KHẢO sát ẢNH HƯỞNG của các HIỆU ỨNG bậc CAO lên SOLITON LAN TRUYỀN TRONG sợi QUANG

I. Lý do chän ®Ò tµi §Ó ®¸p øng mét trong nh÷ng yªu cÇu tÊt yÕu cña thêi ®¹i c«ng nghÖ th«ng tin ®ã lµ viÖc truyÒn th«ng ngµy cµng tèi ­u ho¸: l­îng tÝn hiÖu h×nh ¶nh, ©m thanh khæng lå ®­îc truyÒn ®i nhanh chãng víi sù tæn hao trªn ®­êng truyÒn rÊt thÊp, ®Æc biÖt lµ kh«ng bÞ mÐo. V× thÕ tõ rÊt l©u trong khoa häc còng nh­ trong thùc tiÔn con ng­êi ®· øng dông qu¸ tr×nh lan truyÒn xung ¸nh s¸ng trong m«i tr­êng vËt chÊt ®Ó truyÒn th«ng tin. §Æc biÖt tõ khi Lazer ra ®êi (1960) t¹o b­íc ngoÆt cho ngµnh Quang häc phi tuyÕn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn v­ît bËc. Th× mét c«ng nghÖ míi cã tÝnh c¸ch m¹ng “th«ng tin b»ng sãng ¸nh s¸ng” (th«ng tin quang) chÝnh thøc ra ®êi, gãp phÇn c¶i t¹o ®¸ng kÓ m¹ng l­íi th«ng tin trªn toµn thÕ giíi. NhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu lÝ thuyÕt vµ thùc nghiÖm theo h­íng kh¸m ph¸, ph¸t huy tÝnh ­u viÖt trong th«ng tin quang häc ®· ®­îc tiÕn hµnh. Trªn con ®­êng ®ã, thuËt ng÷ soliton ®· xuÊt hiÖn vµo kho¶ng n¨m 1965 khi m« t¶ tÝnh chÊt h¹t cña xung trong m«i tr­êng phi tuyÕn. Sau ®ã, Soliton ®· trë thµnh ®Ò tµi nghiªn cøu trong vµi thËp niªn cña c¸c nhµ khoa häc vµ ®ang ®­îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y. Tõ kÕt qu¶ ®ã chóng ta hiÓu r»ng: Soliton quang häc ®­îc h×nh thµnh khi xung quang häc cã c«ng suÊt lín lan truyÒn trong m«i tr­êng phi tuyÕn mµ qu¸ tr×nh co xung do hiÖu øng Kerr c©n b»ng víi qu¸ tr×nh gi·n xung do t¸n s¾c. Soliton quang häc lµ c¸c xung quang häc cã kh¶ n¨ng gi÷ nguyªn d¹ng cña nã trong qu¸ tr×nh lan truyÒn. Vµ Soliton cßn rÊt nhiÒu øng dông tiÒm tµng trong truyÒn th«ng cù ly dµi víi tèc ®é cao. Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh lan truyÒn víi nh÷ng ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh Soliton vÉn chÞu ¶nh h­ëng ®¸ng kÓ cña c¸c hiÖu øng phi tuyÕn. Trªn c¬ së nh÷ng ®Ò tµi ®· t×m hiÓu vÒ ¶nh h­ëng cña mét sè hiÖu øng phi tuyÕn lªn qu¸ tr×nh lan truyÒn xung trong sîi quang. Víi môc tiªu ph¸t triÓn vµ t×m hiÓu s©u h¬n ¶nh h­ëng cña c¸c hiÖu øng bËc cao khi m« t¶ sù lan truyÒn cña xung femto gi©y trong sîi quang phi tuyÕn. Chóng t«i lùa chän ®Ò tµi “Kh¶o s¸t ¶nh h­ëng cña c¸c hiÖu øng bËc cao lªn Soliton lan truyÒn trong sîi quang”. II. Môc ®Ých nghiªn cøu. Nghiªn cøu sù lan truyÒn cña xung cùc ng¾n trong m«i tr­êng t¸n s¾c phi tuyÕn khi xÐt ®Õn ¶nh h­ëng cña c¸c hiÖu øng bËc cao GVD, SPM, FOD, SS, SFS Sö dông ph­¬ng ph¸p më réng khai triÓn hµm Jac«bi elip chØ ra sù tån t¹i nghiÖm Soliton ( Soliton tèi, Soliton s¸ng ) khi xÐt ®Õn ¶nh h­ëng ®ång thêi cña c¸c hiÖu øng bËc cao. III. Bè côc luËn v¨n. Néi dung luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy gåm: phÇn më ®Çu, hai ch­¬ng néi dung, phÇn kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o. Ch­¬ng I.Ph­¬ng tr×nh Schrodinger trong m«i tr­êng phi tuyÕn. Soliton 1.1 TÝnh ph©n cùc cña m«i tr­êng phi tuyÕn. 1.2 HiÖu øng phi tuyÕn 1.2.1 HiÖu øng t¸n s¾c. 1.2.2 HiÖu øng tù biÕn ®iÖu pha 1.2.3 HiÖu øng t¸n s¾c vËn tèc nhãm 1.2.4 HiÖu øng tù dùng xung 1.2.5 HiÖu øng tù dÞch chuyÓn tÇn sè 1.3 Ph­¬ng tr×nh sãng trong m«i tr­êng phi tuyÕn. 1.3.1 Ph­¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn 1.3.2 Ph­¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn bËc cao 1. 