Luận văn thạc sĩ về sự tồn tại của trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình trong c2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Ninh Văn Thu Hà Nội – Năm 2014 LèI CAM ƠN Trưóc tiên tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói thay giáo hưóng dan TS Ninh Văn Thu, ngưịi t¾n tình chi bao giúp đõ tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn thịi gian vùa qua Tiep theo tơi xin đưoc gui lịi cam ơn đen thay cơ, đong nghi¾p cơng tác tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQc Khoa ngưòi giang day cung cap nhung kien thúc khoa năm HQ c HQc HQc Tn nhiên Hà N®i, nhung quý báu suot nhung vùa qua đe tơi có nen tang kien thúc đe thnc hi¾n lu¾n văn Cuoi xin cam ơn gia đình, đong nghi¾p ban bè giúp đõ, cő vũ đ®ng viên đóng góp cho tơi nhieu ý kien q báu cu®c song, cơng vi¾c HQ c t¾p nói chung đóng góp ý kien cho lu¾n văn ngày hồn thi¾n M¾c dù rat co gang tìm tịi ĐQc hieu tài li¾u liên quan đen lu¾n văn nhiên kien thúc vơ t¾n khơng tránh khoi nhung han che thieu sót Rat mong đưoc nhung đóng góp sn chi bao cna thay, giáo đe lu¾n văn có giá tr% khoa HQc cao HQc viên: Pham Hoàng Long Mnc lnc LèI CAM ƠN DANH MUC CÁC KÝ HIfiU Kien thÉc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tớch phỳc 1.2 M®t so ket qua bő tro Trưàng vector chinh hình tiep xúc C2 13 2.1 Sn ton tai cna trưòng vector chinh hình tiep xúc tói siêu m¾t thnc 13 2.2 HQ siêu m¾t ton tai trưịng vector chinh hình tiep xúc khơng tam thưịng17 2.3 Sn khơng ton tai trưịng vector chinh hình tiep xúc vói siêu m¾t thoa mãn đieu ki¾n (I) .30 2.3.1 Các bő đe ky thu¾t 31 2.3.2 Chúng minh Đ%nh lý 2.3.1 32 TÀI LIfiU THAM KHAO 34 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU • Pz(z): Đao hàm theo bien z cna hm P ã (f ): Ký hiắu cap cna hàm f tri¾t tiêu tai dùng đ%nh nghĩa loai điem vơ han D’ Angelo • Ký hi¾u ≈ ket hop vói ký hi¾u “ “: Dựng cho ký hiắu bat ang thỳc sai khỏc mđt hang so dương • C∞-trơn: Dùng chi hàm kha vi liên tuc cap vô Me ĐAU Gia su (M, p) l mđt mam siờu mắt khụng thuđc phang Levi CR Cn cho p điem kieu vô han theo nghĩa D’ Angelo (GQI tat kieu vơ han) Bài tốn đ¾t ve vi¾c mơ ta trưịng vector tiep xúc vói M tri¾t tiêu tai p Chính xác nua có the miêu ta m®t trưịng vector chinh hình tiep xúc vúi mđt mam (M, p) siờu mắt trn lúp C kieu vơ han tai goc TQA đ® = (0, 0) C2 tri¾t tiêu tai Muc đích cna lu¾n văn trình bày