Luận văn thạc sĩ nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng 1 photon m → e + νµ + νe + g

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHU VĂN THỊNH NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG GẦN ĐÚNG PHOTON m ® e + nm + n%e + g LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Thịnh NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG GẦN ĐÚNG PHOTON m ® e + nm + n%e + g Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn MỤC LỤC Mở đầu Chương Quá trình phân rã muon 1.1 Yếu tố ma trận trình phân rã   e  e     e  e   10 Chương Đóng góp bổ tương tác điện từ cho phân rã muon 13 1.2 Tốc độ phân rã trình 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ phép dời chuyển cho trình   e  e     13 2.2 Phương pháp min cho trình   e  e     17 2.3 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho trình   e  e     24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Phụ lục A Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên 36 Phụ lục B Vận dụng vào mơ hình tự tương tác trường vô hướng Lint  g3 39 MỞ ĐẦU Q trình phân rã muon m ® e + n%e + nm , xảy tương tác yếu trình phân rã điển hình thực nghiệm lý thuyết nghiên cứu từ lâu Việc tính thêm đóng góp tương tác điện từ vào q trình m ® e + n%e + nm có ý nghĩa xem xét q trình phân rã với hấp thụ + g xạ photon hạt tham gia phân rã có mang điện tích Bài tốn có ý nghĩa việc xây dựng lý thuyết thống điện yếu[5; 6; 15] Các lượng tử trường điện từ photon với khối lượng nghỉ không, nên phân kỳ hồng ngoại[17] xuất tất trình vật lý mà ta xem xét Mục đích chủ yếu luận văn giới hạn nghiên cứu trình phân rã điện yếu gần photon thực m ® e + n% + e nm + g , sâu vào phương pháp khử phân kỳ hồng ngoại khác nhau: Phương pháp l [11; 17] phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đồng thời tiến hành so sánh kết thu Nội dung luận văn Thạc sĩ bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, tài liệu dẫn hai phụ lục, chúng trình bày theo trình tự sau: Chương Ta nghiên cứu trình phân rã m ® e + n%e + nm tương tác yếu gây nên, tính tốc độ phân rã trình Chương gồm hai mục: Mục 1.1 ta viết Hamiltonien tương ứng m ® e + n%e + nm , vẽ sơ đồ phân rã bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn theo số tương tác yếu G, viết yếu tố S – ma trận Từ yếu tố S – ma trận rút biểu thức cho biên độ bất biến phép dời chuyển T f(m) ứng với trình kể i Mục 1.2 ta tính tốc độ phân rã dựa công thức tổng quát biểu thức biên độ phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman tìm mục 1.1 Chương Dành cho việc tính tốn thêm bổ bậc thấp tương tác điện từ cho trình phân rã m ® e + n%e + gây nên tương tác yếu, có nm nghĩa gần photon thực mềm gồm ba mục: m ® e + n%e + nm + g Chương Mục 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ phép dời chuyển cho q trình m ® e + n%e + nm cách tổng quát hóa kết nhận mục 1.2 + g chương Mục 2.2 Dành cho việc giới thiệu phương pháp l vận dụng vào việc tách phân kỳ hồng ngoại biên độ phép dời chuyển tìm mục 2.1 Mục 2.3 Chúng tơi giới thiệu phương pháp điều chỉnh thứ nguyên áp dụng cho phân kỳ hồng ngoại tốn Phần kết luận tóm tắt kết nhận được, đồng thời tiến hành so sánh biểu thức tìm hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp l [11, 17], Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên thảo luận hướng nghiên cứu toán tương lai Phụ lục A Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên dẫn tích phân cần thiết tính tọa độ cầu không gian (n – 1) chiều Phụ lục B Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào mơ hình tự tương tác trường vơ hướng Lint = gj Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1, metric giả Euclide (metric Feynman), tất bốn thành phần vector 4-chiều ta chọn thực A = (A 0, A) gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số m = (0, 1, 2, 3), theo quy ước ta gọi thành phần phản biến vector 4-chiều, ký hiệu thành phần với số A = (A 0, A) = (A 0, A1, A 2, A def ) = Am Các vector phản biến tọa độ r , x m = (x = t, x = x, x = y, x = z) = (t, x ) Thì vector tọa độ hiệp biến r x m = gmnx = (x0 = t, x1 = - x, x = - y, x = - z ) = (t, - x ) , m Vector xung lượng r m p = (E, px , py , pz ) = (E, p) Tích vô hướng hai vector xác định AB = g A mAn = A Am = A 0B - AB mn r m Tensor metric có dạng gmn = gmn ổ 0 ữử ỗ ữ ỗ0 - 0ữ ữ = ỗỗ - 0ữ ữ ỗỗ0 0 - 1ứữ ỗố0 Chú ý: tensor metric tensor đối xứng gmn = gn gnm = gmn Thành phần m vector hiệp biến xác định cách sau: Am = g An, m n A0 = A , A = - Ak k Các số hy lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Chƣơng QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON Trong chương xem xét trình phân rã tương tác yếu gây nên, tính tốc độ phân rã bậc thấp số tương tác yếu G Với góc độ phương pháp luận ta xét cụ thể trình phân rã hạt muon, mà nghiên cứu kỹ lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, kết thu phù hợp với sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu hạt tích điện [6] Quá trình phân rã diễn theo sơ đồ sau đây: m ® e + n%e + nm (1.1) m-muon; e - electron; n%e - phản neutrino electron; n m - neutrino muy Phương trình thỏa mãn định luật bảo toàn: xung lượng, lượng, điện tích, tích Baryon, tích Lepton Một số đặc trưng hạt như[1]: Khối lượng: me = 0, 5Mev, m = 105, 66Mev, m m » nm m n% » 0Mev e Spin: tất bốn hạt có spin J = Điên tích: điện tích electron điện tích muon – e, hạt neutrino khơng tích điện Tích lepton L: Lm = L = L = e 1,n Ln%e = - m 1.1 Yếu tố ma trận trình phân rã m ® e + n%e + n m Tất q trình có tham gia tương tác yếu mô tả lý thuyết (V – A) tương tác dòng – dòng với số tương tác chung G Cụ thể lý thuyết (V – A) q trình phân rã (1.1) mơ tả Hamiltonien tương tác sau: Chữ (V-A) có nghĩa cấu trúc (vector-vector trục) dịng thực tương tác yếu H int,0 = ( G ( (x ) (1 y g + l g5 ) m y (x ) )( g5 ) y y (x )g l (1 + nm ( + y m(x ) (1 gl + ) g5 ) m (x ) n y y ( e n (x ) (1.2) ) + (x )g l (1 g ) (x ) e + ne y ( )) ) G số tương tác yếu Thừa số / đưa vào để trì định nghĩa đại lượng G, G khơng chứa g5 Cịn y (x ) hàm sóng việc hủy n e hạt n tức sinh hạt n y (x ) hàm sóng hạt muon; cịn y e (x e m %e ), ; y n (x ) hàm m liên hợp Dirac việc sinh e, n Hay viết dạng gọn tích dòng m sau: H int = m)l G (l ( ) (x ) (x ) + h.c ll (1.3) (e) + h.c liên hợp ecmite l+ ( m) l (x ) (x ) ; l ll l (e ) (m) dòng lepton muon , (e ) dòng electron xác định: l y (x )gl (1 g ) + y l(l ) (x ) = nl (x), l= m,e (1.4) l Biểu thức cho yếu tố S – ma trận tương ứng với phân rã (1.1) là[2]: S = T exp {- i ò H d x }, Hamiltonien tương tác xác định int công thức (1.2) hay (1.3) Khai triển S – ma trận theo số tương tác G, ta có: n =¥ S = å n= (1) (2) S (n ) = + S + S + = G G ữ ỗỗố ữứ Tham s m có thứ nguyên thứ nguyên khối lượng đưa vào suy luận từ bảo toàn thứ nguyên chung Các phép biến đổi tham số Feynman: ab = ò dx [ax + b(1 - x )] (A2) 1- x = abc dx dy ò ò 0 [a(1 x - y) + bx + cy ] (A3) Tính tích phân theo xung lượng: Ta áp dụng số tích phân ví dụ như: n n G(m - ) m n 1) ip d p = (- 2 ò m (p - 2pk + l) G(m ) m- n (A4) (k - l) Thác triển giải tích cho e ® , ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân ban đầu A.2 Các tọa độ cầu không gian n-1 thứ nguyên Các phép lấy tích phân dn- 1K mục 2.3 thực từ tọa độ đến tọa độ cầu kéo theo K (n -2) biến số góc Nhận thấy phương trình biến đổi: K = K cos q K = K sin q cos q K = K sin q sin q cos q Kn - K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - cos qn - = (A.5) K n - = K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - sin qn £ qi £ p i = 1, 2, 3, , n - £ qn - £ 2p Jacobian cần thiết cho ta ò d n - 1K n-3 sinn- q sin2 n4 - sin q q ò K n - sin q = p.K dq n - d K dqdq n- (A.6) = EK - p K cosq = K E (1 - b cos q) (A.7) biểu thức dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K q , góc p n - thành phần K vector, qua hệ thức liên hệ ö æ ÷ æ m + ( ) 1÷ G p ỗ G ứ ỗ1 m ỗ ữ sin qdq = è ị0 m + 2) ÷ ( ữ p ứ ỗố2 ữ Dn n: p n-1 ị (A.8) 2p ÷ ưị n-1 ỉ d K= ỗ1 G n- ữ ỗố2 ứữ ũ dK K n - sinn- qdq (A.9) hay qua biến x = cosq 2p n- 1 ũd ũ ổ ữ ửK 1ỗ G n- ữ ỗố2 ữứ dx -1 K - n-2 (1 ) x 2n - (A.10) PHỤ LỤC B VẬN DỤNG VÀO MƠ HÌNH TỰ TƢƠNG TÁC CỦA TRƢỜNG VÔ HƢỚNG Lint = gj Để minh họa phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mơ hình tốn học tương tác đơn giản Lint = gj Trong g - số tương tác, cịn j - trường thực vơ hướng B.1 Giản đồ lƣợng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mô hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I (k ) : i p ò 2 (m - ) dp é - (p - k ) - p - ie êm êë ù (B.1) ieú úû Tương ứng với giản đồ vịng Feynman với hai đường vơ hướng (xem Hình B.1) k p p-k Hình B.1 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n = - I (k) ® im regeJ (k ) = e ò (m p2 = im2 e p2 ò p 2e ) ta viết: d n p (p - k) ) p2 )(m - dn (p2 - p m ) ((p - Áp dụng công thức tham số hóa Feynman k)2 - m ) (B.2) ab = ò dx với a = (p - , [ax + b(1 - x )] (B.3) k)2 - m , b = p2 - m Ta được: im2e regeJ (k ) = p 2 im e = p2 ò dx ò - dn p k)2 - m ]x + (p m 2)(1 x) ) {[(p } dn p ò dx ò {p 2pkx + k 2x - m }2 n G(m - ) Áp dụng tích phân: ị n d p (p2 - 2pk '+ l)m = (- 1) m n ip G(m ) m- n (B.4) l = k 2x - m , với m = 2, k ' = kx ta n ) im 2 regeJ (k) = (- 1) ip 2- n ò G(2) p2 2 2 G(e) {k x + m - k x } 2e n i 2m2e = G(2 - (k '2- l) ò (p)2- e dx p - (B.5) {m x(1 - e x )k e } é ùú m2 = - G(e)ò dx êê 2 p{m - x(1 - x )k } ú ë û Sử dụng công thức khai triển: ae = + e ln a Ta có: é ùe m m2 êé úù= êê ú + e ln 2 ú= 2 ú ê p{m - x(1 - x )k } p{m - x(1 - x )k } ë û ë û ép{m - x(1 - x )k } ù ém x(1 - x )k ù ú= - e ln ê = - e ln ê e ln p úú ê ú ê m2 m2 ë G(e) = e û ë û - g + O(e) (B.6) g = 0.5772 số Euler Mascheroni ỉ1 ém - x(1 - x )k ù íï÷ reg J (k) = - ỗ - g + O(e)ữ dx ïì e ln ê úe ê ÷ø ị çèe ï üï e ln pïý m2 ú ï Cho e ® + Ta được: reg J (k) = - + I ợ ỷ ỵ (e) e