Luận văn thạc sĩ về quá trình phân nhánh và quá trình phân nhánh cạnh tranh trong không gian liên tục

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN —————————— Tran Th% Thu Hien VE QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CANH TRANH TRONG KHƠNG GIAN LIÊN TUC LU¾N VĂN THAC SĨ CAO HOC Hà N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN —————————— Tran Th% Thu Hien VE QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CANH TRANH TRONG KHƠNG GIAN LIÊN TUC Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê toán HQC Mã so: 8460112.02 LU¾N VĂN THAC SĨ CAO HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC : TS LÊ VĨ Lài cam ơn Lịi đau tiên cna lu¾n văn tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan TS Lê Vĩ - ngưịi thay t¾n tình giúp đõ, chi bao, đ%nh hưóng nghiên cúu cho tơi đe hồn thành lu¾n văn Qua đây, tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo Khoa Toán - Cơ - Tin Đai HQ c Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc HQc, B® mơn Xác suat thong kê trưịng quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi giúp đõ, giang day truyen đat kien thúc cho tơi suot q trình HQ c t¾p nghiên cúu tai trưịng M¾c dù có nhieu co gang, han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tơi kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp q báu cna q thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân TRQNG cam ơn! Hà N®i, tháng năm 2019 HQ c viên Tran Th% Thu Hien i Mnc lnc Ma đau 1 Kien thÉc chuan b% Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian xác suat bien ngau nhiên Không gian xác suat bien ngau nhiên 2 1.1.1 Không gian xác suat 1.1.2 Bien ngau nhiên kỳ vQNG 1.2 Quá trình ngau nhiên 1.2.1 Quá trình Markov 1.2.2 Quá trình Levy 1.2.3 Quá trình ngau nhiên thích nghi vói m®t b ® LQc 1.2.4 Kỳ vQNG có đieu ki¾n lay đoi vói m®t σ trưịng 1.2.5 Xác suat có đieu ki¾n 1.2.6 Martingale 1.3 Tích phân ngau nhiên 1.3.1 Mđt so khỏi niắm liờn quan en q trình ngau nhiên 1.3.2 Tích phân ngau nhiên Ito 1.3.3 Công thúc Ito 10 24 28 30 31 32 35 37 37 38 1.4 Phương trình vi phân ngau nhiên 1.5 Bài toán martingale 39 46 Quá trình phân nhánh 2.1 Q trình phân nhánh thịi gian rịi rac 2.1.1 Hàm sinh 48 49 50 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 Tính c®ng tính Moment Các tính chat ban cna hàm sinh Xác suat tuy¾t chnng 51 51 52 53 Quá trình phân nhánh khơng gian liên tuc - CBP (continuousstate branching process) 54 2.2.1 Bien đői Lamperti .55 2.2.2 Đ®ng thái dài han .58 2.2.3 Quá trình bao toàn .59 2.2.4 Xác suat tuy¾t chnng 60 2.2.5 Hàm sinh 64 2.2.6 Dang