lai ket qua tien an pham "On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point" cna TS Ninh Văn Thu ([5]) Bo cuc cna lu¾n văn gom hai chương: Chương I: Nhung kien thúc chuan b% N®i dung cna chương trình bày m®t so kien thúc ban cna giai tích phúc khái ni¾m trưịng vector chinh hình tiep xúc, khái ni¾m điem kieu vơ han theo nghĩa D’ Angelo, khái ni¾m hàm thoa mãn đieu ki¾n (I) trình bày bő đe se đưoc su dung chúng minh o chương II Chương II: Sn ton tai cna trưòng vector tiep xúc chinh hình C Trong chương này, se chúng minh sn ton tai m®t trưịng vector chinh hỡnh C2 triắt tiờu tai goc TQA đ v tiep xỳc vúi siờu mắt kieu vụ han Nđi dung chn yeu chúng minh Đ%nh lý 2.2.1 2.3.1 Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tớch phẫc %nh ngha 1.1.1 Ta nói rang m®t hàm thnc trơn f xác %nh mđt lõn cắn U cua goc TQa đ f (0) = C thóa mãn đieu ki¾n (I) neu f J (z)) (I.1) lim supU˜ )z→0 |Re(bz fk J )| = +∞; (z) f (I.2) lim supU˜ )z→0 |(z) f (z) | = +∞ vái MQI k = 1, 2, vái b ∈ C∗ , U˜ := {z ∈ U : f (z) ƒ= 0} MQI Ví dn 1.1.1 Hàm so P (z) = e−C/|Re (z)| α neu Re (z) ƒ= P (z) = trưàng hap lai, C, α > 0, thóa mãn h¾ đieu ki¾n (I) Hơn the nua bang phép tính tốn có the thay đưac Cα P J (z) = P (z) 2|Re (z)|α+1 vái MQI z ∈ C vái Re (z) ƒ= Do đó, đieu ki¾n (I.2) đưac thóa mãn Bây già chúng minh P thóa mãn h¾ đieu ki¾n (I.1) Th¾t v¾y, vái k m®t so nguyên dương tùy ý Vái zl := + i , < β < min{1, α/(k − 1)} l neu k > β = MQI neu k = 1, vái vái MQI lβ l ∈ N∗ Ta có zl → l → ∞ Re (zl ) = 1/l ƒ= l ∈ N∗ M¾t khác, vái mői b ∈ C∗ có J k P (zl ) l1α+ l α−β(k−1) |Re (bzl P (z ) )| “ lβ(k−1)+1 =l De dàng ta thay P (zl ) lim |Re (bz k j )| = +∞ l l→∞ P (zl) Như v¾y hàm P thúa hắ ieu kiắn (I) %nh ngha 1.1.2 Mđt trưàng vector chsnh hình Cn đưac cho bái tốn tu: n Σ H = hk k=1 ∂ (z) ∂zk Trong h1, h2, , hn hàm chsnh hình theo bien z = (z1, z2, , zn) M®t mam cua siêu m¾t thnc trơn M (đoi chieu thnc bang 1) tai p Cn đưac đ%nh nghĩa bái hàm so đưac GQI ρ, cho M đưac mơ ta bái bieu thúc ρ(z) = M®t trưàng vector H đưac GQI tiep xúc tái M neu phan thnc cua cua H tiep xúc vái M có nghĩa H thóa mãn bieu thúc Re Hρ = Đ%nh nghĩa 1.1.3 Gia su f m®t hm bien thnc trn xỏc %nh trờn mđt lõn cắn cua C Kí hi¾u ν0 (f ) cap tri¾t tiêu cua f tai đưac quy đ%nh bái cap cua so hang đau tiên không b% tri¾t tiêu khai trien Taylor cua hàm f tai Trong trưàng hap f ánh xa Rk (k > 1), xem