Luận văn thạc sĩ về phức koszul

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HOC NGUYEN TH± QUỲNH VE PHC KOSZUL LUắN VN THAC S H NđI- 2015 AI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HOC NGUYEN TH± QUỲNH VE PHÚC KOSZUL LU¾N VĂN THAC SĨ Chuyên ngành: Đai so lý thuyet so Giang viên hưáng dan: TS Nguyen Phn Hồng Lân LèI CAM ƠN Nhân d%p này, tơi muon bày to lòng biet ơn sâu sac đen TS.Nguyen Phu Hồng Lân, thay trnc tiep hưóng dan, t¾n tình chi bao tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Đong thịi, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo, giáo khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi day bao tơi t¾n tình suot q trình HQc t¾p tai khoa Tôi xin trân TRQNG cam ơn thay, cụ Hđi ong bao vắ luắn cna tơi Các thay, ĐQc, góp ý, giúp đõ đe tơi có the chinh sua lu¾n văn đưoc tot Cuoi cùng, xin cam ơn gia đình, ban bè tat ca MQI ngưịi quan tõm, tao ieu kiắn v đng viờn c v tụi đe tơi có the hồn thi¾n nhi¾m vu cna Xin chúc MQI ngưòi súc khoe, đat đưoc nhieu thành tích cao cơng tác, HQc t¾p nghiên cú khoa HQc Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2015 HQc viên Nguyen Th% Quỳnh Mnc lnc DANH MUC CÁC KÝ HIfiU LèI Me ĐAU Kien thÉc chuan b% 1.1 Các phúc đong đieu cna phúc 1.1.1 Các phúc 1.1.2 Đong đieu cna phúc 1.1.3 Các cách xây dnng m®t phúc khác tù phúc cho 13 1.2 Các dãy giai mơđun mo r®ng 15 1.2.1 Các dãy giai 15 1.2.2 Các mơđun mo r®ng 16 1.3 Đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so 17 1.3.1 Đai so tenxơ .17 1.3.2 Đai so đoi xúng 21 1.3.3 Đai so .25 Đ® sâu 28 PhÉc Koszul 35 3.1 Cách xây dnng Phúc Koszul theo tích ngồi .35 3.2 Cách xây dnng Phúc Koszul bang cách lay tenxơ phúc 37 3.3 M®t so tính chat ban cna phúc Koszul 39 Úng dnng cua phÉc Koszul 41 4.1 Phúc Koszul dãy quy .41 4.2 Phúc Koszul đ® sâu .43 4.3 Phúc Koszul dãy giai tn cna đai so đoi xúng 44 Ket lu¾n 49 Tài li¾u tham khao 50 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU Sau nhung ký hiắu oc dựng luắn k mđt trũng R m®t vành giao hốn có đơn v% M m®t R-mơđun I m®t R-iđêan M ⊗R N tích tenxơ cna M v N vúi hắ so trờn R mđt R-ai so tenxơ cna mơđun M T (M ) m®t R-đai so đoi xúng cna môđun M S (M ) m®t R-đai so ngồi cna mơđun M ∧(M ) HomR(M, N ) t¾p R-đong cau mơđun tù M vào N C• ⊗ K• tích tenxơ cna hai phúc C• K• n R[x , , x ]vành đa thúc n bien vói h¾ so n R Ext R(M, N ) môđun mo r®ng thú n cna M N (x1, x2, , xn) m®t R-iđêan đưoc sinh boi phan tu x1, x2, , xn (R, m) vành đ%a phương R vói iđêan cnc đai m depth(I, M ) Đ® sâu cna iđêan I mơđun M K•(x) phúc Koszul cna dãy x Kã(x; M ) phỳc Koszul cna dóy x vúi hắ so M Ann(M ) linh tu cna M Me ĐAU Phúc Koszul m®t đoi tưong quan TRQNG cna đai so đong đieu Phúc đưoc đ¾t theo tên cna nhà tốn HQc ngưịi Pháp Jean-Louis Koszul, có moi liên h¾ m¾t