4 Solit«n 1.4.1 C¬ së cña Solit«n kh«ng gian vµ Solit«n thêi gian. 1.4.2 Soliton c¬ b¶n. Soliton bËc cao. Ch­¬ng II. Lan truyÒn Soliton quang häc trong sù cã mÆt cña c¸c hiÖu øng bËc cao 2.1 Gi¶i ph­¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn bËc cao b»ng ph­¬ng ph¸p më réng khai triÓn hµm Jacobi elip. 2.1.1 S¬ l­îc vÒ ph­¬ng ph¸p khai triÓn hµm Jacobi elip. 2.1.2 Nh÷ng nghiÖm Soliton cho ph­¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn bËc cao 2.2 ¶nh h­ëng cña c¸c hiÖu øng phi tuyÕn bËc cao lªn Soliton lan truyÒn trong sîi quang 2.2.1 ¶nh h­ëng cña hiÖu øng t¸n s¾c bËc bèn 2.2.2 ¶nh h­ëng ®ång thêi cña c¸c hiÖu øng bËc cao lªn Soliton. PhÇn kÕt luËn.

1 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Vũ Ngọc Sáu - người định hướng đề tài, dẫn tận tình chu đáo giành nhiều cơng sức giúp đỡ tác giả q trình hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo: PGS.TS Hồ Quang Quý, TS Chu Văn Lanh dành thời gian đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý tồn thể thầy giáo tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập nghiên cứu sở đào tạo Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đặc biệt học viên Cao học khóa 16 chuyên ngành Quang học động viên giúp đỡ suốt thời gian qua Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả MỤC LỤC Mở đầu Chương TỔNG QUAN VỀ XUNG NGẮN VÀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN 1.1 Mơi trường phi tuyến 1.2 Hình dạng cường độ xung ngắn 10 1.3 Tổng quát phương trình lan truyền xung mơi trường phi tuyến 14 1.3.1 Phương trình lan truyền xung ngắn 18 1.3.2 Phương trình lan truyền xung cực ngắn 21 1.4 Một số hiệu ứng bậc cao lan truyền xung cực ngắn 24 1.4.1 Hiệu ứng tán sắc bậc ba 24 1.4.2 Hiệu ứng tự dựng xung 27 1.4.3 Hiệu ứng tự dịch chuyển tần số 30 1.4.4 Hiệu ứng tán sắc bậc bốn 33 1.5 Soliton quang học 36 1.5.1 Cơ sở soliton không gian, soliton thời gian 37 1.5.2 Phương trình lan truyền soliton thời gian soliton khơng gian 39 Chương NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 2.1 Ảnh hưởng đồng thời tự dựng xung tán sắc bậc ba lên soliton quang học 45 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời số hiệu ứng bậc cao lên lan truyền soliton sợi quang 52 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn công nghệ truyền thơng ngày địi hỏi xung lan truyền phải có tính ổn định cao, thay đổi cường độ hình dạng lan truyền, đặc biệt khơng bị méo tín hiệu tổn hao đường truyền thấp Tính chất tạo cách sử dụng soliton quang học để truyền thông tin Soliton quang học từ đời thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học nhiều cơng trình nghiên cứu, lý thuyết thực nghiệm qua nhiều thập kỷ, ứng dụng mạnh mẽ tiềm tàng truyền thông đường dài với tốc độ cao thiết bị chuyển mạch cực nhanh Vì nghiên cứu tồn dạng xung soliton trở thành vấn đề trọng tâm đề tài nghiên cứu trình lan truyền xung ánh sáng mơi trường phi tuyến nói chung sợi quang nói riêng Ta biết rằng, soliton hình thành xung quang học có công suất lớn lan truyền môi trường phi tuyến mà trình co xung hiệu ứng phi tuyến cân với trình dãn xung tán sắc Đối với xung ngắn ( có độ rộng phổ cỡ ps lớn hơn) tuân theo gần xác phương trình hàm bao biến thiên chậm môi trường Kerr khai triển bậc thấp, gọi phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS-Nonlinear Schrodinger) Do đặc thù xung ngắn, cường độ lớn khả tác động với môi trường ngược lại mạnh Nên xung cực ngắn ( có độ rộng phổ cỡ fs) phải mơ tả phương trình với khai triển bậc cao, gọi phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng (GNLS- General Nonlinear Schrodinger) Trong phạm vi đề tài này, phương trình GNLS chúng tơi đưa vào tính tốn số hiệu ứng phi tuyến tán sắc bậc cao: tán sắc bậc ba( Third- Order Dispersion – TOD), tán sắc bậc bốn ( Fourth Order Dispersion- FOD), tự dựng xung ( Self Steppening-SS), tự dịch chuyển tần số (Seft Frequency shifting – SFS), phi tuyến bậc nên gọi phương trình phi tuyến bậc cao( HNLS-Higher Order Nonlinear Schrodinger) Mỗi hiệu ứng có ảnh hưởng đặc trưng lên xung lan truyền Nhưng xung lan truyền không chịu tác động riêng hiệu ứng mà chịu ảnh hưởng đồng thời nhiều hiệu ứng Nếu tác động chúng bù trừ lẫn điều kiện cụ thể cho ta dạng xung soliton mong muốn Với mục đích phát triển tìm hiểu sâu ảnh hưởng hiệu ứng bậc cao lên trình lan truyền xung Từ tồn soliton ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng bậc cao việc sử dụng ansatz biên độ đề xuất tác giả Li trước [6] Nội dung luận văn trình bày với bố cục gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương TỔNG QUAN VỀ XUNG NGẮN VÀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO TRONG MƠI TRƯỜNG PHI TUYẾN Chương này, trình bày cách khái qt mơi trường phi tuyến, tính chất đặc trưng xung ngắn, dẫn phương trình sóng phi tuyến Từ phương trình áp dụng cụ thể để có phương trình lan truyền xung ngắn ( có độ rộng phổ cỡ ps lớn hơn) phương trình lan truyền xung cực ngắn ( độ rộng phổ cỡ fs) Tiếp theo, chúng tơi trình bày ảnh hưởng hiệu ứng bậc cao lên xung hiệu ứng tán sắc bậc ba, bậc bốn, hiệu ứng tự dựng xung , hiệu ứng dịch chuyển tần số trường hợp giả thiết thơ thiển bỏ qua hiệu ứng khác Và cuối lý thuyết tổng quát soliton: sở xuất hiện, soliton soliton bậc cao, phương trình lan truyền soliton khơng gian soliton thời gian Chương NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Trước hết, chúng tơi trình bày trường hợp đặc biệt có cân TOD SS cho ta dạng soliton sáng tối điều kiện cụ thể Nhận xét khác biệt so với trường hợp thu soliton có cân hiệu ứng GVD hiệu ứng SPM Sau sử dụng ansatz biên độ tìm lời giải chi tiết phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao( HNLS) để tìm nghiệm soliton nhận xét số trường hợp riêng Chương 1: TỔNG QUAN VỀ XUNG NGẮN VÀ MỘT SỐ HIỆU ỨNG XUẤT HIỆN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN 1.1 Môi trường phi tuyến Trong thập niên đầu kỷ 20 khoa học cho mơi trường quang học có tính chất tuyến tính Điều thể qua khẳng định: đặc trưng quang học chiết suất, hệ số hấp thụ không phụ thuộc cường độ ánh sáng; tần số ánh sáng thay đổi truyền qua môi trường quang học; phôtôn ánh sáng tác động lẫn nhau, ánh sáng khống chế ánh sáng nguyên lý chồng chất xem nguyên lý quang học cổ điển Sự đời Laser năm 1960 tạo bước đột phá lớn khoa học nói chung quang học nói riêng, khơng tạo khả nghiên cứu mà cịn kiểm chứng q trình lan truyền ánh sáng có cường độ lớn mơi trường Nhiều thí nghiệm cho thấy rằng: Một mơi trường ánh sáng có cường độ mạnh truyền qua chiết suất tốc độ ánh sáng thay đổi theo độ lớn cường độ ánh sáng, tần số thay đổi từ đỏ đến da trời, phôtôn ánh sáng tác dụng lẫn nguyên lý chồng chất bị phá vỡ Như có mặt ánh sáng cường độ mạnh môi trường làm thay đổi tính chất mơi trường, ánh sáng khác ánh sáng Mơi trường gọi môi trường phi tuyến Những đặc trưng phi tuyến môi trường đáp ứng lại trường ánh sáng mạnh chiếu vào, gây nên phân cực môi trường cuối tái phát xạ xạ quang Thành phần phân cực nguồn phát xạ trường