Nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng 1 photon m → e + νµ + νe + g

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHU VĂN THỊNH NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG GẦN ĐÚNG PHOTON m ® e + n m + n%e + g LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Thịnh NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG %e + g GẦN ĐÚNG PHOTON m ® e + n m + n Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – 2011 MỤC LỤC Mở đầu Chương Quá trình phân rã muon   e  e     e  e   10 1.1 Yếu tố ma trận trình phân rã 1.2 Tốc độ phân rã trình Chương Đóng góp bổ tương tác điện từ cho phân rã muon 13 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ phép dời chuyển cho trình   e  e     13   e  e     17 2.2 Phương pháp min cho trình 2.3 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho trình   e  e     24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Phụ lục A Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên 36 Phụ lục B Vận dụng vào mơ hình tự tương tác trường vô hướng Lint  g 39 MỞ ĐẦU Q trình phân rã muon m ® e + n%e + nm , xảy tương tác yếu trình phân rã điển hình thực nghiệm lý thuyết nghiên cứu từ lâu Việc tính thêm đóng góp tương tác điện từ vào q trình m ® e + n%e + nm + g có ý nghĩa xem xét q trình phân rã với hấp thụ xạ photon hạt tham gia phân rã có mang điện tích Bài tốn có ý nghĩa việc xây dựng lý thuyết thống điện yếu[5; 6; 15] Các lượng tử trường điện từ photon với khối lượng nghỉ không, nên phân kỳ hồng ngoại[17] xuất tất trình vật lý mà ta xem xét Mục đích chủ yếu luận văn giới hạn nghiên cứu trình phân rã điện yếu gần photon thực m ® e + n%e + nm + g , sâu vào phương pháp khử phân kỳ hồng ngoại khác nhau: Phương pháp l [11; 17] phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đồng thời tiến hành so sánh kết thu Nội dung luận văn Thạc sĩ bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, tài liệu dẫn hai phụ lục, chúng trình bày theo trình tự sau: Chương Ta nghiên cứu q trình phân rã m ® e + n%e + nm tương tác yếu gây nên, tính tốc độ phân rã q trình Chương gồm hai mục: Mục 1.1 ta viết Hamiltonien tương ứng m ® e + n%e + nm , vẽ sơ đồ phân rã bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn theo số tương tác yếu G, viết yếu tố S – ma trận Từ yếu tố S – ma trận rút biểu thức cho biên độ bất biến phép dời chuyển T fi( m) ứng với trình kể Mục 1.2 ta tính tốc độ phân rã dựa cơng thức tổng quát biểu thức biên độ phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman tìm mục 1.1 Chương Dành cho việc tính tốn thêm bổ bậc thấp tương tác điện từ cho q trình phân rã m ® e + n%e + nm gây nên tương tác yếu, có nghĩa gần photon thực mềm m ® e + n%e + nm + g Chương gồm ba mục: Mục 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ phép dời chuyển cho trình m ® e + n%e + nm + g cách tổng quát hóa kết nhận mục 1.2 chương Mục 2.2 Dành cho việc giới thiệu phương pháp l vận dụng vào việc tách phân