xét cap tri¾t tiêu cua tat ca thành phan giá tr% nhó nhat chúng GQI cap tri¾t tiêu cua f , ký hi¾u ν0 (f ) Ký hi¾u Or = {z ∈ C : |z| < r} vái r > ký hi¾u O := O1 Hơn the nua, goc MQI TQa đ® đưac GQI điem kieu vô han theo nghĩa D’ Angelo neu vái so dương A > neu ton tai ánh xa chsnh hình h : O → C2 vái h(0) = (0, 0) cho ν0(h) 1.2 ∞ ν0(ρ ◦ h) ν0(h) > A M®t so ket qua bo tra Trong muc này, se chúng minh m®t vài bő đe h¾ qua đưoc su dung chúng minh đ%nh lý cna lu¾n văn Bo đe 1.2.1 Gia su a1(z2) = β Σn=1 ∞ anzn2 hàm chsnh hình khơng đong nhat tri¾t tiêu ∆s0 (β ∈ R∗ , s0 > 0, an ∈ C vái hàm so MQI n ∈ N) Gia su Q0 , P1 , P ∆s0 M¾t khác, lay đao hàm ∂t ∂ hai ve cna phương trình (2.4) tai t = 0, ta có 3Q2 (z2 ) Re, − P (z )a1 (z (z m−1 ))m−12a ) + P2(z 2) a (z ) + · · · + (−P 2 i +···Σ Σ Q1 (z2 ) + i − 0Q 2(z ) a2 (z ) − 2P (z )a (z ) + · · · 2 i Q0 (z2 ) + m(−P (z ))m−1 a (z ) + · · · Σ + + Σ m 2 × − Q1(z2)a1(z2) + Σ(i − Q0(z2))2 +i2P (z2)Q1(z2)Σa2(z2) + m+ ··· +Σ (m + 1)m (z ) (z2 ) m−1 m (−P (z (i − Q )) (z )) − (m + 1)(−P2 (z )) 1Q 2(z ) Σa Σ + · · · Σ + (Q0 )z2 (z2 ) i − Q0 (z2 ) b1 (z2 ) − 2P (z2 )b2 (z2 ) + · · · + m(−P (z2))m−1bm(z2) + · · · Σ + (Q1 )z (z2 ).iβz2 − P (z2 )b1 (z2 ) + · · · + (−P (z2 ))m bm (z2 ) + · · · Σ + P J (z2 ) − Q1 (z2 )b1 (z2 ) + Σ(i − Q0 (z2 ))2 + 2P (z2 )Q1 (z2 )Σb2 (z2 ) + · · · +Σ m(m − 1) (−P 2(z ))m−2(i − 0Q 2(z ))2 − m(−P2 (z ))m−1 )Σb2 (z ) Q2 (z m + · · · Σ, ≡ (2.20) ∆s0 Do hàm Q0 , Q1 giai tích thnc, ν0 (P ) = ν0 (P J ) = +∞, b1 ≡ 0, ta suy rang Q1 (z2 ) Q0 (z2 ) Re,iβz (Q2 ) (z )2 + (i − Q0 (z2 ))a Σ 2(z ) + + z i i (2.21) × − Q1(z2)a1(z2) + (i − Q0(z2))2a2(z2)Σ, ≡ ∆s0 Phương trình suy rang Re(a2(0)) = Hơn nua, (2.19) chi rang Re(ia2(0)) = Vì v¾y, a2(0) = Bây giò, theo Bő đe 1.2.2 phương trình (2.10), (2.19), (2.21) ket thúc chúng minh khang đ%nh Khang đ%nh Ta có a (z ) ≡ 2m−1 Qm−1 (0)a (z ) b m≥ m m! 1 (z ) ≡ ∆ m−1 vói MQI s0 Chúng minh Khang đ%nh Ta se chúng minh khang đ%nh bang phương pháp quy nap theo m Vói m = 2, tù Khang đ%nh ta có a2(z2) ≡ Q1(0)a1(z2) b1(z2) ≡ Đieu chúng minh Khang đ%nh cho trưòng hop m = Gia su rang 2m−1 m−1 a2 (z2 ) ≡ Q1 (0)a1 (z2 ), m, a2 (z )m!≡ Q ), b (z ) ≡ · · · ≡ b (z ) ≡ vói ) m ≥ Ta se chi rang b (z ) ≡ and a m m+1 2 m−1 (0)a (z ) ≡ 2m (m+1)! 