b) −4 11 a x x x x x a x x x (c) x x a x x x x x a x x x x x a (a) AT − 2BA + 3B T (b) 2AB − 3BA + 2AB T (c) Cho f (x) = x3 − 3x − Tính f (A), f (B) 1 1 Cho A = 2 Tìm a, b cho A3 = A a b   a Cho ma trận A = 0 a 1 Tìm A100 0 a Tìm tất ma trận X thỏa: a x (d) x x n (e) n n x x a x x a x x x x x a n n n n  13 Giải hệ phương trình sau phương pháp Crammer   2x1 + 2x2 + 5x3 = 21 (a) 2x1 + 3x2 + 6x3 = 26   x1 − 6x2 − 9x3 = −37    x1 + x2 − 3x3 = −2 (b) x1 + 2x2 − 3x3 =   2x1 + 4x2 − 5x3 = −6   2x1 − 5x2 + 3x3 + x4 =    3x − 7x + 3x − x = −1 (c)  5x1 − 9x2 + 6x3 + 2x4 =    4x − 6x + 2x − x = n n n n n n  −2 10 Cho A = 2  (a) Tính det(A4 + 3A3 ) (b) Tính hạng ma trận A + 5I   x x x x x x x  11 Tìm x để hạng  x 2 x x 3   0 2   Tìm k để 12 Cho A =  4 −2  −1 k + k + r(A) ≥   13 Cho A = 1 2 Giải hệ phương trình sau phương pháp khử Gauss:    x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 − 3x5 = (a) −2x1 + x2 + 2x3 − 4x4 + 6x5 =   x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 =    x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 (b) 5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17   3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1  2x1 − 4x2 + x3 + x4 =      =0   x1 − 5x2 + 2x3 x1 + x2 − x3 + x4 =     3x1 − 9x2 + 3x3 + x4 =    5x1 − 13x2 + 4x3 + 2x4 =   + x4 = −3  x1 − 2x2   3x − x − 2x =1 (d)  2x1 + x2 − 2x3 − x4 =     x + 3x − 2x − 2x = (c) (a) Tính A3 − 8A2 + 17A (b) Tính A−1  14 15 16 17 x Tìn x để ma trận  x x x 1 x 1 Tính 1 x 1 1 x 3 x Giải phương trình x x x Giải phương trình x Hệ phương trình tuyến tính  1 2 2  khả nghịch x −2 −2 x x −1 3 x x x 3 x 2 x x x x 1 Giải hệ phương trình sau:    x1 + 3x2 − x3 = (a) 3x1 − x2 + 5x3 =   5x1 + 5x2 + 3x3 = 14   2x1 + 2x2 − x3 + x4 =    4x + 3x − x + 2x = 3 (b)  8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 =    3x + 3x − 2x + 2x = 3   x1 + 2x2 − x3 − x4 =    2x + 3x + x + 2x = (c)  3x1 + 5x2 + x3 + 2x4 =    6x + 10x + x + 3x = x x =0 3 x x =0 1   2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5     x + 2x − x + x − 2x (d)  4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5    2x − 14x + 7x − 7x + 11x (e) (f) (g) (h) =1 Cho u = (−2, −2, 1), u1 = (2, −1, 3), u2 = (4, 1, 2), u3 = (6, 0, 5) ∈ R3 , vector u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 không? =1 =1 = −1   x1 + x2 + x3 − x4 = x1 + 3x2 + x3 =0   x1 + 3x2 + 2x3 + x4 =   x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 =    2x + x − x + 2x − 3x = 1  3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = −1    2x − 5x + x − 2x + 2x = −2   2x1 − 3x2 − 4x3 + 5x4 = −13    4x − 6x + x − x = 14  6x1 − 9x2 + x3 + 2x4 = 13    2x − 3x − 2x − 4x =   x1 − 2x2 + x3 = −3    3x − x − 2x =1  2x1 + x2 − 2x3 − x4 =     x + 3x − 2x − 2x = Cho u = (2, −3, 3), u1 = (1, −2, 3), u2 = (0, 1, −3) ∈ R3 , vector u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 khơng? Trong R3 cho vector u1 = (1, −2, 3), u2 = (0, 1, −3) Vector u = (2, −3, −3) có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 không? Trong không gian ma trận thực cấp  vuông  M2 (R), cho vector u = , u1 = 2       1 1 , u2 = , u3 = Hỏi