CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ LUYỆN HSG

CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ LUYỆN HSG Bài Dao động liên kết Hai nặng M N, coi hai chất điểm, có khối lượng tương ứng m1 m2 Chúng nối với lị xo có độ cứng k2, nối với hai điểm cố định P, Q hai lò xo có P k1 m1 M k2 m2 k1 Q N độ cứng k1 hình vẽ Các nặng trượt khơng ma sát trục nằm ngang Ta gọi x y độ dời khỏi vị trí cân nặng M N 1) Giả sử nặng lệch khỏi vị trí cân chúng a) Hãy viết phương trình động lực học mơ tả chuyển động nặng b) Xác định tần số đặc trưng hệ c) Tìm biểu thức x(t) y(t) cho độ dời nặng theo thời gian 2) Giả sử m1 = m2 = m Cho ngoại lực điều hoà F = F0cost hướng theo trục, tác dụng lên N Giả thiết có lực ma sát nhỏ tác dụng lên nặng, cho sau giai đoạn chuyển tiếp kể từ lực điều hoà bắt đầu tác dụng, hệ dao động ổn định với tần số ngoại lực a) Tính biên độ dao động nặng theo tần số  ngoại lực tần số đặc trưng hệ b) Phác hoạ dạng biến thiên biên độ dao động nặng N theo tần số  ngoại lực Bài Liên kết vật Hai vật A, B có khối lượng m B A nối với lò xo khối lượng khơng F đáng kể, có độ cứng k Hệ số ma sát trượt vật mặt sàn  Lực ma sát nghỉ cực đại tác dụng lên vật có cường độ 3mg/2 Lò xo trạng thái tự nhiên Lúc đầu người ta kéo A lực có phương nằm ngang, độ lớn F = 2mg, đến B bắt đầu chuyển động điều chỉnh độ lớn lực F cho A chuyển động với vận tốc không đổi 1) Viết phương trình chuyển động vật A vật B 2) Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc vận tốc vật B mặt sàn theo thời gian Bài Chuyển động hạt mang điện từ trường Lúc t = 0, hạt điện tích dương q, khối lượng m nhỏ điểm (0,0,0) có vận tốc ban   đầu v  (0, a, b) người ta mắc từ trường B  (0, 0, B) Xác định quỹ đạo hạt Bài Điện tích điện từ trường  Một hạt mang điện tích dương q, khối lượng m chuyển động thẳng với vận tốc v dọc theo trục x’0x nằm ngang vùng khơng gian có tác dụng điện trường từ trường  Vectơ cường độ điện trường E chiều với trục 0z, hướng thẳng đứng xuống  (Hình vẽ) Vec tơ cảm ứng từ B vng góc với mặt phẳng hình  vẽ 1) Hãy xác định chiều độ lớn vectơ cảm ứng từ B (theo q, m, E gia tốc rơi tự g) 2) Khi  hạt tới điểm 0, người ta đột ngột đảo chiều cảm v0 x ứng từ B (làm B đổi hướng ngược lại, giữ nguyên x’ độ lớn ban đầu nó) Chọn gốc thời gian lúc hạt tới Hãy thiết lập phương trình chuyển động hạt thời điểm t phác hoạ E  quỹ đạo hạt Xem thời gian làm đảo chiều B nhỏ không đáng kể 3) Xác định thời điểm gần để hạt tới trục x’Ox, vị trí hạt xác định vectơ vận tốc hạt lúc z Bài Dao động nhỏ chiều lắc đơn Một lắc đơn gồm cầu nhỏ, có khối lượng m = 10g, mang điện z tích q =10–5 C treo sợi dây mảnh, cách điện, dài l =1m,  C khơng co giãn có khối lượng khơng đáng kể Con lắc đặt  vùng có từ trường đều, véctơ cảm ứng từ B có phương thẳng 0 đứng hướng từ lên có độ lớn B = 10T Ban đầu lắc giữ nằm yên mặt phẳng yOz với góc lệch nhỏ 0  0,1 rad dây treo so với phương thẳng đứng (Hình vẽ) Sau lắc y thả tự O 1) Thiết lập phương trình (vi phân) chuyển động lắc Đặt x g qB 0  ; B  , tính tần số góc (riêng)  lắc theo Hình vẽ m l 0, B 2) Thiết lập phương trình dao động x(t) y(t) lắc Nhận xét chuyển động mặt phẳng dao động lắc tính chu kỳ lặp lại chuyển động lắc Lấy g = 10m/s2 h  l  l cos   l(1  cos )  Bài Chuyển