1 P (z2 ) i Re,(−1)m−1 m(i − Q (z ))b (z ) j + (−1)m (m + 1) + m 2 Q2 (z )Σa P (z2) Q1(mz2) + (−1)mb (z )Q (z ) +a(−1) 2 Qm(0)a (z Th¾t v¾y, tù (2.8) ta có m (z 0z2 (z2 ) (z ) + O(P (z )) + O(P J (z )), ≡ m i m+ 2 (2.22) ∆s0 L¾p lai l¾p lu¾n chúng minh Khang đ%nh 3, ta ket lu¾n rang bm(z2) ≡ Vì the, ta nh¾n đưoc i Re,(−1)m (m + 1) + Q2 (z ) Σa , (z ) ≡ (2.23) (z ) + m+ m (−1) m Q 1( z 2) a i m ∆s0 H¾ qua Re(iam+1(0)) = M¾t khác, Q0 , Q1 , Q2 giai tích thnc, ν0 (P ) = ν0 (P J ) = +∞, b1 (z2 ) ≡ · · · ≡ bm(z2) ≡ nên tù (2.20) ta có , 3Q (z ) 2 Re a i Q1(z2) (z ) + m (i − Q (z ))a m−1 i Q0 (z2 ) Σ m(m + 1) m (z2 ) (2.24) (z ) − mQ (z (z )Σ, ≡ 2 m )a 2 ∆s0 Đieu inày suy rang Re(am+1(0)) = 0, vói Re(iam+1(0)) = + + (i 0− Q m+ chúng minh o ta phai có am+1(0) = Hơn nua, Q1 (z2 ) ≡ Q1 (0).1 + Q2 (z2 )Σ (xem Khang đ%nh 4) nên ta ket lu¾n tù (2.23) rang 2m m am+1(z2) ≡ m+1 khang đ%nh Khang đ%nh Ta có: Q1(0)am(z2) ≡ · · · ≡ (m + 1)! Q1 (0)a1(z2), (a)   f (z2, t) = R )+2Q1 Σ (z2) (0)t co s 2Q1(0) MQI Σ R(z vói neu Q (0) cos log  tan(R(z2))t neu Q1(0) =  (z2 , t) ∈ ∆s0 × (−δ, δ), hàm R đưoc đưa Khang đ%nh (b)   MQI log Σ1 + 2Q1 (0)P1 (z2 )Σ neu Q1(0) = neu Q1 (0)  P1(z2)  z2 ∈ ∆∗s0 , P (z2) = vói 2Q1(0) Σ an Σ P (z ) 2= exp p(|z |)2+ Re ∞ z n − log | cos(R(z ))|Σ 2 i n= n ∗ vói MQi z2 ∈ ∆ s0 P1 (0) = 0, p,1 q hàm đưoc đưa Khang đ %nh Chúng minh Khang đ%nh Tù Khang đ%nh ta de dàng kiem tra đưoc h1(z1, z2) = z1a1(z2) neu Q1(0) = h (z ,1z 1) =2 2Q1(0) Σ exp Σ 2Q (0)z −1 1Σ2a (z ) 1 neu Q1(0) ƒ= h2(z1, z2) = iβz2 Bây giò, ta se chia chúng minh cna khang đ%nh thành hai trưòng hop sau đây: Trưàng hap A Q1(0) = Tù phương trình (2.4) có: Σ + Q0(z2)+ 2tQ1(z2)+ 3t2Q2(z2) Re +·· 2 × it − P2i(z2 ) − tQ2i (z2 ) − t Q2i ·1 (z2 ) − · · · Σa1 (z2 ) Σ + P J (z2 ) + tQ0z2 (z2 ) + t Q1 (z2 ) + · · · Σiβz2 Σ = z (2.25) vói MQI z2 ∈ C vói MQI t ∈ R vói |z2 | < s0 |t| < δ0 Khi đó, tù (2.25) vói t = de dàng ta thay đưoc: Q0 (z2 ) Re.iβz P J (z ) − + ΣP (z )a (z )Σ ≡ 2 2 2 i (2.26) ∆s0 Do đó, theo Bő đe 1.2.1 hàm so P (z2) ≡ P1(z2), ta mong muon Tù Khang đ%nh 4, ta có ≡ 0, lay đao hàm cap hai ∂t∂2 hai ve cna (2.25) tai Q1 t = 0, ta có: Re 3Q(z2 ) (−P (z ))a (z )Σ ≡ ∆s0 2 ≡i Lay đao hàm cap m túc là∂m hai ve cna (2.25) Đieu có nghĩa Q2 ∂tm tai t = 0, vói m = 3, , bang quy nap theo m ta có Qm ≡ vói MQI m ≥ Do đó, tù (2.25) (2.26) ta có: Σ ReΣ2iβz2 Q0z2 (z2 ) + ia(z2 ) + Q (z2 ) Σ ≡ ∆s0 Vì v¾y, theo Bő đe 1.2.1 phương trình cho ta nghi¾m Q0 (z2 ) = tan(R(z2 )) vói MQI z2 ∈ ∆s0 , R hàm so