phương trình vi phân cna CBP 67 Quá trình phân nhánh canh tranh 69 3.1 Đ%nh nghĩa 69 3.2 Hàm sinh 70 3.3 Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m .71 Ket lu¾n 75 Tài li¾u tham khao 76 Me ĐAU Q trình ngau nhiên có l%ch su bat nguon tù nghiên cúu cna GaltonWalson ve sn tuy¾t chnng cna quan the Trong đó, q trình phân nhánh m®t q trình ngau nhiên quan TRQNG tốn lý thuyet tốn úng dung Q trình phân nhánh mơ ta dien bien theo thịi gian cna m®t quan the giong loài, nơi mà cá the sinh san v chet i đc lắp vúi Tuy nhiờn, thnc te, ieu kiắn đc lắp l lý tong Chớnh v¾y, mơ hình phân nhánh canh tranh bat đau đưoc quan tâm nghiên cúu Lu¾n văn "Ve trình phân nhánh trình phân nhánh canh tranh khơng gian liên tuc" gom : • Chương 1: Kien thúc chuan b% • Chương 2: Q trình phân nhánh • Chương 3: Q trình phân nhánh canh tranh không gian liên tuc Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, ta trình bày m®t so đ%nh nghĩa, ket qua ve không gian xác xuat, bien ngau nhiên m®t so q trình ngau nhiên ban e lm c so cho viắc trỡnh by nđi dung cna lu¾n văn o chương sau 1.1 1.1.1 Không gian xác suat bien ngau nhiên Không gian xác suat T¾p hop ket qua có the cna phép thu ngau nhiên (mà ket qua không dn đốn đưoc) đưoc GQI khơng gian mau đưoc ký hi¾u Ω Moi t¾p hop A ⊂ Ω l mđt bien co Ta gia %nh l khỏc rong ã Mđt HQ cỏc bien co F oc gQI trưàng (đai so) neu: (i) F chúa không gian mau, hay Ω ∈ F (ii) F kín đoi vói phép lay phan bù Túc A ∈ F → Ac ∈ F , Ac = Ω \ A (iii) F kín đoi vói phép lay hop huu han Túc Ak ∈ F, k = 1, 2, , n [ n Ak k=1 F ã Mđt HQ cỏc bien co F đưoc gQI m®t σ - đai so neu: (i) F chúa không gian mau, Ω ∈ F (ii) F kín đoi vói phép lay phan bù A ∈ F Ac ∈ F , Ac = Ω\A (iii) F kín đoi vói phép lay hop đem đưoc Túc neu An ∈ F, n = 1, 2, [ ∞ An n=1 F ã Khụng gian o l cắp (Ω, F) , Ω khơng gian mau đó, F σ - đai so • Gia su C t¾p mà moi phan tu cna t¾p cna Ω Khi ta nói C l mđt lỏp Ta ký hiắu l lúp gom tat ca t¾p cna Ω Đó σ - đai so lón nhat Trong lóp gom hai t¾p: (Ω, ∅) σ - đai so bé nhat Giao cna σ - đai so chúa C σ - đai so chúa C Vì the, ton tai σ - đai so bé nhat chúa C Ta ký hi¾u σ - đai so σ(C), GQI σ đai so sinh tù C • Ta nói rang dãy (huu han ho¾c vơ han) t¾p (An) phân hoach cna Ω, neu hop cna chúng bang Ω chúng ròi tùng c¾p, túc là, Ai ∩ Aj = ∅, ∀i ƒ= j Trong trưòng hop the ta viet Σ Ω= A n n De dàng thay, σ - đai so sinh tù phân hoach lóp tat ca t¾p dang n[∈ I A n, I t¾p cna {1, 2, } ã Cho An l dóy cỏc cna Ω Ký hi¾u ∞ ∞ [ \ lim sup An = A k, n = n=1 k=n lim inf An n Neu lim sup An = lim inf An ∞ [ ∞\ n=1 k=n k A n n ta nói (An) có