(Đề tài NCKH) bình phương steenrod và bài toán hit đối với đại số steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG BÌNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ÐỐI VỚI ÐẠI SỐ STEENROD Mã số: T2013-38TÐ Chủ nhiệm dề tài: ThS Nguyễn Khắc Tín SKC004293 Tp Hồ Chí Minh, tháng 02/2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM BÌNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ STEENROD Mã số: T2013-38TĐ Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Khắc Tín TP HCM, 02/2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM BÌNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ STEENROD Mã số: T2013-38TĐ Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Khc Tớn TP HCM, 02/2014 Phần mở đầu Ch-ơng số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số tenxơ 1.2 Đại số đối xứng 1.3 Đại sè ngoµi 1.4 Đại số Steenrod 1.5 Cấu trúc mô đun đại số đa thức đại số Steenrod 10 1.6 Nhãm tuyến tính tổng quát tr-ờng F2 11 Ch-¬ng Bài toán hit đại số Steenrod 2.1 Các hàm số học 12 2.2 Một số tính chất đơn thức chấp nhận đ-ợc 14 2.3 Toán tử bình ph-ơng Kameko 19 2.4 Các đơn thức chấp nhận đ-ợc bậc P5 23 2.5 ¦0ng dụng toán hit đồng cấu chuyển ®¹i sè 28 KÕt luận kiến nghị 31 Tài liệu tham khảo 32 Phần mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu n-ớc Một toán quan trọng Tôpô đại số xác định tập sinh cực tiểu Pk đ-ợc xét nh- môđun đại số Steenrod A Bài toán đ-ợc gọi toán hit đại số Steenrod Nếu xét F2 nh- Amôđun tầm th-ờng toán hit t-ơng đ-ơng với việc xác định sở không gian véc tơ F2APk F2 Bài toán đ-ợc nghiên cứu Peterson [8], Singer [10], Wood [20], ng-ời đà mối liên hệ toán hit với số toán cổ điển lý thuyết đồng biên đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, dÃy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu Trong Pk := F2[x1, x2, , xk] đại số đa thức tr-ờng nguyên tố F2 có hai phần tư víi k biÕn x1, x2, , xk, biến có bậc Đại số môđun đại số Steenrod A Tác động A Pk đợc xác định t-ờng minh công thức Sqi(xj ) = công thức Cartan Xn n i Sq (f g) = n−i Sq (f)Sq i=0 víi f, g ∈ Pk (xem Steenrod-Epstein [12]) (g), Trong [8], Peterson đà đ-a giả thuyết rằng, nh- môđun đại số Steenrod A, đại số đa thức Pk đ-ợc sinh đơn thức bậc n thoả mÃn (n + k) k, (n) số hệ số khai triển nhị phân n chứng minh điều với k Giả thuyết đà đ-ợc Wood [20] chứng minh cách tổng quát Đây công cụ toán xác định tập sinh cực tiểu A-môđun Pk Một công cụ quan trọng khác đ-ợc sử dụng để nghiên cứu toán hit toán tử bình ph-ơng Kameko f0 Sq : (F2⊗APk )n −→ (F2⊗APk) n−k , víi mäi n > k cho n k số chẵn Kameko [6] chøng minh r»ng nÕu µ(n) = k à(n) = min{m Z : (n + m) m} Từ kết kết Wood, toán hit đ-ợc quy việc tính toán bậc n thoả à(n) < k Tích tenxơ F2APk đà đ-ợc tính toán t-ờng minh Peterson [8] với k = Kameko [6] víi k = Tr-êng hỵp k = 4, toán phức tạp đ-ợc xác định Sum [16] [14] Kameko [7] Các nghiên cứu toán tr-ờng hợp tổng quát cã thĨ t×m thÊy Singer [11], Nam [5], Silverman [9], Sum [15] [13], Wood [20] nhiều công trình khác Một ứng dụng quan trọng toán hit sử dụng việc nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số Singer [10] định nghĩa đồng cÊu A trk : Tor k,n+k (F2, F2) −→ (F2⊗APk) GL k n , ®ã nhãm tun tÝnh tỉng quát GLk = GLk (F2) tác động F2APk theo cách thông th-ờng Singer [10] chứng tỏ trk đẳng cấu với k = 1, tr5 không đẳng cấu bậc Boardman [1] chứng minh tr3 đẳng cấu Gần đây, H-ng [4] chứng minh với k > 4, trk không đẳng cấu vô (F2, F2) số bậc Mặc dù không đẳng cấu, đồng cấu chuyển đại số trk công cụ quan trọng việc nghiên cứu đồng điều đại số Steenrod, TorAk,n+k Tính cấp thiết đề tài Bài toán hit đại số Steenrod toán quan trọng Tôpô đại số có nhiều ứng dụng lý thuyết đồng luân Đây toán mang tính thời đ-ợc nghiên cứu nhiều tác giả n-ớc Mục tiêu đề tài Trong viết này, trình bày tổng quan số kết toán hit đại số Steenrod A Chúng xác định t-ờng minh toán hit trờng hợp biến bậc ứng dụng kết để khảo sát tính đẳng cấu đồng cấu chuyển ®¹i sè tr5 : TorA5,13(F2, F2) −→ (F2⊗APk)GL85 cđa Singer Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu: Đại số Steenrod đại số đa thức năm biến Nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố hai phần tử tác động đại số đa thức Phạm vi nghiên cứu: Bài toán hit đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer Cách tiếp cận ph-ơng pháp nghiên cứu Cách tiếp cận: Kế thừa kết tr-ớc toán hit đồng cấu chuyển đại số Ph-ơng pháp nghiên cứu: Sử dụng tiêu chuẩn Wood Singer để xác định hệ sinh cực tiểu đại số đa thức đ-ợc xét nh- mô đun đại số Steenrod Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài đ-ợc chia thành ch-ơng Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng nhắc lại số định nghĩa kết cần thiết đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử Ch-ơng Bài toán hit đại số Steenrod Trong ch-ơng nhắc lại số kết cần thiết toán hit, trình bày chi tiết số kết [6], [15], [4] hàm số học, tính chất đơn thức hit, đơn thức chấp nhận đ-ợc Pk Chúng xác định t-ờng minh sở chấp nhận đ-ợc P5 bậc ứng dụng kết cho việc khảo sát đồng cấu chuyển Singer Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng trình thực đề tài nh-ng không tránh khỏi sai lầm thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc góp ý quý thầy, cô giáo bạn đọc quan tâm Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2014 Tác giả Ch-ơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng này, trình bày tổng quan số kiến thức đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod tr-ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử 1.1 Đại số tenxơ K Ta = Định nghĩa 1.1.1 Giả r T (V ) = V ⊗ V ⊗ ⊗ V , víi quy -íc T (Vk đặt r ln {v1, v2, , vk} sở V tập hỵp {vi1 ⊗ ⊗ vir /1 i1, , ir k} lµ mét sở T r(V ) 25 Vì (u) = (4; 2) > (4; 0; 1) = ω (1; 1; 4; 1; 1) vµ u > (1; 2; 3; 1; 1) ; (1; 1; 3; 2; 1) ; (1; 1; 3; 1; 2) nên ta suy đ-ợc u đơn thức không chấp nhận đ-ợc Các đơn thức lại đ-ợc chứng minh t-ơng tự Bổ đề đ-ợc chứng minh Theo Sum[14], ta biết (F2AP4)8 không gian véc tơ 55 chiều với sở [B4(8)] gồm lớp đ-ợc biểu diễn đơn thức chấp nhận đ-ợc sau đây: xix j, i, j 4, x ix j, i < j 4, xixj x k, i < j, k 4, xix jx k, i < j < k 4, x ixj x k,1 i < k 4, j 4, xixj x kx l, i < k, l 4, j 4, xix jx kx l, i < j < k 4, xixj x kx l, i, j, k, l 4, i < j; k < l 4 2 3 Với i k, định nghĩa ®ång cÊu ®¹i sè fi : Pk−1 → Pk bëi fi(xj ) = xj , nÕu j < i, xj+1, nÕu i j < k Ký hiÖu Bk(n) tập hợp tất đơn thức chấp nhận đ-ợc bậc n Pk Nhận xét với n < k, ta cã (Pk )n = (Pk0)n Do [ fi(Bk1(n)) Bk (n) = 16i6k tập hợp tất đơn thức chấp nhận đ-ợc (Pk)n Từ nhận xét kết Sum[14], b»ng c¸ch tÝnh to¸n trùc tiÕp ta thÊy r»ng 16i65fi(B4(8)) 26 có 155 phần tử phân biệt đ-ợc Định lý 2.4.1 từ mục (1) đến mơc (9) Do ®ã ta cã MƯnh ®Ị 2.4.4 (F2⊗AP50)8 không gian véc tơ 155 chiều với sở gồm các lớp biểu diễn đơn thức chấp nhận đ-ợc tập hợp 16i65fi(B4(8)) Do đó, để chứng minh Định lý 2.4.1 ta chứng minh hai mệnh đề sau Mệnh đề 2.4.5 Không gian véc tơ F2AP5+ đ-ợc sinh lớp đ-ợc biểu diễn 19 đơn thức vi, i 19 đà Định lý 2.4.1 Chứng minh Trong (P5+)8 có 35 đơn thức, gồm tất hoán vị đơn thức (1,1,1,1,4), (1,1,1,3,2), (1,1,2,2,2) Có ®¬n thøc (P5+)8 víi ω− d·y t-¬ng øng (4,0,1) (1,1,1,1,4), (1,1,1,4,1), (1,1,4,1,1), (1,4,1,1,1), (4,1,1,1,1) Theo mệnh đề 2.2.12 ta suy đơn thức không chấp nhận đ-ợc Có 20 đơn thức (P5+)8 với dÃy t-ơng ứng (4,2) (1,1,1,3,2) tất hoán vị Theo Bổ đề 2.4.3 ta suy đơn thức sau không chấp nhận đ-ợc: (2,3,1,1,1), (2,1,3,1,1), (2,1,1,3,1), (2,1,1,1,3) Mặt khác, ta có (3, 2, 1, 1, 1) = Sq (3, 1, 1, 1, 1)+(4, 1, 1, 1, 1)+(3, 1, 2, 1, 1)+(3, 1, 1, 2, 1)+(3, 1, 1, 1, 2) Suy (3,2,1,1,1) không chấp nhận đ-ợc Có 10 đơn thức (P5+)8 với dÃy t-ơng ứng (2,3) (1,1,2,2,2) tất hoán vị Theo Bổ đề 2.4.3 ta suy đơn thức sau không chấp nhận đ-ợc: (2,1,1,2,2), (2,1,2,1,2), (2,1,2,2,1), (2,2,1,1,2), (2,2,1,2,1), (2,2,2,1,1) Mệnh đề đ-ợc chứng minh 27 Mệnh đề 2.4.6 Các lớp [vi], i 19, độc lập tun tÝnh (F2⊗AP5)8 Chøng minh Gi¶ sư cã tỉ hỵp tun tÝnh X γivi ≡ 0, i∈I víi γi ∈ F2, i ∈ I = {1, 2, , 19} Các đồng cấu : (F2AP5) (F2AP4) , i = 1; cảm sinh đồng cÊu i n n B»ng c¸ch tÝnh to¸n trùc tiÕp, ta thÊy r»ng ®ång cÊu ϕ1 chun hƯ thøc (4.1) thµnh ε1 (1; 2; 3; 2) + ε2 (1; 2; 2; 3) + (ε3 + ε8) (1; 3; 3; 1) + (ε5 + ε7 + ε10 + ε11 + ε19) (1; 2; 4; 1) + (ε6 + ε10 + ε12 + ε13 + ε14 + ε18) (1; 2; 1; 4) + (ε7 + ε10 + ε16 + ε17) (1; 3; 2; 2) + ε15 (3; 3; 1; 1) + (ε4 + ε9) (1; 3; 1; 3) + ε14 (1; 2; 2; 4) ≡ Do ®ã, ta cã ε =2=3= +7+10 +10+12 Một cách t-ơng tự, ta có đồng cấu 2, 3, 4, tác động lần l-ợt vào hệ thức +10+1 (4.1), ta thu đ-ợc ε11 ε5=ε6=ε11=ε12=ε18=ε19=0 Tõ ®ã suy γi = víi i 19 Mệnh đề đ-ợc chứng minh 2.5 Ư ng dụng toán hit đồng cấu chuyển đại số Extk,kA+n Trong phần này, nhắc số kết đồng cấu chuyển đại số đà đ-ợc định nghĩa Singer [10] khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ bậc Singer [10] định nghĩa đồng cấu chuyển đại số trk : Tor A k,k+n(F2, F2) (F2APk) GL k n , TorAk,k+n(F2, F2) đẳng cấu với nhóm đối đồng điều đại số Steenrod (F2, F2) mà hạng tử E2 dÃy phổ Adams mặt cầu Singer chứng minh [10] trk đẳng cấu với k = 1, bậc với k = 3, nh-ng tr5 không đẳng cấu bậc Về sau Boardman [1] chứng minh tr3 đẳng cấu 29 Với k > 4, đồng cấu đ-ợc quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Kết mệnh đề sau đ-ợc trình bày Bruner-Hà-H-ng [3] H-ng [4] Mệnh đề 2.5.1 ([3], [4]) Đồng cấu chuyển đại số trk không phép đẳng cấu với k > Hơn nữa, với k = với k > có vô hạn bậc mà trk không phép đẳng cấu Giả sử G nhóm nhóm tuyến tính tổng quát GLk Tác động G Pk đ-ợc xác định nh- sau Với f ∈ Pk , σ = (σij ) ∈ G, (σf)(x1, x2, , xk) = f(σx1, σx2, , σxk), Xk ®ã σxj = σij xi, j k i=1 Với tác động xác định nh- trên, đại số đa thức Pk G-môđun Đa thức f Pk gọi bất biến ®èi víi nhãm G nÕu σf = f, víi mäi σ ∈ G Ký hiƯu Pk G G lµ tËp hợp tất bất biến Pk nhóm G Khi Pk đại số đại số đa thức Pk Các tác động nhóm G A giao hoán với nên đại số Pk G A-môđun Ký hiệu V5 không gian véc tơ chiều P5 sinh bëi xi, i = 1, 2, 3, 4, Ta biết nhóm tuyến tính tổng quát GL5 đ-ợc sinh đồng cấu i : V5 V5 với i = 1, 2, 3, 4, 5, đ-ợc xác định x 1(x) 2(x) 3(x) 4(x) 5(x) Các đồng cấu 1, 2, 3, phần tử sinh nhóm đối xứng GL5 P Giả sử θ = 174 γiui lµ mét bÊt biÕn cđa (F2⊗AP5)8 ®èi víi t¸c ®éng cđa nhãm i=1 GL5 Khi ®ã, θ lµ mét GL5− bÊt biÕn vµ chØ σi(θ) = θ, víi i = 1, 2, 3, 4, Nh- sử dụng kết Định lý 2.4.1 tính toán trực tiếp ta thu đ-ợc kết sau Mệnh đề 2.5.2 (F2AP5)GL85 = Do đó, ta thu đ-ợc kết Hệ 2.5.3 Nếu TorA5,13(F2, F2) 6= 0thì đồng cấu chuyển đại số tr5 : Tor A không phép đẳng cấu 5,13(F2, F2) −→ (F2⊗AP5) GL 31 KÕt luËn vµ kiến nghị Trong đề tài này, đà trình bày vấn đề sau: Chứng minh chi tiết số kết hàm số học; đơn thức chấp nhận đ-ợc đơn thức hit đại số đa thức đ-ợc xét nh- môđun đại số Steenrod Xác định t-ờng minh tất đơn thức chấp nhận đ-ợc đại số đa thức biến bậc Đây đóng góp tác giả Khảo sát đồng cấu chuyển ®¹i sè thø cđa Singer t¹i bËc KÕt phần ủng hộ giả thuyết ông 32 Tài liệu tham khảo [1] J M Boardman (1993), “Modular representations on the homology of power of real projective space”, Algebraic topology: Oaxtepec 1991, M C Tangora (ed.) Contemp Math Amer Math Soc Providence RI, (146), 49-70 [2] R R Bruner, L M Hµ and N H V H-ng (2005), “On behavior of the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc (357), 473-487 [3] L M Hµ (2007), “Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 85105 [4] N H V H-ng (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and rep-resentations of the general linear groups ”, Trans Amer Math Soc (357), 4065-4089 [5] T N Nam (2004), “A-ge0ne0rateurs ge0ne0riquess pour l0algebre polynomiale”, Adv Math (186), 334-362 [6] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Stennrod modules, Ph D Thesis, Johns Hopkins University [7] M Kameko (2003), “Generators of the cohomology of BV4”, Preprint [8] F P Peterson (1987), “Generators of H∗(RP ∞ × RP ∞) as a module over the Steenrod algebra”, Abstracts Amer Math Soc No (833) [9] J H Silverman (1995), “Hit polynomials and the canonical antimonomor-phism of the Steenrod algebra”, Proc Amer Math Soc (123), 627-637 33 [10] W M Singer (1989), “The transfer in homological algebra”, Math Zeit (202), 493-523 [11] W M Singer (1991), “On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras”, Proc Amer Math Soc (111), 577-583 [12] N E Steenrod and D B A Epstein (1962), Cohomology operations, Ann of Math No (50), Princeton University Press [13] N Sum (2010), “The negative answer to Kameko0s conjecture on the hit problem”, C R Math Acad Sci Pari, Ser I, 348, 669-672 [14] N Sum (2013), “On the Peterson hit problem, 59pages (submitted).”, (Preprint, Advances in Mathematics) [15] N Sum (2010), “The negative answer to Kameko0s conjecture on the hit problem”, Advances in Mathematics, 225:5, 2365-2390, MR2680169 [16] N Sum (2013), “On the hit problem for the polynomial algebra”, C R Math Acad Sci Pari, Ser I,351, 565-568 [17] Ngun Kh¾c TÝn (2012),“The admissible monomial basis for the polynomial algebra of five variables in degree eleven ”, Journal of Science, QNU No 2, IV, 81-89 [18] Nguyen Khac Tin (2014), “The admissible monomial basis for the polyno-mial algebra of five variables in degree eight ”, Journal of Math Sci Appl Vol 2, No [19] G Walker and R M W Wood (2007), “Young tableaux and the Steenrod algebra”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 379-397 34 [20] R M W Wood (1989), “Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture”, Math Proc Cambriges Phil Soc (105), 307-309 ... đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát tr-ờng nguyên tố có hai phần tử Ch-ơng Bài. .. trình bày tổng quan số kiến thức đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, đại số đa thức, đại số Steenrod tr-ờng nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số đa thức đại số Steenrod, nhóm tuyến... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM BÌNH PHƯƠNG STEENROD VÀ BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ STEENROD Mã số: T2013-38TĐ