kỳ hồng ngoại biên độ phép dời chuyển tìm mục 2.1 Mục 2.3 Chúng giới thiệu phương pháp điều chỉnh thứ nguyên áp dụng cho phân kỳ hồng ngoại tốn Phần kết luận tóm tắt kết nhận được, đồng thời tiến hành so sánh biểu thức tìm hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp l [11, 17], Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên thảo luận hướng nghiên cứu toán tương lai Phụ lục A Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên dẫn tích phân cần thiết tính tọa độ cầu khơng gian (n – 1) chiều Phụ lục B Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ ngun vào mơ hình tự tương tác trường vô hướng L int = gj Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = , metric giả Euclide (metric Feynman), tất bốn thành phần vector 4-chiều ta r chọn thực A = (A 0, A ) gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số m = (0,1, 2, 3) , theo quy ước ta gọi thành phần phản biến vector 4-chiều, ký hiệu thành phần với số r A = (A 0, A ) = (A 0, A 1, A 2, A )def = A m Các vector phản biến tọa độ r x m = (x = t , x = x , x = y, x = z ) = (t , x ) , Thì vector tọa độ hiệp biến r x m = gmnx m = (x = t , x = - x , x = - y , x = - z ) = (t , - x ) , Vector xung lượng r p m = (E , px , py , pz ) = (E , p ) Tích vơ hướng hai vector xác định r r A B = gmnA mA n = AmA m = A 0B - A B Tensor metric có dạng gmn = g mn ổ1 0ữ ỗỗ ữ ữ çç0 - 0÷ ÷ ç ÷ = ç çç0 - ÷ ÷ ÷ ÷ çç ữ - 1ữ ữ ỗố0 ứ Chỳ ý: tensor metric tensor đối xứng gmn = gnm gnm = g mn Thành phần vector hiệp biến xác định cách sau: Am = gmnA n , A0 = A 0, Ak = - A k Các số hy lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến 3 Chƣơng QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON Trong chương xem xét trình phân rã tương tác yếu gây nên, tính tốc độ phân rã bậc thấp số tương tác yếu G Với góc độ phương pháp luận ta xét cụ thể q trình phân rã hạt muon, mà nghiên cứu kỹ lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, kết thu phù hợp với sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu hạt tích điện [6] Q trình phân rã diễn theo sơ đồ sau đây: m ® e + n%e + nm (1.1) m -muon; e - electron; n%e - phản neutrino electron; n m - neutrino muy Phương trình thỏa mãn định luật bảo tồn: xung lượng, lượng, điện tích, tích Baryon, tích Lepton Một số đặc trưng hạt như[1]: Khối lượng: m e = 0, 5Mev, m m = 105, 66Mev, m n » m n% » 0Mev m Spin: tất bốn hạt có spin J = e Điên tích: điện tích electron điện tích muon – e, cịn hạt neutrino khơng tích điện Tích lepton L: Lm = Le = Ln = 1, Ln% = - m e 1.1 Yếu tố ma trận q trình phân rã m ® e + n%e + n m Tất trình có tham gia tương tác yếu mô tả lý thuyết (V – A) tương tác dòng – dòng với số tương tác chung G Cụ thể lý thuyết (V – A) q trình phân rã (1.1) mơ tả Hamiltonien tương tác sau: Chữ (V-A) có nghĩa cấu trúc (vector-vector trục) dòng thực tương tác yếu H int ,0 = G y (x )g (1 + g )y (x ))(y (x )g (1 + g )y (x )) + ( ( + (y (x )g (1 + g )y (x ))(y (x )g (1 + g )y (x ))) l nm l e m ne (1.2) l m l nm ne ( e ) G số tương tác yếu Thừa số / đưa vào để trì định nghĩa đại lượng G, G không chứa g Cịn y n (x ) hàm sóng việc hủy e hạt ne tức sinh hạt n%e ; y m(x ) hàm sóng hạt muon; cịn y e (x ), y n (x ) hàm m liên hợp Dirac việc sinh e, n m Hay viết dạng gọn tích dòng sau: H int = G (l + ( m)l ) (x )l(le ) (x ) + h.c (1.3) h.c liên hợp ecmite l(+m)l (x )l(le ) (x ) ; l(m) , l(e ) dòng lepton muon dòng electron xác định: l(ll ) (x ) = y l (x )g l (1 + g5 )y n (x ), l = m, e (1.4) l Biểu thức cho yếu tố S – ma trận tương ứng với phân rã (1.1) là[2]: { } S = T exp - i ò H intd 4x , Hamiltonien tương tác xác định công thức (1.2) hay (1.3) Khai triển S – ma trận theo số tương tác G, ta có: n= ¥ S = å S ( n ) = + S (1) + S (2) + = n=1 = - i ò H int ,0d + = - i G ò d x (l + ( m)l l (e ) (1.5) ) (x )l (x ) + h.c + Vì tạm bỏ qua tương tác điện từ, nên toán tử l(e ) , l( m) tác dụng lên trạng thái electron (muon), bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn theo số tương tác yếu G, nên yếu tố ma trận viết tích hai thừa số sau: q1s1; q2s ; q3s S (1) p, s = - iG òd x q1s1;q2s ;q3s lmle p, s = = - iG òd x q3s l(+m)l (x ) p, s q1s1; q2s l(le ) (x ) (1.6) Công thức (1.6) tương ứng với giản đồ Feynman bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn trình bày (Hình 1.1) Muon với xung lượng p spin s, phân rã thành n m - neutrino muy với xung lượng q3 spin s3, n%e - phản hạt neutrino electron với xung lượng q2 spin s2, electron với xung lượng q1 spin s1 e q1,s1  p,s q2,s2 G ve q3,s3 v Hình 1.1 Tốn tử trường y (x ) xác định [5]: 1 y (x ) = (2p ) ổ ử2 ỗm ữ d k ũ ỗỗốE ứữữữ {a (k )u (k )e s - ikx s } + bs+ (k )ns (k )e ikx , (1.7) s= tốn tử, sinh hủy phản hạt ký hiệu là: b+ b tuân theo biểu thức phản giao hoán toán tử a+ a ( a+ a toán tử sinh, hủy hạt fecmion ): as+ (k )as+' (k ') + as+' (k ')as+ (k ) = as (k )as ' (k ') + as ' (k ')as (k ) = (1.8) as (k )as+' (k ') + as+' (k ')as (k ) = dss 'd(3) (k '- k ) Tính tốn yếu tố đấu tích phân biểu thức (1.6): 1/ q3s l(+m)l (x ) p, s = (2p )3 ém m ù 3 ê m n ú e ix (q '3 - p ) ´ d p ' d q ' ò 3å ê 0ú s ',s '3 êp ' q ' ú ë û ( n )+ ´ nm(q '3, s '3 )gl (1 + g )m( p ', s ') q3s as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ') p, s , (1.9) 1/ q1s1; q2s l(le ) (x ) = (2p )3 ém m ù ix (q ' + q ' ) 3 d q ' d q ' ò så' s ' êêq ' 0e q 'n úú e ´ ê û ú ë ( n )+ ´ e (q '1, s '1 )g l (1 + g )ne (q '2 s '2 ) q1s1; q2s as(e' )+ (q '1 )bs ' e (q '2 ) (1.10) Khi tính tốn coi hai neutrino có khối lượng nhỏ xấp xỉ (ký hiệu m n ) khác khơng Bằng cách ta sử dụng cách tái chuẩn hóa thơng thường toán tử chiếu Trong kết cuối ta cho khối lượng neutrino dần đến không Ta sử dụng biểu thức giao hoán (1.8) toán tử sinh, hủy để tính tốn yếu tố ma trận: as ' ( p ') p, s = as ' ( p ')as+ ( p) = = | dss 'd(3) ( p - p ') - as+ ( p)as ' ( p ') = dss 'd(3) ( p - p ') (1.11) nên ( n )+ (n ) ( n )+ q3s