giói han, ký hi¾u cỏc bang ny boi lim An ã Khi Ω khơng gian metric, ta ký hi¾u B σ - đai so sinh tù t¾p mo, GQI B σ - đai so Borel • Đ® đo σ - đai so F ánh xa µ : F → [0, ∞] cho ton tai A ƒ= ∅, A ∈ F vói µ(A) < ∞ Σ neu An ∈ F, n = 1, 2, dãy t¾p rịi tựng cắp thỡ A n= à(An) n=1 [ n = đ o l hEu han neu à() < đ o l - hEu han hay hEu han đem đưac neu Ω= [ ∞ A n , An ∈, F µ(An) < ,∞ n = 1, 2, n=1 ∀ Tắp B oc GQI l cú - đ® đo khơng neu ton tai A ∈ F cho B A, à(A) = đ o µ đưoc GQi đu neu F chúa tat ca cỏc cú - đ o khụng - đai so bő sung cna F đoi vói µ đưoc đ%nh nghĩa theo cơng thúc sau : Σ Fµ = C ⊂ Ω|ton tai A1 , A2 ∈ F , A1 ⊂ C ⊂ A2 , µ(A1 \ A2 ) = • Gia su F σ - đai so t¾p cna F Moi phan tu cna F đưoc GQI m®t bien co Neu A m®t bien co A xay chi ket qua cna phép thu thu®c vào A Khơng gian mau Ω bien co chac chan t¾p ∅ bien co khơng the Ánh xa P : F → R thoa mãn đieu ki¾n: (i) ≤ P (A) ≤ 1, (ii) P (Ω) = 1; P (∅) = 0, Σ (iii) Neu dãy (An) bien co đơi m®t xung khac vói : P ∞ A Σ n= P (An) n=1 [ n =∞ Chương Quá trình phân nhánh canh tranh Trong tn nhiên, quan the sinh HQc loài, sinh song m®t khoang khơng gian thịi gian xác đ%nh ln có xu hưóng đat đen trang thái cân bang (m¾c dù trang thái có the dao đ®ng) Thnc te, cỏc cỏ the khụng phỏt trien đc lắp m cú xu hưóng ho tro vùa canh tranh vói đe đam bao tính őn đ%nh Chính v¾y, se can thiet đe mo r®ng q trình phân nhánh o thành trình phân nhánh canh tranh Đây hưóng nghiên cúu hi¾n đai, thú v% Trong chương này, tơi se trình bày khái ni¾m, đ%nh lý ton tai nhat nghi¾n, hàm sinh cna q trình phân nhánh canh tranh không gian liên tuc 3.1 Đ%nh nghĩa Xét m®t q trình phân nhánh khơng gian liên tuc có the đưoc viet dưói dang phương trình vi phân sau : ∫ t bXsds x Xt = x + + σ ∫ Zx s t ∫ W (ds, du) + ∫ t ∫ ∞ ∫s− Zx 0 0 0 zN˜ (ds, dz, du), ˜ N phan bù cna đ® đo ngau nhiên vói W chuyen đ®ng Brownian, Poisson M®t cách đe mo r®ng q trình phân nhánh thay hàm tuyen tính bXs thành hàm khơng tuyen tính f (Xs) bat kỳ Ta xác đ%nh trình phân nhánh canh tranh: ∫ ∫ ∫t sx − ∫ t ∫s ∫t f ∞ x W (ds, du)+ Xx zN˜ (ds, dz, du) Xtx = x+ (X )ds+ X s σ 0 0 (3.1) 0 Sn anh hưong tác đ®ng qua lai có the làm tăng kha sinh san hoắc giam so long cỏ the ca mđt quan the, đ¾c bi¾t đoi vói giong lồi q hiem Ta gia đ%nh rang đoi vói quy mơ, so lưong cá the lón giói han, sn tương tác thu®c loai canh tranh Câu hoi đ¾t là: trưịng hop sn tương tác đn manh đe dan đen sn tuy¾t chnng Hàm khơng tuyen tính f (Xs) lm mat tớnh đc lắp cna cỏc cỏ the v thoa mãn gia thuyet sau: Gia thuyet Gia su f ∈ C(R+, R), f (0) = Ton tai hang so θ ≥ thoa mãn: f (x + y) − f (x) ≤ θy ∀x, y ≥ Hàm θy − f (y) hàm tăng Ty l¾ canh tranh tùy ý múc đ® c®ng sinh phu thu®c hang so θ: f (y) ≤ θy 3.2 y ≥ Hàm sinh Áp dung công thúc Ito cho q trình ngau nhiên Xt, ta có: ∫t g J (X x )dXs σ2 ∫ JJ x g(X ) = g (Xs− )ds + t g(x) + t + Σ t (3.2) (∆g(Xs ) − g (Xs )∆Xs ) J s≤t Quá trình Xxt : t ≥ nghi¾m cna tốn Martingale vói hàm sinh L xác đ%nh: Lg(x) = f σ2 J xgJ (x) + [∆g(y) − g J (y)∆y] (3.3) (x)g J (x) + 3.3 Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m Trưóc tiên ta se trình bày ve đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m Ngưịi ĐQ c có the tham khao báo [1] cna Donald A Dawson Zenghu Li Đ%nh lý 3.3.1 Xác đ%nh nhat m®t nghi¾m khơng âm cua q trình ngau nhiên ∫ t ∫ ∫t t ∞ Xs− ∫ ∫ Xs− Xt = x+ f zN˜ (ds, dz, ∫ W (ds, du)+ (Xs−)ds+ du) σ 0 0 0 Quá trình {Xt : t ≥ 0} trình phân nhánh vái che ψ Ta se chúng minh m®t so ket qua ve phương trình ngau nhiên cna trình m®t chieu có bưóc nhay dương đ® đo ngau nhiên Poisson GQI E, U không gian topo có the tách rịi đưoc đ%nh nghĩa khơng gian metric đn Gia su rang π(dz), µ(du), đ® đo σ− huu han Borel E, U tương úng Ta có the nh¾n đưoc tham so (σ, b, g) neu: • x ›→ b(x) hàm liên tuc R+ thoa mãn b(0) ≥ 0; • (x, u) ›→ σ(x, u) m®t hàm Borel R+ × E thoa mãn σ(0, u) = vói u E; ã (x, u) g(x, u) l mđt hàm Borel R+ × U thoa mãn g(0, u) = g(x, u) + x ≥ vói x > u ∈ U ; Đ¾t: - {W (ds, du)} chuyen đ®ng Brownian (0, ∞) × E vói cưịng đ® dsπ(dz) - {N (ds, du)} l đ o ngau nhiờn Poisson trờn (0, ) ì U vúi đ l dsàdu Gia su rang {W (ds, du)}, {N (ds, du)} đưoc đ%n,h nghĩa k gian xỏc suat n (, F, P) v đc lắp vói Đ¾t N˜ (ds, ,hơng phan dz, du) bù đ® đo cna {N (ds, dz, du)} M®t trình giói han trái liên tuc phai {x(t) : t ≥ 0} đưoc GQi nghi¾m cna: ∫ t ∫ x(t) = x(0) σ (x(s), u) W + (ds, du) (3.4) ∫t + b (x(s)) ds + ∫ t E g (x(s), u) N˜ (ds, du) U neu q trình thoa mãn phương trình ngau nhiên hau chan chan vói mQI t ≥ Ta xây dnng đieu ki¾n sau: (2a) Xác đ%nh hang so K ≥ thoa mãn: b(x) ≤ K(1 + x), ∀x ≥ (2b) Xác đ%nh m®t hàm khơng giam x ›→ L(x) R+ m®t hàm Borel (x, u) ›→ g0(x, u) R+ × U thoa mãn sup |g(y, u)| ≤ g(x, u) 0≤y≤ x σ(x, u)2π(du) + ∫ E ∫ Σ g(x, u) ∧ U g(x, u)2 Σ µ(du) ≤ L(x), ∀x ≥ (2c) Vói moi m ≥ 1, xác đ%nh hàm khơng âm, không giam z ›→ ρm(z) R+ cho dz = ∞, 0+ ∫ ρm(z) ∫ |σ(x, u) − σ(y, u)|2 π(du) ≤ ρm(|x − y|)2 E ∫ ∫ l(x, y, u)2(1 − t)1{|l(x,y,u)|≤n} dt ≤ µ(d U m (|(x − y) + tl(x, y, u)|) ρ u) c(m, n) Tai đó, l(x, y, u) = g(x, u) − g(y, u) h¾ so c(m, n) ≥ 0, ≥ 1, ≤ x, y ≤ m ∀n Đ%nh lý 3.3.2 Gia su rang (σ, b, g) tham so thóa mãn đieu ki¾n (2a) − (2c) Khi đó, nghi¾m (3.4) quy