vector 0 1 u có tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 khơng? Trong R3 , cho vector u = (1, m, −3), u1 = (1, −2, 3), u2 = (0, 1, −3) Tìm m để u tổ hợp tuyến tính u1 , u2 Tìm m để vector x = (7, −2, m) tổ hợp tuyến tính vector u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, −6, 1) 4 Cho hệ phương trình   x + y + (1 − a)z (1 + a)x − y + 2z   2x − ay + 3z 10 Tìm m để vector x = (9, 12, m) tổ hợp tuyến tính vector u = (3, 4, 2), v = (6, 8, 7) =a+2 =0 =a+2 11 Tìm m để vector x = (5, 9, m) tổ hợp tuyến tính vector u = (4, 4, 3), v = (7, 2, 1), w = (4, 1, 6) (a) Giải hệ với a = −2 12 Tìm m để vector x = (1, 3, 5) tổ hợp tuyến tính vector {u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7), w = (5, 6, m)} (b) Tìm a để hệ có nghiệm 14 13 Trong khơng gian vector R4 tìm a để vector x = (1, 1, −1, a) tổ hợp tuyến tính vector {u1 = (1, 2, −1, −2); u2 = (2, 1, 1, 1); u3 = (1, 2, 1, 3); u4 = (1, 3, −1, −2)} Không gian vector Cho V = R2 , ∀u = (a, b), v = (c, d) ∈ V, ∀k ∈ R ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau: u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ku = k(a, b) = (ka, 0) Chứng minh V không gian vectơ 14 Trong tập hợp W Rn sau đây, tập hợp không gian Rn 15 Trong R3 , hệc vector {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)} có độc lập tuyến tính không? (a) W = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ≥ 0} (b) W = {(x1 , x2 , , xn ) | x1 + 2x2 = 3x3 } (c) W = {(x1 , x2 , , xn ) | x1 + 3x2 = 1} 16 Trong R3 , hệc vector {u1 = (1, 0, 1); u2 = (1, 2, 3); u3 = (10, 11, 12); u4 = (4, 5, 6)} có độc lập tuyến tính khơng? (d) W = {(x1 , x2 , , xn ) | x21 = x2 } (e) W = {(x1 , x2 , , xn ) | x1 x2 = 0} 17 Trong R3 , hệc vector {u1 = (1, 0, 1); u2 = (−1, 3, 3); u3 = (2, 2, 4)} có độc lập tuyến tính khơng? Cho u = (1, 2, 3), u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 1, 1) ∈ R3 , vector u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u3 không? 18 Trong R3 , hệc vector {u1 = (1, −2, 1); u2 = (5, 2, 3); u3 = (−2, 2, −5)} có độc lập tuyến tính khơng? 19 Trong R4 , hệc vector {u1 = (1, −2, 3, −4); u2 = (3, 3, −5, 1); u3 = (3, 0, 3, −10)} có độc lập tuyến tính khơng? 20 Trong R[x](khơng gian đa thức hệ số thực bậc không 3), hệ vectơ sau có độc lập tuyến tính khơng? (a) {u1 = x3 − 2x + 3; u2 = x2 + 1} (b) {u1 = x3 − 2x + 3; u2 = x2 + 1; u3 = 2x3 + x2 − 4x + 10} (c) {u1 = x3 − 2x + 3; u2 = x2 + 2x − 1; u3 = x3 + x2 + 2} (d) {u1 = x3 ; u2 = 2x2 ; u3 = 3x; u4 = 2x2 + 3x; u5 = 1} 21 Chứng minh hệ vector {u1 = (1, 2, 0, 4), x2 = (−1, 0, 5, 1), x3 = (1, 6, 10, 14)} phụ thuộc tuyến tính 22 Cho V khơng gian vector R x, y, x ∈ V Chứng minh {x, y, z} độc lập tuyến tính {x + y, y + z, z + x} độc lập tuyến tính 23 Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại hệ vector sau: u1 = (1, −1, 0); u2 = (2, −1, −1); u3 = (0, 1, −1); u4 = (2, 0, −2) 24 Hệ vector {u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 2, 0), u3 = (3, 1, 0)} có sinh R3 không? 25 Hệ vector {u1 = (2, −1, 3), u2 = (4, 1, 2), u3 = (8, −1, 8)} có sinh R3 khơng? 26 Hệ vector {u1 = (2, −1, 4), u2 = (3, −2, 3), u3 = (4, 3, 5)} có sinh R3 khơng? 