as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ') p, s = as m (q3 )as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ')as( m)+ ( p) 3 ( nm ) ( n m )+ = as (q3 )as ' 3 (q '3 ) 0 as( m' ) ( p ')as( m)+ ( p) (n ) = dS ' Sm d(3) (q '3 - q3 ) dss( m')d(3) ( p - p ') (1.11a) 3 Tương tự ( n )+ (n ) q1s1; q2s2 as(e' )+ (q '1 )bs ' e (q '2 ) = dS(e') S d(3) (q '1- q1 ) ds ' es d(3) (q '2 - q2 ) (1.11b) 1 2 thay (1.11a) (1.11b) vào (1.9) (1.10) ta được: éêm mm v ù ix (q - p ) + ú q3s l( m)l (x ) q, s = n m(q3, s )gl (1 + g )m( p, s )e (1.12) ê 0 ú (2p ) êë p q3 ú û I n( e ) 2b = ´ ´ 16p n - ( n - 4) +1 ( n - 4) (1 - x ) ( e ) (1 - x ) dx ò (1 - b x )2 ( n - 4) ỉ1 ữ ỗ - Gỗ n - 1ữ 16 p ữ ữ ỗố2 ứ ( (2.54) ) Thc hin khai trin sau: ổn Gỗỗ ỗố n- ÷ 1÷ = 1gE + O (n - 4) ữ ữ ứ ổn Gỗỗ ỗố Þ ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ( n - 4) ( ) e2 » » 1+ é n- ù ê1 gE ú ê ú ë û ( n - 4) ( 1- x2 ) ( n - 4) (4p ) » 1+ 2 n- gE (2.55) ( n - 4) æe (1 - x ) ÷ ÷ = ççç ÷ ÷ çè 4p ø = 1+ n- ln e + ln - x - ln p ( ( ) n - e (1 - x ) ln + O (n - 4) 4p ) (2.56) từ (2.55) (2.56) suy (n - 4)) n- ổn Gỗỗ ỗố ổ çç1 + n » n - çè (e ) ´ ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ( n - 4) (1 - x ) ( n - 4) (4p ) = ö - ửổ ỗỗ1 + n - ln e + ln - x - ln p ữ ữ ữ gE ữ ữ ữ ữỗ 2 øè ø÷ ( ( íïï n- ln e + ln - x - ln p ì1+ ï n - ỵï 2 ổn - n- ữ ỗ ữ + gE + ỗ g E ln e + ln - x - ln p ÷ ữ ỗ ố ứ = ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) ïü ï = ý ùù ỵ ) ổ ln - x gE ữ ỗ (khi n đ 4) = ỗỗ + + ln e - ln p ữ + ữ ữ ỗốn - 2 ø thay ( 2.57 ) vào ( 2.54 ) dẫn đến: 29 (2.57) I ( e) n ( ) 1- x2 ù1 éê 1 = b + ln (e ) + g - ln p úò dx 2 ê ú n 8p ë û- (1 - b x ) ( ) (1 - x ) ln +1 + 16p ò dx - (1 - b x ) (1 - x ) + O (n - 4) (2.58) +1 ị dx - é1- b ê dt êò - = b ê1+ b t b êë 1- x2 (1 - bx ) 1- b ò (1 - t ) dt ùúú= 1+ b ú ú û t2 1- b é ù 1- b ỉ1 ú 1ê 1 ữ = - ũ ỗỗ - + 1ữ dt ờỳ ữ ỗốt ữ ỳ b t t b ø + b 1+ b êë ú û í ỉ ưỉ ï 1 ữỗ 1ữ 1- b ùỹ ùý ữ ữ = - ùỡ ỗỗ + ln + ỗ ữ 2ữ ữỗ ữ ùù b ùùợ ỗố1 + b - b øè + b b b ø b ỵ = ỹ ùù ớùù 1- b íïï - ln = th b ỡ ý ỡù ùỵ b b ùợù 2b + b b ï ïỵ ü ï 1ïý ùỵ ù (2.59) ta ó ỏp dng cụng thc: th - 1b = - ỉ 1- b ÷ ữ, ln ỗỗ ỗ ữ ố1 + b ữ ø (2.60) +1 ò dx - 1- x2 (1 - bx ) ( ) ln - x = éê th - 1b = ê1 + b b êë é1 - th - 1b ự+ ờở ỳ ỷ ổ1 ln ỗỗ th - 1b ỗốb ự ổ 2b ữỳ ữ ữ 1ữ + L ỗỗ ữ ữ ữ b ốỗ1 + b ứ ữỳ ứ ỳ ỷ (2.61) Kết đánh giá tích phân đưa đến I n( e ) = 2p é ùé1 ù ê + ln (e ) + g E - ln p úê th - 1b - 1ú+ ên - úêb ú ë ûë û + C ( b ) + O (n - 4) ( ) hay 30 (2.62) é ù I n( e ) = C ê + ln (e ) + gE - ln p ú+ C (b ) + O (n - 4) ên - ú ë û ( ) (2.63) C , C (b ) xác định công thức (2.39a) (2.39b), g E số Euler Để kết thúc chương dẫn bảng so sánh kết tách phân kỳ nhận hai phương pháp khác nhau: phương pháp l phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Phương pháp l I = - ò R m ổp ổpm p1m ữ ỗỗ m ỗỗ - p1 ữ ữ ữ I = ữ ỗỗ p k p k ữ ỗ ữ ữ ỗ ÷ p k p k ÷ è ø è ø 2k (2p ) d 3k ị R m ỉp ỉpm p1m ữ ỗỗ m ỗỗ - p1 ữ ữ ữ ữ ỗỗ p k p k ữ ỗ ÷ ÷ ÷ p k p k ÷ ç øè ø 2k (2p ) è d 3k R xác định điều kiện R xác định điều kiện 0£ k £ e 0£ k £ e I = 16p + ị m2 íï ï k 2d k d Wïï m2 ì r k + l ïïï E k + l - pr k ïïỵ r r E k + l - p1k ( + e (E ( + ) + ) r r 2p1p2 r r r r k + l - p2k E k + l - p1k )( ) I ( e) n ổp p1m ỗỗ m = - ũ ỗ n- p1.K K ỗố p2 K e (2p ) ỉ pm p1m ÷ ç ÷ çç ÷ ÷ çè p2 K ÷ p1.K ø d ( n - 1)K ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ü ïï ïï ý ùù ùù ỵ ộ ự I n( e ) = C ê + ln (e ) + g E - ln p ú ên - ú ë û + C (b ) + O (n - 4); n ® I = C (- ln l + ln e ) + C (b ) , l ® ( ) 31 Tốc độ phân rã cho q trình m ® e + n%e + nm theo (1.32) ta nhận được: W0 = G 2m m5 192p (2.64) biểu thức hữu hạn Bằng phương pháp l : thay (2.39) vào (2.14), thu tốc độ phân rã cho trình m ® e + n%e + nm + g W = W 0e C éê- ln l + ln (e )ù ú+ C (b ) ë û { } (2.65) phân kỳ l ® Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: thay (2.63) vào (2.14), thu tốc độ phân rã cho q trình m ® e + n%e + nm + g ù ïí é ïü W = W ïì C ê + ln (e ) + gE - ln p ú+ C (b ) + O (n - 4)ïý (2.66) ú ïï êën - ùù ỷ ợ ỵ ( ) phõn kỳ n ® Nghiên cứu bổ cho trình người ta phải kể tới đóng góp xạ hãm, luận văn nghiên cứu đóng góp photon thực mềm Việc kể thêm photon làm cho yếu tố ma trận xuất phân kỳ hồng ngoại Để tách phân kỳ ta áp dụng hai cách khử phân kỳ (phương pháp l phương pháp điều chỉnh thứ nguyên) tiến hành so sánh kết nhận Hai kết trùng nhau, công thức (2.65) (2.66) ta thực phép thay ổ g ữ ln l = - ỗỗỗ + E - ln p ÷ ÷ ÷ çèn - ø (2.67) Để tách thừa số phân kỳ biểu thức (2.66) ( n ® ) biểu thức (2.65) ( l ® ), phải tính thêm photon mềm ảo, lấy tổng giản đồ bậc chứa photon thực photon ảo, phân kỳ triệt tiêu Vấn đề tiếp tục thời gian tới 32 KẾT LUẬN Trong luận văn thạc sĩ trình phân rã điện yếu muon thành electron, phản neutrino - e neutrino - muy m ® e + n%e + nm nghiên cứu bậc thấp (bậc theo G- số tương tác yếu bậc theo e - số tương tác điện từ) lý thuyết nhiễu loạn tính tốc độ phân rã trình Luận văn đạt số kết sau: Ta tìm biểu thức cho tốc độ phân rã q trình m ® e + n%e + nm , gây tương tác yếu Biểu thức cho tốc độ phân rã hữu hạn Nghiên cứu lượng bổ điện từ gần photon thực cho q trình m ® e + n%e + nm + g , phân kỳ hồng ngoại xuất yếu tố ma trận, khử theo hai cách: phương pháp l , phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Biểu thức cho tốc độ phân rã q trình m ® e + n%e + nm + g , chứa phân kỳ So sánh kết cho biểu thức tốc độ phân rã q trình có bổ chính, rút liên hệ tham số hai cách khử Để loại bỏ phân kỳ biểu thức tốc độ phân rã ta cần tính thêm photon ảo mềm, vấn đề nghiên cứu tương lai 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Ngọc Giao (2001), Hạt bản, nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [3] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt bản, nhà xuất thống kê Tiếng Anh [4] A.I Akhiezer and V.B.Berestetskii, Quantum Electrodynamics, New you, 1995 [5] M Bilenky, J Hosek, Glashow-Weinberg-Salam