động trường xuyên tâm Giả sử không gian 0xyz có trường lực Một vật đặt chịu tác dụng lực, lực có cường độ F = kr (k số) hướng 0, với r  x  y2  z khoảng cách từ vị trí đặt vật đến tâm Lúc đầu hạt có khối lượng m, điện tích q > chuyển động trường lực Đúng vào thời điểm hạt có vận tốc điểm có toạ độ (R, 0, 0) người ta đặt từ  trường có cảm ứng từ B dọc trục 0z Bỏ qua tác dụng trọng lực Xét chuyển động hạt kể từ thời điểm Tìm tần số đặc trưng hạt Viết phương trình chuyển động hạt Gợi ý: Nghiệm số hệ phương trình vi phân tuyến tính tìm dạng sin(t  ) , cos(t  ) Bài Dao động mạng tinh thể chiều Biết chuyển động nhiệt, nguyên tử (hoặc ion) vật rắn kết tinh dao động xung quanh vị trí cân nút mạng Khi nguyên tử dao động, kéo nguyên tử khác dao động theo Kết M M m m mạng tinh thể có sóng lan truyền, a a a sóng thường gọi sóng đàn hồi n n+1 n-1 na Trong toán này, ta xét mạng tinh thể Hình vẽ chiều gồm hai loại ngun tử có khối lượng tương ứng m M = 3m, đặt xen kẽ cách khoảng cách a (Hình vẽ) Lấy nguyên tử làm gốc tọa độ Xét nguyên tử thứ n - 1, n, n + 1, có khối lượng vị trí hình vẽ Giả sử nguyên tử thứ n lệch khỏi nút mạng đoạn xn ( x n  a ) dọc theo đường thẳng mạng nguyên tử lân cận dịch chuyển theo Khi đó, tương tác với nguyên tử chuỗi xuất lực kéo nguyên tử trở vị trí cân Coi lực lực đàn hồi có độ lớn tỉ lệ với độ biến thiên khoảng cách nguyên tử với hệ số tỉ lệ  ( phụ thuộc vào tính chất mạng tinh thể) Do lực tương tác hai nguyên tử giảm nhanh theo khoảng cách nên ta xét tương tác hai nguyên tử liền kề, bỏ qua tương tác khác Thiết lập hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động nguyên tử mạng tinh thể Nghiệm hệ phương trình tìm dạng sóng chạy xn = Ansin(naq)cos(t + ),  tần số dao động mạng, An biên độ dao động nguyên tử thứ n (các nguyên 2 số sóng,  bước sóng,  tử loại có biên độ dao động giống nhau), q   số Tìm phụ thuộc  vào q (hệ thức tán sắc) Chú ý: nghiệm hệ phương trình cịn tìm dạng phức xn  An ei ( nqa t ) Gọi vùng Brillouin thứ (của mạng tinh thể này) miền    q Chứng tỏ 2a 2a  tương ứng với giá trị  , a nghiên cứu hệ thức tán sắc cần xét giá trị q vùng Brillouin thứ Tìm  giá trị  lân cận giá trị q  (tâm vùng Brillouin thứ nhất)  giá trị q   (biên 2a vùng Brillouin thứ nhất) giá trị q sai khác bội giá trị G  Phác họa đồ thị  (q) Hãy chứng minh vùng Brillouin thứ mạng tinh thể tồn miền cấm, tần số sóng ứng với giá trị nằm miền khơng M truyền tinh thể mà bị hấp thụ mạnh Bài Con lắc rung Để đo gia tốc trọng trường g, người ta dùng lắc rung, gồm thép phẳng chiều dài l, khối lượng m, đầu thép gắn chặt vào kẹp giá, đầu gắn chất điểm khối lượng M Ở vị trí cân thép thẳng đứng Khi làm thép lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ  (radian) sinh momen lực c (c hệ số không đổi) kéo thép trở vị trí cân (xem hình vẽ) Trọng tâm thép nằm trung điểm momen quán tính riêng thép trục quay qua ml2/3  l 1) Tính chu kì dao động nhỏ T lắc 2) Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg Để lắc dao động, hệ số c phải lớn giá trị nào? Biết g khơng vượt q 9,9m/s2 3) Cho l, m, M có giá trị 2), c = 0,208 Nếu đo T = 10s g có giá trị bao nhiêu? dT , 4) Cho l, m, M, c có giá trị 3) Tính độ nhạy lắc, xác định dg dT biến thiên nhỏ T ứng với biến thiên nhỏ dg g quanh giá trị trung bình g0 = 9,8m/s2 Nếu gần g0, gia tốc g tăng 0,01m/s2 T tăng hay giảm bao nhiêu? 