đưoc đưa khang đ%nh f (z2 , t) = Q0 (z2 )t = tan(R(z2 ))t vói MQI (z2 , t) ∈ ∆s0 × (−δ, δ), khang đ%nh Trưàng hap B Q0 (0) ƒ= Trong trưòng hop này, tù (2.3) ta có: ft (z2 , t) Re + Σ Σ exp Σ 2Q (0)(it − −P (z ) − f (z , t)) − 2Q1(0) 1Σa (z ) Σ 2i iβz2 = J P (z2 ) + fz2 (z2 , + 2 (2.27) vói MQI z2 ∈ C vói MQI t ∈ R thoa mãn |z2 | < s0 |t| < s0 Do hàmΣso ∈ C × R2 f (z , t) = n=1 Q (z )tn giai tích thnc lân c¾n cna Tù (2.27) ∞ n−1 có phương trình sau đây: (i) i + ft (z2 , t)Σ exp 2Q0 (0)(it − f (z2 , t))Σ = i + ft (z2 , t); (ii) ReΣ4iQ1 (0)βz2 fz2 (z2 , t) + ft (z2 , t) − tan(R(z2 ))Σia1 (z2 )Σ = 0; vói MQI nh¾n đưoc exp − 2Q1 (0)P (z2 ) − 1 Q0 (z2 ) ReΣ + Σ1a 2(z )Σ 2 2Q1(0) i (z2 , t) ∈ ∆s0 × (−δ0 , δ0 ) Tù (i) tù Bő đe 1.2.3 vói α = 2Q1 (0) ta (iii) Re.iβz P J (z2 )Σ = − Σ  f (z2, t) = 2Q1(0) co s R(z2)   log cos neu Q (0) ƒ= Σ R(z )+2Q1 (0)t  Σ tan(R(z2 ))t neu Q1 (0) = vói MQI vói MQI (z2 , t) ∈ ∆s0 × (−δ0 , δ0 )) Chúng ta ý rang: 2Re.iβz2 Rz2 (z2 )Σ = −Re(ia1 (z2 )) z2 ∈ ∆s0 Do đó, theo hắ qua 1.2.4 phng trỡnh (ii) tn đng oc thoa mãn Cuoi cùng, tù (iii) Bő đe 1.2.2 vói α = 2Q1 (0), hàm so P (z2 ) đưoc xác đ %nh khang đ%nh Như v¾y, khang đ%nh đưoc chúng minh Bây giò, chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1 de dàng đưoc suy tù Khang đ%nh đen 2.3 SE không ton tai trưàng vector chinh hình tiep xúc vái siêu m¾t thoa mãn đieu ki¾n (I) Trong muc này, chúng tơi se chúng minh ket qua thú hai cna lu¾n văn Cu the, chúng minh đ%nh lý sau Đ%nh lý 2.3.1 Neu m®t mam (M, 0) siêu m¾t C∞-trơn xác đ%nh bái phương trình ρ(z) := ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2, Im z1) = 0, thóa mãn đieu ki¾n sau: (1) P ƒ≡ 0, P (0) = 0; (2) P thóa mãn h¾ đieu ki¾n (I); (3) P tri¾t tiêu tái cap vơ han tai z2 = 0, bat kỳ trưàng vector chsnh hình tri¾t tiêu tai goc TQa đ® tiep xúc tái (M, 0) đong nhat vái không Gia su M = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : Re z1 + P (z2 ) + (Im z1 )Q(z2 , Im z1 ) = mam siêu m¾t giai tích thnc tai thoa mãn đieu ki¾n cna Đ%nh lý 2.3.1 Chúng ta se chi đưoc rang khơng ton tai m®t trưịng vector chinh hình khơng tam thưịng tri¾t tiêu tai goc TQA đ® tiep xúc vói M Trong muc ta dùng ký hi¾u ∆˜ r := {z2 ∈ ∆r : P (z2 ) ƒ= 0} 2.3.1 Các bo đe ky thu¾t Do hàm P thoa mãn đieu ki¾n (I) nên ta de dàng chúng minh đưoc hai bő đe sau: Bo đe 2.3.2 Neu a, b so phúc neu g1, g2 hàm so trơn xác đ%nh đĩa ∆s0 vái bán kính đu nhó s0 > thóa mãn: (i) g1 (zΣ1 ) = O(|z|l+1 ) g2 (z) = o(|z|m ); (z ) m b l+1 P j Σ + g1 (z2 )Σ = (ii) Re az + Pn(z) z P (z ) vái MQI g2 (z) z ∈ ∆˜ r vái so nguyên dương khác không l, m a = b = Chúng minh Bő đe de dàng đưoc suy tù đieu ki¾n (I.1) Bo đe 2.3.3 Gia su P hàm so xác đ%nh ∆s0 (s0 > 0) thóa mãn đieu ki¾n (I) Gia su B ∈ C∗ m ∈ N∗ Khi đó, ton tai so α ∈ R cho: lim sup |Re B(iα − 1)m P J (z2 )/P (z) | = ∞ ∆˜ s0 )z→0 Σ Chúng minh Do hàm P thoa mãn đieu ki¾n (I.2) nên ton tai dãy so {zk } ⊂ ∆˜ s0 h®i tu tói cho limk→∞ P J (zk )/P (zk ) = ∞ Chúng ta có the viet: BP J (zk )/P (zk ) = ak + ibk , k = 1, 2, ; (iα − 1)m = a(α) + ib(α) Chú ý rang |ak| + |bk| → +∞ k → ∞ Do đó, trích dãy neu can ta chi can xét hai trưòng hop sau đây: Trưàng hap limk→∞ ak = ∞ |b k| |a | k “ Do a(α) → (−1)m b(α) → α →0 nên neu α đn nho Re.B(iα − 1)m P J (zk )/P (zk )Σ = a(α)ak − b(α)bk = ak a(α) − b(α) Σ → ∞ bkk a | Trưàng hap limk→∞ bk = ∞ limk→∞ |b|ak| = Ta co đ%nh so α cho b(α) ƒ= k Khi đó, ta có: Re.B(iα − 1)m P J (zk )/P (zk )Σ = a(α)ak − b(α)bk = ak a(α) − b(α)Σ → ∞ bk a k k → ∞ Như v¾y, bő đe đưoc chúng minh 2.3.2 ChÉng minh Đ%nh lý 2.3.1 Chúng minh Đ%nh lý 2.3.1 Gia su mam siêu m¾t(M, 0) C2 đưoc xác đ%nh boi phương trình ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) + (Im z1)Q(z2, Im z1) = 0, P, Q hàm C∞-trơn thoa mãn ba đieu ki¾n gia thiet Đ%nh lý 2.3.1 Ta xét trưịng vector chinh hình H = h1(z1, z 2) ∂ lân c¾n cna goc TQA ∂z1 + h2(z1, z2) ∂ xác đ%nh m®t ∂z2 đ® Hơn nua, ta chi xem xét trưịng hop trưịng vector H tiep xúc vói M Đieu có nghĩa (Re H)ρ(z) = 0, (2.28) ∀z ∈ M Muc đích cna ta chi rang H ≡ Th¾t v¾y, gia su mâu thuan rang H ƒ≡ Khi đó, neu h2 ≡ tù (2.27) ta thay đưoc h1 ≡ Do đó, ta có the gia su rang h1 ƒ≡ h2 ƒ≡ Khai trien h1 h2 thành chuoi Taylor tai goc TQA ∞ Σ h1(z1, z2) a jk z j zk h2(z1, = z2) = đ® ta có: ∞ Σ j,k= b jk z j z k , j,k= ajk, bjk ∈ C Chú ý rang a00 = b00 = boi h1(0, 0) = h2(0, 0) = Tiep theo, gQI j0 nguyên nho nhat cho aj0 k ƒ= vói so nguyên k GQI k0 nguyên nho nhat cho aj0 k0 ƒ= Tương tn v¾y, ta GQI m0 nguyên nho nhat cho bm0 n ƒ= vói so nguyên n GQI n0 nguyên nho nhat cho bm0 n0 ƒ= Chú ý rang j0 ≥ neu k0 = m0 ≥ neu n0 = L¾p lu¾n chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1, ta có: ReΣ (iα − 1)j0 (P (z ))j0 zk0 + b (iα − 1)m0 (z )n0 + o(|z |n0 )(P (z ))m0 a j0k0 2 m0 n0 ΣΣ 2 (2.29) × P (z2 ) + αP (z2 )Qz2 (z2 , αP J vói MQI |z2 | < s0 vói MQI = o(P (z2)j0 | z |k0 ) α ∈ R đn nho 2Ta ý rang trưòng hop k0 = Re(aj ) = 0, α đưoc cHQN cho Re((iα − 1)j0 aj ) =ƒ Do đó, phương trình 0trên suy j0 > m0 Bây giị, ta chia l¾p lu¾n thành hai trưịng hop sau đây: Trưàng hap n0 ≥ Trong trưòng hop này, phương trình (2.29) mâu thuan vói Bő đe 2.3.2 Trưàng hap n0 = Do hàm P thoa mãn h¾ đieu ki¾n (I) m0 ≥ nên theo Bő đe 2.3.3 ta có the cHQN đưoc so thnc α cho lim sup |Re bm0 (iα − 1)m P J (z2 )/P (z2 ) | = +∞, Σ ∆˜ s0 )z →0 vói s0 > đn nho Do đó, (2.29) mâu thuan Vì v¾y, h1 ≡ lân c¾n cna (0, 0) CB Do h1 ≡ nên tù phương trình (2.4) vói t = ta có: Σ ∞ ReΣ bm z n2P J (z )Σ = m,n= vói MQI n z2 thoa mãn |z2 | < s0 Boi P thoa mãn đieu ki¾n (I.1) nên bmn = vói MQI m ≥ 0, n ≥ Hơn nua, ta se chi rang bm0 = vói Khi đó, ta có the GQi MQI m ∈ N∗ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai m so nguyên nho nhat cho bm0 ƒ= Tù phương trình (2.6) chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1, ta có Re.bm0 (iα − 1)m P J (z2 )/P (z2 )Σ b% ch¾n ∆˜ s0 vói s0 > đn nho vói MQi đieu khơng the xay Như v¾y, Đ%nh lý 2.3.1 đưoc chúng minh α ∈ R đn nho Theo Bő đe 2.3.3, Tài li¾u tham khao [1] A Garijo, A Gasull, X Jarque, Local and global phase portrait of equation z˙ = f (z), Discrete Contin Dyn Syst 17 (2)( 2007), 309–329 [2] Kang-Tae Kim and Ninh Van Thu, On the tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, Trans Amer Math Soc., to appear [3] S Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der Mathematischen Wis- senschaften, vol 318, Spinger- Verlag, Berlin, 1998 [4] S Lang, Introduction to complex hyperbolic spaces, Spinger- Verlag, New York, 1987 [5] Ninh Văn Thu, On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, http://arxiv.org/abs/1303.6156 ... HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM HOÀNG LONG VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C2 Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... Trưàng vector chinh hình tiep xúc C2 13 2.1 Sn ton tai cna trưòng vector chinh hình tiep xúc tói siêu m¾t thnc 13 2.2 HQ siêu m¾t ton tai trưịng vector chinh hình tiep xúc khơng tam thưịng17... Chương Trưàng vector chinh hình tiep xúc C2 2.1 Đ%nh lý ve sE ton tai cua trưàng vector chinh hình tiep xúc vái siêu m¾t thEc Gia su b(z) = iβz + (β ∈ R∗ ) hàm so chinh hình lõn cắn U cna goc TQA