Theory of Electroweaks Interactions and the Neutral Currents, Phys Rep, 90C(1982)73 [6] D Bailin, Weak Interactions, Adam Hilger, Ltd Brisol, 1982 [7] N.N Bogoliubov and D.V Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized Fiels, 3rd Edition, John Wiley & Sons, New York, 1984 [8] K.E Erikson, Nuovo Cimento 19 (1961) 1010 [9] R Gastmans and R Meuldermans, Nucl Phys B63(1973)277 [10] G ’t Hoof and M.Veltman, Nucl Phys B44(1972) 189 [11] J.M Jauch and F.Rohrlich, Theory of Photons and Electrons(AddisonWesley reading, Mass.1955) ch.16 [12] T Kinoshita, J.Math,Phys, 3(1962)650 T.D Lee and M.Nauenberg, Phys.Rev.133(1964)B1549 [13] G Marques and N.Papanicolaou, Infrared Problems in Quantum Electrodynamics; Reduction of Cohenrentstates and Cross Section Fromulae, NYU preprint TR17/74 and References therein 34 [14] W Marciano, Nucl.Phys.B84(1975)132 [15] S Weiberg Recent Progress in the Gauge Theories of the Weak, Electromagnetic and Strong Interactions, Rev Mod Phys 46(1974)255 [16] T-Y Wu and W-Y Pauchy Hwang, Relativistic Quantum and Quantum Fiels, World Sienticfic, 1990 [17] D.R Yeine, S.Cfraustchi and H.Suura, Ann Of Phys 13(1961)379 and Referencestherein 35 PHỤ LỤC A PHƢƠNG PHÁP KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN A.1 Những luận điểm Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên lần năm 1972 G’t Hoof Veltman[10] sử dụng để chứng minh tính tái chuẩn hóa lý thuyết trường chuẩn không Abel Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên bao gồm bước sau[3]: Tích phân theo đa tạp 4- chiều xung lượng ảo thay tích phân ký hiệu tương ứng việc lấy tích phân theo không gian n = - 2e chiều Trong e coi đại lượng dương xác định, phép lấy tích phân thực n số khơng ngun Trong phép lấy giới hạn có ngầm định: m = m - 1d (d ® + ) Trong không gian Euclide việc đưa phép khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun có nghĩa: ¥ ò (d p) = E ¥ ò d Wò p dp ® ị d W(4) n pº m 2e ò d Wò p W( n ) n- dp, (A.1) Ở thể tích W(n ) hình cầu đơn vị khơng gian n chiều ngoại suy từ hàm Gamma Euler: n 2p W(n ) = ổn ữ Gỗỗ ữ ữ çè ÷ ø Tham số m có thứ ngun thứ nguyên khối lượng đưa vào suy luận từ bảo toàn thứ nguyên chung Các phép biến đổi tham số Feynman: = ab 1 ò dx [ax + b(1 x )]2 (A2) 36 1- x 1 = 2ò dx ò dy abc [ a (1 x y ) + bx + cy ] 0 (A3) Tính tích phân theo xung lượng: Ta áp dụng số tích phân ví dụ như: ò (p n d p = (- 1)m i p m - 2pk + l ) n n ) G(m ) G(m - m- (k - l ) n (A4) Thác triển giải tích cho e ® , ta tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân ban đầu A.2 Các tọa độ cầu khơng gian n-1 thứ ngun Các phép lấy tích phân d n - 1K mục 2.3 thực từ tọa độ đến tọa độ cầu kéo theo K (n -2) biến số góc Nhận thấy phương trình biến đổi: K = K cos q1 K = K sin q1 cos q2 K = K sin q1 sin q2 cos q3 K n - = K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - cos qn - K n - = K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - sin