5) Xét lắc đơn có chiều dài L = 1m dùng để đo g Tính độ nhạy lắc đơn gần giá trị trung bình g0; g tăng 0,01m/s2 chu kì T lắc đơn tăng hay giảm bao nhiêu? So sánh độ nhạy hai lắc Bài Bài toán cân A Hai nhỏ AB CD đồng chất, nối hai đầu sợi dây BC AD khơng dãn có khối lượng khơng đáng kể Thanh AB quay khơng ma sát quanh trục cố định nằm ngang xuyên qua trung điểm Hãy tính góc hợp sợi dây hệ nằm cân bằng? Cho AB = 40cm; BC = 50cm; DC = 70cm; DA = 30cm A B D C B Hai cøng nhỏ AB CD đồng chất, nối hai đầu sợi dây BC AD mảnh, nhẹ, không dÃn Thanh AB quay không ma sát quanh trục cố định nằm ngang xuyên qua trung điểm cña Cho AB = a, CD = b, AD = c, BC = d giả sử: a b , cd a HÃy mô tả hình dạng tứ giác ABCD hệ nằm cân bằng? qua a, b, c, d?  vµ gãc D b ViÕt c«ng thøc tÝnh gãc C Bài 10 Đo khối lượng trạng thái khơng trọng lượng Trong mét tr¹m không gian quay quanh Trái đất có trạng thái không trọng lượng, ta dùng dụng cụ đo trọng lượng thông thường để từ suy khối lượng nhà du hành vũ trụ Trạm nghiên cứu vũ trụ vài trạm nghiên cứu vũ trụ khác trang bị Thiết bị đo khối lượng vật Thiết bị gồm có ghế gắn đầu lò xo Đầu lò xo gắn vào điểm cố định trạm Trục lò xo qua khối tâm trạm, độ cứng lò xo k = 605,6N/m Khi trạm cố định bệ phóng ghế (không có người) dao ®éng víi chu kú T0 = 1,28195s TÝnh khèi l­ỵng m0 ghế Khi trạm quay quỹ đạo quanh Trái đất, nhà du hành vũ trụ ngồi ghế đo chu kỳ dao động T' ghế Anh ta thu T' = 2,33044s Anh ta tính đại khái khối lượng thấy nghi nghờ tìm cách xác định khối lượng thực Anh ta đo lại chu kì dao động ghế (không có người) tìm ®­ỵc T0' = 1,27395s Lóc ®ã ®ang trạng thái lơ lửng trạm Tính khối lượng thực nhà du hành vũ trụ khối lượng trạm Chú ý: Bỏ qua khối lượng lò xo Bài 11 Va chạm cầu tường Một khối trụ đặc có bán kính R, khối lượng m, lăn không trượt mặt sàn nằm ngang va vào tường thẳng đứng cố định (trục khối trụ song song với mặt sàn tường) Biết hệ số ma sát khối trụ tường ; vận tốc trục khối trụ trước lúc va chạm v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang trục giảm nửa độ lớn; mơmen qn tính trục khối trụ I  mR (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng trọng lực lúc va chạm bỏ qua ma sát lăn Tính động khối trụ góc phương  R chuyển động với phương nằm ngang sau v0 1 va chạm hai trường hợp,     Bài 12 Vật lăn mặt bàn Một vật hình cầu bán kính R đứng n gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm theo quy luật: 3m  r    , m số dương  7R  R  Tấm gỗ kéo mặt bàn nằm ngang m theo chiều DC với gia tốc không đổi R O a (xem hình vẽ) Kết vt ln khụng Tấm gỗ Mặt bàn trt v phớa D đoạn l rơi xuống mặt bàn Hệ số ma sát trượt vật mặt C D bàn k , gia tốc trọng trường g Tính khối lượng mơ men qn tính vật trục quay qua tâm Hãy xác định thời gian vật lăn gỗ gia tốc tâm O vật mặt bàn Tại thời điểm vật rơi khỏi gỗ vận tốc góc vật bao nhiêu? Chứng minh suốt trình chuyển động mặt bàn vật ln ln lăn có trượt Vật chuyển động quãng đường s K2 mặt bàn? K1 A Bài 13 Bài toán điện Đ Trong mạch điện hình vẽ, Đ điơt lí tưởng, tụ điện có điện dung C, hai cuộn dây L1 L2 có độ tự cảm L1 = L, L2= 2L; điện trở cuộn dây dây nối không đáng kể Lúc đầu khoá K1 khoá K2 mở