điện từ Hệ tương tác qua lại ánh sáng môi trường đặc trưng   quan hệ chặt chẽ véctơ phân cực P(r , t ) véctơ điện trường E (r , t )  Với mơi trường hệ thức tốn học mơ tả quan hệ hàm véctơ P(r , t )  E (r , t ) đặc trưng cho môi trường   P ( r , t ) = ε χE ( r , t ) (1.1) Trong ε số điện mơi (permittivity constant) chân không, χ độ cảm điện (susceptibility) mơi trường Khi mơi trường phi truyến phương trình (1.1) phi tuyến Quan hệ tuyến tính phi tuyến   P(r , t ) E (r , t ) minh họa hình đây: a b Hình 1.1 Quan hệ P-E mơi trường tuyến tính (a) mơi trường phi tuyến (b) Tính phi tuyến mơi trường xuất phát từ nguyên vi mô vĩ mô Khi quan tâm đến độ lớn mật độ phân cực P = Nµ với µ mơmen phân cực riêng gây điện trường ngồi có độ lớn biên độ E, N mật độ mô men lưỡng cực riêng Qua thấy đặc trưng phi tuyến mơi trường µ N định Quan hệ µ E tuyến tính điện trường E nhỏ Nếu E đạt giá trị 10 đến 108 V/m tương đương với điện trường tương tác nguyên tử quan hệ µ E phi tuyến Mặt khác đáp ứng môi trường với ánh sáng phụ thuộc mật độ N vào trường quang Khi trường quang học tác dụng vào môi trường yếu nhiều so với trường tinh thể trường nguyên tử hiệu ứng phi tuyến yếu, bỏ qua Quan hệ P E gần tuyến tính Ngược lại trường quang học tác dụng vào môi trường có cường độ mạnh, hiệu ứng phi tuyến trở nên đáng kể mật độ phân cực P hàm phi tuyến E Môi trường lúc phi tuyến Với trường quang học công suất lớn lan truyền mơi trường điện  mơi véctơ phân cực P(r , t ) phi tuyến liên hệ với véctơ cường độ điện  trường E (r , t ) hệ thức [ ]     P (t ) = ε χ (1) E (t ) + χ ( ) E ( 2) (t ) + χ ( 3) E ( 3) (t ) +    = P (1) (t ) + P ( ) (t ) + P ( 3) (t ) + (1.2) Trong đó: χ (i ) độ cảm điện môi bậc i χ (1) độ cảm điện tuyến tính gắn với trường yếu biểu diễn phụ ε thuộc chiết suất vào tần số trường quang học hệ thức n (ω ) = ε = + χ χ ( ) độ cảm phi tuyến bậc mơ tả q trình mơi trường phi tuyến bậc hai ( hiệu ứng phi tuyến bậc hai) phát hòa âm bậc hai, phát tần số tổng, phát tần số trừ, máy phát thông số… χ (3) độ cảm phi tuyến bậc ba, thành phần phi tuyến lớn  thường tính đến véctơ phân cực P , thành phần bậc cao bỏ qua q bé χ (3) mơ tả q trình phi tuyến bậc ba phát hòa âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng, hiệu ứng tự hội tụ, hiệu ứng tự biến điệu pha, hiệu ứng liên hợp pha… 10    Tương tự P (1) (t ) , P ( 2) (t ) , P (3) (t ) tương ứng véctơ phân cực bậc nhất, bậc hai, bậc ba môi trường phi tuyến Trong đề tài, xét lan truyền xung sợi quang phi tuyến môi trường tối ưu thơng tin quang Sợi quang thường có dạng hình trụ làm vật liệu suốt gồm lớp lõi chiết suất n phần vỏ chiết suất n2 ( n1 > n2) Trong viễn thông người ta thường dùng sợi quang có chiết suất biến thiên GI (Graded Index) chiết suất có giá trị cực đại tâm lõi giảm dần đến mặt phân cách lõi-vỏ Truyền thông sợi quang hạn chế tối đa việc mát lượng sóng, hạn chế nhiễm mơi trường đồng thời nâng cao chất lượng truyền thông bị nhiễu mơi trường ngồi 1.2 Hình dạng cường độ xung ngắn Các xạ dạng xung ngắn ( Laser xung ngắn) thường có tốc độ xung lặp lại, thay đổi cố định Hiện tốc độ phát xung thay đổi xung từ đến hàng trăm MHz Độ dài xung thay đổi từ vài mili giây (10 -3 s) đến vài fem-tô giây (10-15 s) Cho phép thu công suất đỉnh đáng kể khoảng GW đến TW ( hay 109W đến 1012W) Các xung có bước sóng ngắn, lượng xung lớn ảnh hưởng vai trị xung q trình vật lý rõ rệt Như năm từ 1960 đến 1970 việc tạo xung “ micro giây” đến “nanô