đao nhat Chúng minh Ta co đ%nh so nguyên m ≥ Đ¾t a0 = cHQN ak → cho ∫ ak−1 dz ρm = k, k ≥ a (z) k GQI x ›→ ϕk (x) m®t hàm liên tuc khơng âm khoang (ak , ak−1 ) R thoa mãn: ∫ ak−1 ϕk(x)dx = 1, ak ≤ ϕk(x) ≤ m(x)2 , vói ak < x < ak−1 Vói moi k ≥ ta đ%nh nghĩa hàm khơng âm, liên tuc kha vi hai lan : ∫ |z| ∫ y ψk(z) = d ϕk(x)dx, z ∈ R (3.5) y Khi k → ∞, ψk (z) → |z| hàm không giam ≤ ψkJ (z) ≤ vói z ≥ Theo đieu ki¾n (2b) cách cHQN x ›→ ϕk (x), vói ≤ x, y ≤ m ψkJJ (x − y) u)| π(du) ∫ E |σ(x, u) − σ(y, (3.6) ≤ ϕk(|x − y|)ρm(|x − y|) ≤ k Khi đó, ve trái tien dan đeu ve ≤ x, y ≤ m k → ∞ Dh không gian chúa h− điem d%ch chuyen cua chuyen đ®ng Brownian Wt: Dh := {x = (x1, , xh) ∈ R : ≤ x1 ≤ · · · ≤ xh ≤ 1} Vói h, ζ ∈ R, theo mo r®ng Taylor ta có: ∫1 ∫1 Dhψk(ζ) h2ϕk(|ζ + th|)(1 − t)dt h2 ψkJJ (ζ + th)(1− t)dt = = 0 ⇒ Dhψk(ζ) ≤ Khi k ∫ h 1−t ρm dt (|ζ + th|)2 (3.7 ) Dh ψk (ζ) = ∆h ψk (ζ) − ψkJ (ζ)h ≤ 2|h| (3.8) Tù (3.7) (3.8), vói đieu ki¾n ≤ x, y ≤ m n ≥ 1, ta có: ∫ Dl(x,y,u)ψk(x − y)µ(du) ∫ ∫ 2 U l(x, y, u) (1 − t)1{|l(x,y,u)|≤n} ≤ k µ(d U dt m ρ (|(x − y) + tl(x, y, ∫ u) u)|) +2 U (3.9) |l(x, y, u)|1{|l(x,y,u)| >n}µ(du) ≤ c(m, n) + ∫ g(m, u)1 µ(duν) n {g(m,n)>2 } k U Tù đieu ki¾n (2b) - (2c), ta thay ve phai tien dan đeu ve neu ≤ x, y ≤ m k → ∞ V¾y quy đao x(t) nhat Ta có the a mđt ieu kiắn tng tn (2c) oi vúi hm khụng giam mđt so trũng hop ắc bi¾t: (2d) Vói moi u ∈ U , hàm x ›→ g(x, u) khơng tăng, vói moi m ≥ 1, ton tai m®t hàm khơng âm, khơng giam z ›→ ρm(z) R+ thoa mãn ∫0+ ρm(z)−2dz = ∞ và: ∫ |σ(x, u)−σ(y, u)|2π(du)+∫ |l(x, y, u)|∧|l(x, y, u)|2µ(du) ≤ E ρm(|x−y|)2 vói MQI ≤ x, y ≤ m l(x, y, u) = g(x, u) − g(y, u) Đ%nh lý 3.3.3 Gia su (σ, b, g) t¾p tham so thóa mãn đieu ki¾n (2a), (2b), (2d) Khi ú, xỏc %nh mđt nghiắm ỳng nhat cho (3.4) Đau tiên, ta xây dnng m®t trình ngau nhiên x(t) khơng âm nghi¾m yeu Tù đ%nh lý (3.3.2), h¾ qua bő đe cna Fu Li (2010), ta chúng minh phương trình có nghi¾m nhat V¾y nên q trình ngau nhiên ban đau nghi¾m nhat thoa mãn H¾ qua 3.3.1 Khi tham so (σ, b, g) thóa mãn đieu ki¾n (2a), (2b), (2c) ho¾c (2d) ton tai nhat q trình {Xt} nghi¾m cua (3.1) Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày đưoc nhung van đe ban nhat cna trình phân nhánh trình phân nhánh canh tranh khơng gian liên tuc Trong đó, lu¾n văn đưa cơng thúc cna q trình phân nhánh canh tranh Đieu quan TRQNG lu¾n văn trình by mđt cỏch hắ thong quỏ trỡnh xõy dnng cỏc khái ni¾m làm rõ cơng cu tốn HQc can thiet cho viắc tỡm hieu nđi dung chớnh Viắc hieu rõ q trình phân nhánh canh tranh khơng gian liên tuc tao nen tang vung chac cho viắc nghiờn cỳu mo