Đầu tiên đóng khố K1 Khi dịng qua cuộn dây L1 có giá trị I1 đồng thời mở khố K1 đóng khố K2 Chọn thời điểm làm mốc tính thời gian t E C L1 B Hình vẽ L2 a) Tính chu kì dao động điện từ mạch b) Lập biểu thức cường độ dòng điện qua cuộn dây theo t Sau đó, vào thời điểm dịng qua cuộn dây L1 khơng hiệu điện uAB có giá trị âm mở khố K2 a) Mơ tả tượng điện từ xảy mạch b) Lập biểu thức vẽ phác đồ thị biểu diễn cường độ dịng điện qua cuộn dây L1 theo thời gian tính từ lúc mở khoá K2 Bài 14 Bài tương đối tính  Hệ quy chiếu K’ (O’x’y’z’) chuyển động với vận tốc v không đổi dọc theo trục O’x’ (O’x’ trùng với trục Ox, O’y’ O’z’ song song với Oy Oz) hệ quy chiếu K (Oxyz) Tìm thành phần vận tốc vật hệ K’ Tìm gia tốc a’ tương ứng hạt hệ K’ thời điểm hệ K hạt chuyển động với vận tốc u gia tốc a dọc theo đường thẳng  song song với v  vng góc với v  nằm mặt phẳng xOy có phương lập với v góc  Bài 15 Tên lửa Chuyển động vật có khối lượng thay đổi Giả sử tải khoang vũ trụ có khối lượng m, lắp ráp với tên lửa hai tầng Khối lượng hai (tên m lửa đầy nhiên liệu tải) Nm Khối lượng tầng thứ hai tải cộng lại nm Trong tầng, tỉ số khối nm lượng vỏ chứa nhiên liệu khối lượng ban đầu (vỏ chứa Nm nhiên liệu cộng với nhiên liệu) r, vận tốc khí đốt v0 (Hình vẽ) Giả sử tên lửa bắt đầu phóng từ trạng thái nghỉ bỏ qua trọng lực Chứng minh vận tốc v1 thu từ việc đốt tầng thứ cho công thức:   N v1  v0 ln    rN  n(1  r)  Hãy tìm biểu thức tương ứng cho vận tốc bổ sung v2 việc đốt tầng hai Cộng v1 với v2 ta có vận tốc v tải theo N, n r Cho N r khơng đổi, tìm giá trị n để v cực đại Chứng minh điều kiện để v cực đại tương ứng với việc thu vận tốc hai tầng Tìm vmax kiểm chứng có nghĩa trường hợp giới hạn r = r = Tìm biểu thức cho vận tốc tải tên lửa tầng với giá trị N, r v0 Giả sử muốn vận tốc tải 10km/s việc sử dụng tên lửa có v0 = 2,5km/s r = 0,1 Chứng minh ta thực điều tên lửa hai tầng thực tên lửa tầng dù có N lớn Chứng minh tên lửa có số tầng tùy ý, vận tốc tối đa tải có khối lượng m cho trước đạt tầng thiết kế cho độ gia tăng vận tốc mà tầng đóng góp Bài 16 Khối phổ kế Khối phổ kế thiết bị dùng để đo khối lượng ion Nó hoạt động theo nguyên lý sau: - Các ion gia tốc đến vận tốc lớn, vào máy điểm O, theo phương Ox z - Trong máy có từ trường B, hướng theo trục Oz vuông góc với Ox Oy - Kính ảnh đặt lân cận điểm P trục Oy vuông góc với phương Ox B - Các ion chuyển động theo đường cong, tới đập vào kính ảnh P Căn vào khoảng cách OP, người ta suy khối lượng ion (xem hình vẽ) + Giả sử chùm ion gồm ion 39 19 K (K39) vµ 41 19 K+ (K41), đà gia tốc có lượng E = 500 eV; c¶m øng tõ B = 0,7 T O x Chùm ion tới y P Kính ảnh 1) Tính vận tốc ion đập vào kính ảnh 2) Tính khoảng cách OP loại ion 3) Trong thực tế, lượng ion không giữ giá trị E, mà có thăng giáng E = eV Hỏi phân biệt hai vết mà ion đập vào kính ảnh không? Thăng giáng lượng vào % hai vết không phân biệt nữa? 4) Nếu góc chùm ion tới có thăng giáng 30 (trên mặt xOy) phân biệt vết hai loại ion không? Bi 17 Bi in c Cho hai cầu P Q, bán kính R = cm Quả cầu Q đặt giá cách điện, cầu P treo dây cách điện vào đầu A ABC Đường nối tâm P Q nằm đường thẳng đứng, khoảng cách PQ = a lớn thể coi P,Q cầu cô lập Thanh ABC gồm hai đoạn: AB đoạn cứng, chiều dài L, BC đàn hồi, chiều dài l (l