giây” giúp nhà khoa học quan sát trạng thái triplet trạng thái singlet phân tử hữu Từ năm 1970 người ta phát xung “picô giây” tạo bước ngoặt để tìm hiểu trình nội phân tử truyền điện tử, điện tích hay prôtôn Cuối năm 1980 giới hạn “pi cô giây” bị phá vỡ với xuất xung “ fem –tô giây” đạt kỷ lục 4,5fs vào năm 1997 Sự đời xung 49 [( ] ) ( ) cω 3α − cω 2α + − ca1 − 2aa1c1 − 3a c α + 6cΩ 2α ω − c 2Ω 2α + k + ( 2aa c ) (2.23) + ca1 + 3a c α = 2 ( ) aω 3α − ( aα + 3c1Ωα )ω + c1 2ωΩα − 2Ω 3α − K − ka + (a +a ( )( aα (2.24) − aωα + 2c1Ωα ) = ) aω 3α + ( 3cΩα − a1α ) − c 2ωΩα − 2Ω 3α − K − ka1 + (a ) (2.25) + a1 ( − 2cΩα − a ωα + a1α ) = Từ hệ phương trình (2.19) đến (2.25) ta tìm tham số sau: a1 = a.c c1 K= (2.26) Ω c1 α [− 2α α (c ) + 3a Ω + 3ac1α ( α − ωα ) Ω + c1ωα ( 2α − 3ωα ) {[ ]  −1 2 k = 2( α − 3ωα ) c1 α + 3a ( α − ωα )α Ω + c1 ω 2α ( α − ωα ) ⋅   c1 α ω= } ( − 3α 2α + 2α 1α ) 3α 3α ( c = − c1 α + 3Ω 2α     ] (2.27) (2.28) (2.29) ) α1 (2.30) a, c1 , Ω ba số tùy ý Cuối ta có nghiệm tương ứng soliton tối với dạng: { A( z , t ) = a − iacc1 −1 } + ( c + ic1 ) tanh[ K ( z − z1 ) + Ωt ] e i [ k ( z −z0 ) −ωt ] (2.31) Với tham số xác định (2.26) ÷ (2.30) −1 − 2 Suy A = −3Ω 2α 3α c1 {c [ K ( z − z1 ) + Ωt ] + a } (2.32) Qua ta thấy soliton tối tồn α 3α < Đồng thời từ phương trình (2.32) ta có: Với a=0 A( z , t ) = ( c + ic1 ) tanh[ K ( z − z1 ) + Ωt ].e i [ k ( z − z0 ) −ωt ] c, k , K , ω xác định với a=0, gọi Black soliton Với a ≠ ta có dạng soliton xám ( Gray soliton) 50 Hình 2.2: Soliton tối (2.31) với α = −0.5, α = 0.5, α = −0.02, α = 0.03, Ω = 2, z1 = 0, a = 0, c1 = Mặt khác từ biểu thức nghiệm soliton sáng (2.17) soliotn tối (2.31) ta dễ dàng thấy rằng: hiệu ứng TOD bỏ qua ( α → 0) soliton ( ) sáng tối biến A → , hiệu ứng SS khơng tính đến (α → 0) soliton sáng tối bị phá hủy (A ) → ∞ Khi có cân TOD SS với α , α nhận giá trị hữu hạn ta thu xung dạng soliton sáng α 3α > xung dạng soliton tối α 3α < Như khơng có cân hiệu ứng GVD SPM cho ta xung lan truyền dạng soliton [11] Mà tác dụng hiệu ứng TOD cân với SS ta thu xung có hình dạng khơng đổi q trình lan truyền Điều đặc biệt soliton ứng với TOD SS tồn sợi quang tán sắc thường sợi quang tán sắc dị thường 51 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao lên lan truyền Soliton sợi quang Trên sở kết đề tài nghiên cứu lan truyền xung ảnh hưởng hiệu ứng lên hình thành lan truyền soliton sợi quang Trong phần này, tiếp tục nghiên cứu điều kiện tồn soliton sáng, tối xét ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng bậc cao: TOD, FOD, SS, SFS, có mặt hiệu ứng phi tuyến bậc năm Sự lan truyền xung cực ngắn sợi quang chi phối phương trình Schrodinger phi tuyến bậc cao (HNLS) có dạng cải biến [4] i ( ) ∂A  β ∂ A ∂ ∂  β2 ∂2 A β4 ∂4 A 2 = i + α A A + α A A  + + − γ1 A A − γ A A ∂Z ∂t ∂t 24 ∂t  ∂t  ∂t (2.32) Ở α , α , β , β , β , γ , γ tham số tương ứng với hiệu ứng tự dựng xung (SS), tự dịch chuyển tần số (SFS), tán sắc vận tốc nhóm (GVD), tán sắc bậc ba (TOD), tán sắc bậc bốn (FOD), phi tuyến bậc ba ( ( tự biến điệu pha- SPM)và phi tuyến bậc A A ) Để tìm nghiệm phương trình dùng phương pháp khai triển hàm elip Jacobi Tuy nhiên [6] tác giả FOD đưa vào tính tốn nghiệm sóng chạy khơng tồn dạng hàm elip Vì sử dụng ansatz biên độ phức đưa Li báo :New types of solitary wave solutions for the higher order nonlinear Schrodinger equation, 2000 Giả thiết nghiệm phương trình (2.32) có dạng A( z, t ) = P ( z, t ).e iφ (2.33) 