qn - £ qi £ p i = 1, 2, 3, , n - £ qn - £ 2p (A.5) Jacobian cần thiết cho ta òd n- K = òK n- sin n - q1 sin n - q2 sin qn - sin qn - 3d q1d q2 d qn - 2d K p.K = EK - p K cosq = K E (1 - b cos q) (A.6) (A.7) biểu thức dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K q , góc p n - thành phần K vector, qua hệ thức liên hệ 37 p ò sin m qd q = ổ1 ữ Gỗỗ (m + 1)ữ ữ çè2 ÷ ø p ỉ1 ÷ Gçç (m + 2)ữ ữ ữ ỗố2 ứ (A.8) Dn n: ũd n- 2p K = ổ1 Gỗỗ n çè2 n- p dK ị ị ÷ 1÷ ÷ ÷ ø K n- sin n - qd q (A.9) hay qua biến x = cosq n- 2p ổ1 Gỗỗ n çè2 ÷ 1÷ ÷ ÷ ø ịd K ò dx K n- ( 1- x2 - 38 n- 2 ) (A.10) PHỤ LỤC B VẬN DỤNG VÀO MƠ HÌNH TỰ TƢƠNG TÁC CỦA TRƢỜNG VÔ HƢỚNG L int = gj Để minh họa phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mô hình tốn học tương tác đơn giản L int = gj Trong g - số tương tác, cịn j - trường thực vơ hướng B.1 Giản đồ lƣợng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mô hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: i p2 I (k ) : ò dp é ù 2 m - p - i e êm - (p - k ) - i e ú êë ú û ( (B.1) ) Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vơ hướng (xem Hình B.1) k p p-k p Hình B.1 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n = - 2e ) ta viết: i m2 e dnp p ò (m - p )(m - ( p - k )2 ) i m2 e dnp = ò p ( p - m )(( p - k )2 - m ) I (k ) ® regeJ (k ) = (B.2) Áp dụng công thức tham số hóa Feynman = ab ị dx , [ax + b(1 - x )]2 (B.3) với a = ( p - k )2 - m 2, b = p - m 39 Ta được: i m2 e regeJ (k ) = p i m2 e = p dnp ò dx ò {[( p - k )2 - m ]x + ( p - m )(1 - x )}2 dn p dx ò ò {p - 2pkx + k 2x - m }2 (B.4) Áp dụng tích phân: ị (p n với m = 2, d p = (- 1)m i p m - 2pk '+ l ) regeJ (k ) = im p2 n ) G(m ) G(m - m- (k ' - l ) n k ' = kx ta l = k 2x - m 2, 2e n ò (- 1) i p n n ) G(2) G(2 - 2 2 2- {k x + m - k x } n i 2m2 e 2- e G( e) = ( p ) dx ò p2 {m - x (1 - x )k }e e é ù m ú = - G( e) ò dx êê 2 ú ëp {m - x (1 - x )k } û (B.5) Sử dụng công thức khai triển: a e = + e ln a Ta có: e é ù é ù m2 m2 ê ú = + e ln ê ú êp {m - x (1 - x )k } ú êp {m - x (1 - x )k } ú= ë û ë û ép {m - x (1 - x )k } ù ém - x (1 - x )k ù ê ú ú- e ln p = - e ln ê = - e ln êê 2 ú ú m m ë û ë û G( e) = - g + O ( e) e (B.6) g = 0.5772 số Euler Mascheroni 40 2ù í ü é ỉ1 ÷ ïï - e ln êm - x (1 - x )k ỳ- e ln p ùù ỗ regeJ (k ) = - ỗ - g + O ( e)÷ dx ì ý ÷ ê ú ÷ị ïï ỗốe ùù m ứ ỷ ợ ỵ Cho e ® 0+ Ta được: regeJ (k ) = - + I huu han ( e) e ém - x (1 - x )k ù ê ú+ ln p + g dx ln ò ê ú m ë û I huu han ( e) = (B.7) Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân (phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực tách thành e phần riêng B.2 Giản đồ đỉnh Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau đây: G(p, k ) = ip òm dq 1 ´ ´ - q m - (q + k )2 m - (p - q )2 (B.8) tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q hàm truyền vơ hướng vơ hướng , đường khác có xung lượng (q + k )- hàm truyền m - q2 , cịn đường cịn lại có xung lượng m - (q + k ) (p - q )- hàm truyền