rđng lờn nhung mụ hỡnh phõn nhánh tőng quát Ngày nay, van đe đưoc mo r®ng nhieu khía canh đe mơ ta thnc chat sn phát trien cna quan the Do vi¾c nghiên cúu khơng có điem dùng ngày phúc tap Tài li¾u tham khao [A] Bài báo đăng tap chí khoa HQC [1] Donald A Dawson and Zenghu Li (2012), Stochastic equations, flows and measure - values processes , The Annals of Probability, 2012 , Vol.40, No.2, 813-857 [B] Sách tieng Vi¾t [2] Nguyen Duy Tien (2005), Các mơ hình xác suat úng dnng , Phan IXích Markov úng dung, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia [3] Nguyen Duy Tien (2005), Các mơ hình xác suat úng dnng , Phan III- Giai tích ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia [4] Đ¾ng Hùng Thang, Q trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên , Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia [C] Sách tieng Anh [5] Athreya K.B, Ney P.E (1972) Branching Processes ,Springer-Verlag, New York [6] Harris, T.E (1963) The Theory of Branching Processes, Springer, Berlin [7] Robert B Ash (2008) Basis Probability Theory, Dover Publications, INC, Mineola, New York [8] Sheldon M Ross.(2010) A first course in Probability, Eighth Edition, Pearson Education, INC, River, New Jersey [9] Sheldon M Ross (2010) Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Elsevier INC [10] Sheldon M Ross (1996) Stochastic Process, Second Edition, John Wiley and Sons, INC, New York [11] Andreas E Kyprianou (2006) Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications, Springer [12] Zenghu Li (2012) Continuous - state branching processes, Beijing Normal University [D] Lu¾n văn Thac sĩ [13] Nguyen Th% Thu (2017), Quá trình phân nhánh úng dnng , Lu¾n văn tot nghi¾p Thac sĩ, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia H Nđi, Viắt Nam [14] V ỳc Thang (2014), Giai tích ngau nhiên úng dnng th% trưàng tài , Lu¾n văn tot nghi¾p Thac sĩ, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên Đai HQc Quoc Gia Hà Nđi, Viắt Nam ... Th% Thu Hien VE QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CANH TRANH TRONG KHÔNG GIAN LIÊN TUC Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 8460112.02 LU¾N VĂN THAC SĨ CAO HOC NGƯèI... nhánh canh tranh bat đau đưoc quan tâm nghiên cúu Lu¾n văn "Ve q trình phân nhánh q trình phân nhánh canh tranh khơng gian liên tuc" gom : • Chương 1: Kien thúc chuan b% • Chương 2: Q trình phân. .. 2: Q trình phân nhánh • Chương 3: Q trình phân nhánh canh tranh khơng gian liên tuc Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, ta trình bày m®t so đ%nh nghĩa, ket qua ve khơng gian xác xuat,