52 P ( z, t ) phần biên độ xung; φ thành phần pha xung giả thiết φ = kz − ωt + θ với k tần số xung (soliton), ω tần số sóng, θ số pha Ta có: i ∂A  ∂P  = i − kP e iφ ∂z  ∂t  (2.34)1 β2 ∂2 A  β2 ∂2P ∂P β 2ω P  iφ  e = − i ωβ − 2 ∂t  ∂t ∂t  (2.34)2 β ∂ A  β ∂ P iωβ ∂ P β 3ω ∂P iβ 3ω  iφ = − − + P e ∂t  ∂t ∂t 2 ∂t  (2.34)3 β ∂ A  β ∂ P iωβ ∂ P β 4ω ∂ P iω β ∂P ω β  iφ = − − + − P e 24 ∂t  24 ∂t ∂t ∂t ∂t 24  (2.34)4 A = A A ∗ = P.e iφ P ∗ e − iφ = P.P ∗ = P 2 γ A A = γ P P.e iφ 4 γ A A = γ P P.e iφ ( (2.34)6 (2.34)7 ) (2.34)8 ( ) (2.34)9 ∗ ∂ 2 ∂P 2 ∂P α1 A A = 2α P + α1P − iωα P P ∂t ∂t ∂t α2 A (2.34)5 ∂ ∂P ∗ 2 ∂P A = α2 P + α2P2 ∂t ∂t ∂t Thay phương trình (2.34) vào (2.33), loại bỏ số hạng mũ ta có phương trình: β β  ∂P  β β β4  ∂2P ∂P  i + i β ω + ω − ω  + − − ω+ ω  + ( γ − α 1ω ) P P ∂z   ∂t   ∂t ∗ β β β ∂P  ∂P  − i ( 2α + α ) P − i(α + α ) P −  k − ω − ω + ω P (2.35 ∂t ∂t  24  β  ∂3P β ∂4P β − i − ω  − 4 + γ P P =  ∂t 24 ∂t  53 Đặt β3 β4 ω − ω (2.36)1 β2 β3 β − ω + ω2 2 (2.36)2 a1 = β 2ω + a2 = − a3 = γ − α 1ω (2.36)3 a = 2α + α (2.36)4 a5 = α + α (2.36)5 a6 = k − β2 β3 β4 ω − ω + ω 24 (2.36)6 a7 = β3 β4 − ω 6 (2.36)7 a8 = β4 24 (2.36)8 Ta viết lại phương trình (2.35) dạng i ∂P ∂P ∂2P ∂P ∗ ∂3P 2 ∂P + ia1 + a 2 + a3 P P − ia P − ia P − a P − ia ∂z ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂ P − a8 + γ P P = ∂t (2.37) Ở sử dụng ansatz biên độ phức đề xuất Li [6] dạng P ( z, t ) = iβ + λ tanh[η ( t − χz ) ] + iρ sec h[η ( t − χz ) ] (2.38) η χ tương ứng độ rộng xung nghịch đảo vận tốc nhóm Các tham số β , λ , ρ cho phép ansatz (2.38) miêu tả đặc tính soliton sáng tối Trong đó, tham số η , χ , k, ω có giá trị thực cịn β , λ , ρ số thực số phức Từ (2.38) ta có độ lớn biên độ là: { ( ) } P ( z , t ) = λ2 + β + 2βρ sec h[η ( t − χz ) ] + ρ − λ2 sec h [η ( t − χz ) ] Và tương ứng với độ dịch chuyển pha phi tuyến là: 1/ (2.39) 54  β + ρ sec h[η ( t − χz ) ]   φ ( z, t ) = arctan  λ tanh[η ( t − χz ) ]  (2.40) Thay (2.38) vào (2.37) sử dụng (2.39), đồng thời cân hệ số tương ứng hàm sech hàm tới Ta thu hệ phương trình tham số độc lập sau: [ ρη [6a η ] + a ) ( ρ − λ ) ] + βγ λη 6a7η − ( a4 + a5 ) ( ρ − λ2 ) + βγ ( 5ρ − λ2 )( ρ − λ2 ) = (2.41) λρ ( ρ − λ2 ) = (2.42) − 2a 2η + a3 ( ρ − λ2 ) − 2a βλη + 20a8η  ρ =0 + γ (10 ρ β + ρ λ2 − 6λ2 β − 2λ4 )   (2.43) − ( a4 [ 2 ] (6ρ [ λ − 2a 2η + a3 ( ρ − λ2 ) − βη a ρ + a5 ( ρ − λ2 ) [ + λ 8a8η + γ [ ] (2.44) ] β + ρ λ2 − 2λ2 β − 2λ4 ) = ] λ − ηχ + a1η − 4a 7η − a 4η ( λ2 + β ) − a5η ( λ2 − β − ρ ) + a3 β ( 3ρ − λ2 ) [ ] (2.45) + βγ 10 ρ β + ρ λ2 − 2λ2 β − 2λ4 = [ ] ρ ηχ − a1η + a 7η − 2a3 λβ + ( a − a5 )ηλ2 + ( a + a5 )ηβ − 4γ βλ ( λ2 + β ) = [ λ [a ( λ + β ) − a + γ ( λ + β ) ] = β [a ( λ + β ) − a + γ ( λ + β ) ] = ρ [− 24a η + γ ( ρ − λ ) ] = λ [− 24a η + γ ( ρ − λ ) ] = (2.46) ] ρ a 2η + a3 ( λ2 + 3β ) + 2a5 βλη − a − a8η + 4γ β ( λ2 + β ) + γ ( λ2 + β ) = (2.47) 2 6 2 2 (2.48) 2 (2.49) 2 (2.50) 2 (2.51) 2 Để đơn giản chứng xét trường hợp sau Trường hợp 1: β = λ = lời giải tương ứng cho ta nghiệm soliton sáng có dạng A( z , t ) = iρ sec h[η ( t − χz ) ]e1( kz −ωt +θ ) (2.52) Với giả thiết từ hệ phương trình (2.41) ÷ (2.51) thay β = λ = ta hệ phương trình sau: 55 6a 7η − (a + a5 ) ρ = (2.53)1 − 2a 2η + a3 ρ + 20a8η = (2.53)2 χ − a1 + a 7η = (2.53)3 a 2η − a − a8η = (2.53)4 − 24a8η + γ ρ = (2.53)5 Kết hợp với hệ phương trình (2.36) ta viết lại phương trình (2.53) là: ( β − β 4ω )η − ( 3α + 2α ) ρ = (2.54)1 β 2   β + β 3ω − ω η + ( γ − α 1ω ) ρ + β 4η =   (2.54)2 χ − β 2ω − β3 β4  β3 β4  ω + ω +  − ω η = 6   (2.54)3 β β β β β  β2 β3  − ω + ω η − k + ω + ω − ω − η = − 24 24   (2.54)4 − β 4η + γ ρ = (2.54)5 Giải hệ phương trình (2.54) ta tìm tham số: ω= β3 ( 3α + 2α ) − β4 γ 2β4 (2.55) ( β − β 4ω )   − 6( β + β 3ω ) η2 =  + 3ω + 6( − γ + α 1ω ) 5 β4 β ( 3α + 2α )  ρ2 = (2.56) β − β 4ω ⋅η 3α + 2α  β − β 4ω  − 6( β + β 3ω ) =  + 3ω  + − γ + α 1ω ⋅  β4 β4  3α + 2α  ( χ = β 2ω + β3 β4 ω − ω − ( β − β 4ω )η 2 6 )  β − β 4ω   3α + 2α       (2.57) (2.58) 56 β β β β β β  β  k =  − − ω + ω η + ω + ω − ω − η 4 24 24   (2.59) Và ta có biên độ xung đó: P ( z , t ) = ρ sec h [η ( t − χz ) ] (2.60) Từ (2.55) ta thấy nghiệm soliton tồn γ β > từ (2.60) ta thấy tham số xác định nhờ (2.55) ÷ (2.59) tương ứng với soliton sáng (ρ >0 ) 57 Hình 2.3: Soliton sáng (2.52) với α = 0.05, α = 0.03, γ = 0.1, γ = 0.01, β = 0.5, β = 0.2, β = 0.02 Trường hợp 2: Xét ρ = , ta viết lại hệ phương trình (2.41) ÷ (2.51) với ρ = 6a 7η − ( a + a5 )ηλ2 + γ βλ = (2.61)1 − 2a 2η − a3 λ2 + 2a5 βηλ + 8a8η − 2γ β λ2 − 2γ λ4 = (2.61)2 ( ) ( ) − χη + a1η − 4a 7η − a 4η λ2 + β − a5η λ2 − β − a3 βλ − 2γ β λ − 2γ βλ = (2.61)3 ( ) ( a λ2 + β − a + γ λ2 + β ) =0 − 24a8η − γ λ4 = (2.61)4 (2.61)5 Thay từ hệ phương trình (2,36) vào phương trình (2.61) ta ( β − β 4ω )η − ( 3α + 2α )ηλ2 + γ βλ3 = (2.62)1 β 2 β  2  β + β 3ω − ω η − ( γ − α 1ω ) λ + 2( α + α ) βηλ + η − 2γ β λ − 2γ λ =   (2.62)2 58 β β   − χη +  β 2ω + ω − ω η − ( β − β 4ω )η − ( 2α + α )η λ2 + β − ( α + α )   η λ2 − β − ( γ − α 1ω ) βλ − 2γ β λ − 2γ βλ3 = ( ( ) ) (2.62)3 ( γ − α 1ω ) ( λ2 + β ) − k + β ω + β3 β4 ω − ω + γ ( λ2 + β ) = 24 (2.62)4 − β 4η − γ λ4 = (2.62)5 Giải hệ phương trình (2.62) ta nhận tham số 2/   ( 3α + 2α )  − β   γ2  β=  β γ  −  γ2    − ( β − β 4ω ) (2.63) 3/  β − β − β 3ω + ω + γ − α1ω + 2γ β 2  η2 = 1/ β   β4   − β (α1 + α )  −  γ    ( )  β4  −  γ2  β − β − β 3ω + ω + γ − α 1ω + 2γ β 1/  β   λ =  −  η =  1/ 7β   γ2   β4   − 2β ( α + α )  −   γ2   ( )    2/4  β4  −  γ2           2/4 (2.64)   1/   β4  . − γ      (2.65) (2.66) ( )( ) k = λ2 + β γ − α 1ω + γ λ2 + γ β + β2 β3 β4 ω + ω − ω 24 β3 β4 ω − ω − ( β − β 4ω )η − ( 2α + α ) ( λ2 + β ) − ( α + α ) βλ ( λ2 − β ) − ( γ − α 1ω + 2γ β + 2γ λ2 ) η (2.67) χ = β 2ω + Và biên độ xung có độ lớn thỏa mãn: (2.68) 59 P ( z , t ) = λ2 + β − λ2 sec h [η ( t − χz ) ] (2.69) Vậy nghiệm phương trình có dạng A( z, t ) = { iβ + λ tanh[η ( t − χz ) ]} ⋅ exp( kz − ωt + θ ) (2.70) Với tham số xác định (2.63) ÷ (2.68) biên độ xác định (2.69) soliton tối ( − λ2 < 0) Tuy nhiên từ phương trình (2.64), (2.65) ta thấy nghiệm soliton tồn γ β < Hình 2.4: Soliton tối (2.70) với α = 0.05, α = 0.03, γ = 0.1, γ = 0.01, β = 0.5, β = 0.2, β = −0.02, ω = Kết luận chương Trong chương - Xét ảnh hưởng đồng thời hai hiệu ứng TOD SS lên xung trình lan truyền, hai hiệu ứng cân ta thu 60 soliton sáng, soliton tối thỏa mãn điều kiện tương ứng Chỉ có cân hiệu ứng GVD SPM soliton sáng tồn môi trường tán sắc dị thường, soliton tối tồn mơi trường tán sắc thường ; cịn soliton sáng, tối tồn môi trường tán sắc thường dị thường - Dùng ansatz biên độ phức tìm lời giải soliton cho phương trình HNLS điều kiện tồn soliton trường hợp Diều cho thấy xung lan truyền chịu tác động đồng thời hiệu ứng bậc cao cho ta dạng xung xoliton KẾT LUẬN Trong phạm vi đề tài mình, chúng tơi trình bày sở lý thuyết vấn đề lan truyền xung môi trường tán sắc phi