vô hướng m - (p - q ) Giản đồ Feynman: k q+ k q p p- q Hình B.2 41 p+ k Viết lại tích phân (B.8) dạng: G(p, k ) = i p2 = ip òm dq 1 ´ ´ 2 - q m - (q + k ) m - (p - q ) dq 1 ´ ´ ò q2 - m 2 2 (q + k ) - m (p - q ) - m (B.9) Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: G( p, k ) ® regeI ( p, k ) = i m2e p2 d nq ò (q2 - m )[(q + k )2 - m ][( p - q)2 - m ] (B.10) Sử dụng cơng thức tham số hóa Feynman: 1- x 1 , = 2ò dx ò dy abc [ a (1 x y ) + bx + cy ] 0 với (B.11) íï a = q - m ïï ï b = (q + k )2 - m ì ïï ïï c = ( p - q)2 - m ỵ ta có a(1 - x - y ) + bx + cy = = (q - m )(1 - x - y ) + [(q + k )2 - m ]x + [( p - q)2 - m ]y = q2 - 2q( py - kx ) + k 2x + p 2y (B.12) Tích phân (B.10) viết lại: 2i m2e regeI ( p, k ) = p2 1- x ò dx ò dy ò d q [q n 0 - 2q( py - kx ) + k 2x + p 2y ]3 (B.13) Áp dụng cơng thức: ị (p với n d p = (- 1)m i p m - 2pk '+ l ) n n ) G(m ) G(m - m = 3; l = k 2x + p 2y ; k ' = py - kx ta được: 42 m- (k ' - l ) n (B.14) 2e 2i m p2 regeI ( p, k ) = 2e = 2m 1- x ò dx ò dy (- 1) i p 1- x ò dx ò dy p = m 0 n n ) G(3) G(3 - 2 3- [( py - kx ) - k x - p y ] p 2- e G(1 + e) 2 p [( py - kx ) - k 2x - p 2y ]1+ e 1+ e ỉ m2 ÷ çç ÷ dx dy G (1 + e ) ữ ũ ũ ỗốỗp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ø ÷ 0 n 1- x (B.15) Khai triển ỉ1 ÷ G(1 + e) = eG( e) = e ỗỗ - g + O ( e)÷ = (1 - eg + eO ( e)), ữ ỗốe ữ ứ 1+ e ổ m2 ữ ỗỗ ữ ữ ỗỗốp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ø ÷ (B.16) ỉ m2 ữ ỗ ữ = + (1 + e) ln ỗỗ 2 ữ ữ ỗốp[( py - kx ) - k x - p y ]ø æp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]÷ ÷ = - (1 + e) ln ỗỗỗ ữ ữ ỗố m2 ứ (B.17) ta có: regeI ( p, k ) = p = m æp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ử ùớù ùỹ ữ ù , (B.18) ỗỗ ÷ dx dy eg + e O ( e ) (1 + e ) ln ì ý ( ) ữ ũ ũ ỗỗố ữ ù ùù m ứ ù 0 ợ ỵ 1- x cho e ® 0+ ta thấy tích phân hữu hạn 1- x íï ỉp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]÷ ưü ïï p ÷ regeI ( p, k ) = ị dx ũ dy ùỡ - ln ỗỗỗ (B.19) ý ữ ữ ù ù ỗ m m ố ứùỵ ùợ Kt lun: vi bi toỏn hm nh hạt vơ hướng tích phân (B.8) khơng phân kỳ mà lượng hữu hạn xác định (B.19) Một vấn đề đặt ra: liệu sử dụng phương pháp khử phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên, để tiếp tục khử phân kỳ hồng ngoại QED photon bị xạ hay hấp thụ có lượng thấp khối lượng nghỉ không hay không? Vấn đề vận dụng thành công mục 2.3 luận văn 43 ... )m) (e (e/ e ) gl (1 + g )ne ) ÷ + ÷ 2 ÷ ÷ ( p2 + k ) - m e ø l * p2 + k + m e ổ p - k + mm ỗ + ỗỗ( mg l (1 + g ) (E /e) n m) (ne gl (1 + g )e) + ỗỗố ( p1 - k )2 - m m2 ÷ + ( mg (1 + g )v m) (ve (e/ e... 2m mE + 2k - m m + E - p2 cosq ³ 0, Þ k0 £ m e2 + m 2m - 2m mE ( m m - E + p2 cos q ) = m m (E m - E ) m m - E + p2 cos q 26 Þ (k ) max Trong E m = = m m (E m - E ) m m - E + p2 cos q (m m + m. .. ) (g (1 + g )) g e (q , s ) = n (q , s )g (g (1 + g )) g e( q , s ) e (q1, s1 )g l (1 + g )ne (q2, s ) = e + (q1, s1 ) g g l (1 + g ) ne (q2, s ) + e + l 2 e 0+ + + + l ( + ) = ne (q2, s )g g l