huu han e ù é I (e) = údx+ ln ê m - x(1 - x )k ln p + g ò ê ú huu han m ë û (B.7) Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ tách thành dị tích phân (phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực e phần riêng B.2 Giản đồ đỉnh Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau đây: G(p, k ) = dq 2 ip2 ò m q ´ 1 ´ m - (q + k ) m - (p - q) (B.8) tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q hàm truyền vô hướng vô hướng m - (p - (q + k ) , đường khác có xung lượng (q + k )- hàm truyền m - q2 , cịn đường cịn lại có xung lượng 2 q)- hàm truyền vô hướng m - (p - q) Giản đồ Feynman: k q+k q p p- q p+ k Hình B.2 Viết lại tích phân (B.8) dạng: G(p, k ) = = i p - ò dq ip2 ò m q dq q m2- ´ (q + k ) m - (p - q) 1 ´ m2 m2 ´ ´ (q + k )2 - (p - (B.9) q) -2 m Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: dnq im2e G(p, k) regeI (p, k) = ò p (q2 - m 2)[(q + k)2 - m ][(p q)2 ® - m2] (B.10) Sử dụng cơng thức tham số hóa Feynman: 1- x = abc dx dy ò ò [a(1 x - y) + bx + cy ] , (B.11) íï a = ï q2 - m với ï b = (q + k )2 - m ì ï 2 ta có ïỵ c = (p - q) - m a(1 - x - y) + bx + cy = = (q2 - m 2)(1 x - y) + [(q + k)2 - m ]x + [(p q)2 = q2 - 2q(py - kx) + k 2x + m ]y p2y (B.12) Tích phân (B.10) viết lại: regeI (p, k) = 2im2 e 1- x ò dx ò dy ò n p d0 q [q2 - 2q(py - p2y ] kx ) + k 2x + (B.13) Áp dụng cơng thức: ị dn p (p2 - 2pk '+ l)m = (- m 1) n ip n G(m - ) G(m ) m- n (B.14) (k '2- l) m = 3; với k' l = k x + p 2y = ; py - kx ta được: 2im2e regeI (p, k) = 1- x n ò dx ò p dy(0 p 1- x 0 e = 2m2e ò dx ò dy p m ò p2 - 1- x dx ò G(1 + 2- [(py [(py - kx ) e) kx )2 k 2x - 2 3- - kx- py] n p2y ]1+ e 1+ e m2 èp[(py - kx ) Khai triển ) G(3) ổ dy G(1 + e) ỗỗ n 1)3ip 2 = G(3 - ÷ ÷ (B.15) - k x - p y ]ø ổ ỗ G(1 + e) = eG(e) = e çè e æ çç m2 èp[(py - kx ) 2 ÷ g + O(e) ÷= ÷ø - 1+ e ư÷ ÷ = + (1 + - k x - p y ]ø ta có: regeI (p, k) = p dx - 1- x dy (1 eg + eO(e)), ổ e) ln ỗỗ m2 ốp[(py - kx ) = - (1 + = (1 - eg + -eO(e)í)ïì ïï ỵ e) ln ỉ çp[(py ç è (1 + -e) ln 2 ö ÷ ÷ - k x - p y ]ø kx )2 - k 2x m2 æp[(py (B.16) p 2y ] ÷ö ÷ ø÷ kx )2 k 2x - (B.17) p 2y ]ưüï m2 ị0 ý, (B ị 18) ù ữ ỗố m cho e đ 0+ ta thấy tích phân hữu hạn ỉp[(py - kx )2 k 2x 1- x p íï reg I (p, k) = m dx dy ïïì ln ç m e ị ị ï ø ÷÷ ù ỵ p 2y ]ữửỹù ữùý (B.19) ợ ứữù ỗ ỵ Kt lun: vi bi toỏn hm nh củằhạt vơ hướng tích phân (B.8) khơng phân kỳ mà lượng hữu hạn xác định (B.19) Một vấn đề đặt ra: liệu sử dụng phương pháp khử phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên, để tiếp tục khử phân kỳ hồng ngoại QED photon bị xạ hay hấp thụ có lượng thấp khối lượng nghỉ không hay không? Vấn đề vận dụng thành công mục 2.3 luận văn ... m e g )m) (e (e/ e*) g (1 + ö g5 )ne ) ? ?+? ?? p1 ỗ l ữứ l2 - m (p + k) e æ k + mm (E /e) n m) (ne gl (1 g5 )e) + + ỗ(mg (1 + g5 ) 2 + ö ü (p1 - k) mm ữ ù ỗố p2 + k + me l * + (mg (1 + g )v )(v (e/ e... 0, 1 2 ( Þ m 2e+ m m- 2m E + 2k -m m + E 2- ) p2cosq ³ 0, m2 +m2 - e Þ k £ Þ (k ) ( max 2 = ) p2 cos q m (E -E m ) mm - E + p2 cos q m m (E m E ) m- m - E + p2 cos q = (m +m2 m Trong Em = m m mm-... ¢)gl (1 + g )m( p , s )) (e (p , s )g (1 g )n (q , s ))´ + fi ,g 2 l m æ 2 /e* (p + m ) = /e* (m e mt lng e 11 e ỗ pˆ k + m + /e m /e* 2 ỗ ỗố(p1 - - m m k) s dng: pˆ + k + m e ÷ 2÷ (p2 + k) - m e