tuyến Sử dụng ansatz biên độ phức đưa tác giả Li trước đó, áp dụng để tìm 61 lời giải phương trình HNLS xét đến ảnh hưởng đồng thời của hiệu ứng tán sắc phi tuyến tác dụng lên xung, đặc biệt có mặt hiệu ứng tán sắc bậc phi tuyến bậc Chỉ rõ điều kiện tồn soliton trường hợp kết cho ta soliton sáng, trường hợp cho soliton tối Cuối đề tài thu kết sau: Chỉ tính chất điển hình mơi trường phi tuyến Sự khác biệt mơi trường phi tuyến với tính chất tuyến tính mơi trường quang học quan niệm trước Những kiến thức xung ngắn xung cực ngắn Những đặc điểm hình dạng, cường độ, tính chất riêng, thơng số đặc trưng xung ngắn Xuất phát từ phương trình sóng vật chất mơi trường dẫn phương trình lan truyền xung tổng quát trường hợp chiều Từ phương trình tiếp tục biến đổi đưa dạng phương trình lan truyền xung đơn giản hơn, áp dụng cụ thể với dạng xung ngắn gọi phương trình NLS áp dụng cho xung cực ngắn dạng phương trình GNLS Xem xét số hiệu ứng bậc cao điển hình tác dụng lên xung cực ngắn trình lan truyền TOD, FOD, SS, SFS, ảnh hưởng đặc trưng hiệ ứng lên xung Khảo sát đồng thời hiệu ứng TOD SS lên xung, kết tồn soliton mơi trường tán sắc thường môi trường tán sắc dị thường có cân hai hiệu ứng Đây khác biệt so với soliton hình thành GVD cân với SPM Đề tài sử dụng ansatz biên độ để tìm lời giải chi tiết phương trình HNLS xét ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao Kết thu nghiệm soliton Ở đề tài xét hai trường hợp đơn giản tương ứng thu soliton sáng tối Ngoài số 62 trường hợp có thêm điều kiện ràng buộc tham số thu nghiệm soliton TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Quang Quý, (2007), “quang học phi tuyến ứng dụng” NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 63 [2] Cao long Vân, Đinh Xuân Khoa,M Trippenbach, (2003) “Nhập môn quang học phi tuyến” tủ sách trường Đại học Vinh [3] Lớp chuyên đề Việt- Pháp, (2000) “Quang phổ ứng dụng”, Việt Nam [4] Vũ Ngọc Sáu, Cao Long Vân, Nguyễn Huy Bằng (2009) “optical Soliton in presence of higher-order effects” [5] LOU Sen-Yue, (2000) “Self-steepning and Third-order dispersion induced optical Solitons in fiber” [6] Li Z , Li Lu, Tian H, Zhou G, Phys Rev Lett, (2000) “New types of solitary wave solutions for the higher order nonlinear Schrodinger equation” [7] Houria Triki and Thiab R Taha, Algeria, USA, “Solitary wave solutions for the NLSE with Hinger-order effects” [8] Placios S L, Chaos, (2004), “Two simple ansatz for obtaining exact solutions of high dispersive nonlinear Schrodinger equations” [9] Anjan Biswas, Daniela Milovic, Essaid Zerrad, Fayequa Majid, “ Optical solitons in a Kerr Law media with Fouth order dispersion” [10] Nguyễn Việt Hưng “Lan truyền xung ánh sáng môi trường tán sắc phi tuyến” , luận văn cao học, Vinh 2005 [11] Thái thị Minh Nguyệt “ Nghiên cứu ảnh hưởng số hiệu ứng phi tuyến lên lời giải soliton lan truyền sợi quang”, luận văn cao học, Vinh 2009 ... gian soliton không gian 39 Chương NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG 2.1 Ảnh hưởng đồng thời tự dựng xung tán sắc bậc ba lên soliton. .. soliton soliton bậc cao, phương trình lan truyền soliton khơng gian soliton thời gian Chương NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Trước hết,... trình lan truyền Điều đặc biệt soliton ứng với TOD SS tồn sợi quang tán sắc thường sợi quang tán sắc dị thường 51 2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời hiệu ứng tán sắc phi tuyến bậc cao lên lan truyền