27 Hệ vector {u1 = (3, 1, 4), u2 = (2, −3, 5), u3 = (5, −2, 9), u4 (1, 4, −1)} có sinh R3 khơng? 28 Hệ vector {u1 = (1, 3, 3), u2 = (1, 3, 4), u3 = (1, 4, 3), u4 (6, 2, 1)} có sinh R3 không? 29 Hệ vector {u1 = (1, 3, 2), u2 = (2, −1, 3), u3 = (3, −5, 4), u4 (1, 17, 4)} có sinh R3 khơng? 30 Hệ vector {u1 = (3, 1, 4), u2 = (2, −3, 5), u3 = (5, −2, 9), u4 (1, 4, −1)} có sinh R3 khơng? 31 Hệ vector {u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 4, 6), u3 = (3, 6, 9), u4 (2, 8, 12)} có sinh R3 không? 32 Hệ vector {u1 = (1, 3, 3), u2 = (1, 3, 4), u3 = (1, 4, 3), u4 (6, 2, 1)} có sinh R3 khơng? 10 33 Hệ vector {u1 = (1, 2, 2), u2 = (2, 4, 4), u3 = (−1, −2, −4), u4 (3, 4, 7)} có sinh R3 khơng? 34 Chứng minh B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 1, 2); u3 = (1, 0, 3)} sở R3 , cho u = (6, 9, 11) tìm [u]B 35 Chứng minh B = {u1 = (2, 1, −3); u2 = (3, 2, −5); u3 = (1, −1, 1)} sở R3 , cho u = (6, 2, −7) tìm [u]B 36 Chứng minh B = {u1 = (1, −1, 0); u2 = (1, 0, −1); u3 = (2, 0, 0)} sở R3 , cho u = (−3, 1, −2) tìm [u]B 37 Cho B = {u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, −1, 5), u3 = (3, −4, 16)} Chứng minh B sở R3 Cho x = (2, 4, 6), Tìm [x]B - tọa độ vector x sở B 38 Cho B = {u1 = (1, 2, −1, 2), u2 = (2, 3, 0, −1), u3 = (1, 2, 1, 3), u4 = (1, 3, −1, 0)} Chứng minh B sở R4 39 Cho B = {u1 = (1, −2, 3), u2 = (2, −1, 5), u3 = (3, −4, 16)} Chứng minh B sở R3 40 Trong R3 , cho M = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + 2x2 − x3 = 0}, chứng minh M khơng gian R3 , tìm sở số chiều M 41 Cho B = {u1 = (0, 1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1, 1), u3 = (1, 1, 0, 1), u4 = (1, 1, 1, 0)} Chứng minh B sở R4 Tìm tọa độ vector x = (1, 1, 1, 1), y = (1, 0, 0, 0) sở B 42 Trong R3 gọi B sở tắc B0 Tìm ma trận S ma trận chuyển sở từ B sang B0 ma trận chuyển sở từ B0 sang B 43 Tìm ma trận chuyển sở PB1 →B2 từ sở B1 = {e1 = (−1, 1, 2), e2 = (1, 2, 1), e3 = (1, −2, 3)} sang sở B2 = {v1 = (−1, 3, −2), v2 = (2, 1, −1), v3 = (0, 1, 0)} 44 Tìm ma trận chuyển sở PB1 →B2 từ sở B1 = {e1 = (1, 2, 4), e2 = (1, −1, 1), e3 = (2, 2, 4)} sang sở B2 = {v1 = (2, −7, 1), v2 = (1, 2, 5), v3 = (1, 3, 2)} 45 Tìm ma trận chuyển sở PB1 →B2 từ sở B1 = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3)} sang sở B2 = {v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 2, 1), v3 = (0, −3, 2)} 46 Tìm ma trận chuyển sở PB1 →B2 từ sở B1 = {e1 = (1, 1, 2, 1), e2 = (1, 2, 3, 1), e3 = (1, 3, 5, 2), e4 = (1, 4, 9, 4)} sang sở B2 = {v1 = (2, 3, 3, 3), v2 = (−1, 3, −1, −1), v3 = (3, 3, −1, 3), v4 = (2, 2, −2, −2)} 47 Trong không gian vector R3 cho hai hệ vector B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)} B2 = {(2, 1, −1), (3, 2, −5), (1, −1, m)} (a) Chứng minh B1 sở R3 (b) Tìm m để B2 sở R3 (c) Trong trường hợp B2 sở R3 tìm ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 tìm tọa độ vector u = (2, 2, 2) hai sở 15 Tìm sở số chiều không gian nghiệm HPTTTTN   x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 − 3x5 2x1 + 7x2 − 3x3 + 7x4 − 5x5   3x1 + 11x2 − 4x3 + 10x4 − 9x5 =0 =0 =0 11