thiet vói dãy quy đ® sâu cna m®t iđêan N®i dung chớnh cna luắn l trỡnh by lai mđt so kien thúc ban ve dãy quy, đ® sâu, phúc Koszul nêu m®t vài úng dung ban cna phúc Koszul Bo cuc cna lu¾n văn đưoc trình bày sau Chương 1: Trình bày lai m®t so kien thúc ban cna đai so đai cương đai so đong đieu như: phúc, đong đieu cna phúc, tích tenxơ cna hai phúc, đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so ngoài, dãy giai mơđun mo r®ng Chương 2: Trình bày lai m®t so kien thúc ban ve dãy quy, dãy quy cnc đai, tù đen khái niắm đ sõu cna mđt iờan Chng 3: Trỡnh by cách xây dnng phúc Koszul m®t so tính chat ban cna Chương 4: Nêu m®t vài úng dung ban cna phúc Koszul như: phúc Koszul cna m®t dãy quy cho ta m®t dãy giai tn cna iđêan sinh boi dãy đó, kiem tra m®t dãy phan tu iđêan cnc đai cna m®t vành đ%a phương dãy quy, tính đ® sâu cna m®t iđêan, xây dnng m®t phúc vói đong đieu cna o v% trí đai so đoi xúng cna m®t iđêan Chương Kien thÉc chuan b% Muc đích cna chương trình bày lai m®t so kien thúc ban cna đai so đai cương đai so đong đieu: phúc, đong đieu cna phúc, tích tenxơ cna phúc, đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so ngồi, dãy giai mơđun mo r®ng Nđi dung chng ny dna trờn cỏc ti liắu [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15] Trong suot luắn vn, chỳng tụi luụn gia su R l mđt vành giao hốn có đơn v% Các mơđun đong cau đeu đưoc hieu R-môđun đong cau R-môđun 1.1 1.1.1 Các phÉc đong đieu cua phÉc Các phÉc Các nghiên cúu ve môđun đong cau giua chúng có the đưoc dien ta thơng qua phúc Đ%nh nghĩa 1.1 M®t dãy mơđun đong cau M• : · · · → M ∂n+1 ∂n n+1 − → Mn Mn− → (1.1) −→ đưoc gQI m®t phúc neu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z Tương tn, m®t dãy mơđun đong cau ∂− M• = · · · → Mn−1 → n−1 M n − M n+1 → , → n ∂ (1.2) đưoc gQI m®t đoi phúc neu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z M®t phúc đưoc GQI kháp v% trí thú n neu Ker ∂n = Im ∂n+1 M®t phúc đưoc GQI kháp neu khóp tai MQI v% trí Lưu ý rang, m®t phúc (khóp) có the huu han, dãy (1.1) huu han Ví dn 1.2 Cho hai phan tu x, y ∈ R Khi dãy sau m®t phúc (x y) (−y) → R −x→ R2 − → R → Hơn nua, neu x khơng ưóc cna khơng R y khơng ưóc cna khơng R/(x) phúc khóp Nh¾n xét 1.3 Theo đ%nh nghĩa, ta có (i) M m®t mơđun tn chi ∃n ∈ N∗ : Rn → M → dãy khóp, (ii) f : A → B đơn ánh chi → A →− f B dãy khóp, g (iii) g : B → C toàn ánh chi B →− C → dãy khóp Vi¾c ket hop dãy khóp tao nên m®t loai dãy khóp rat quan TRQNG, đưoc GQI dãy khóp ngan Đ%nh nghĩa 1.4 M®t dãy khóp vói mơđun có dang → M j → M → M jj oc gQI l mđt dóy khỏp ngan Nhắn xét 1.5 MQI dãy khóp dài · · · → M ∂n+1 n+1 − → Mn ∂n Mn− → −→ đeu có the phân tích thành dãy khóp ngan − → ker ∂n − → Mn − → im ∂n − → ǁ − → ker ∂n+1 − → Mn+1 − → im ∂n+1 − → Đe liên ket phúc, ta su dung khái ni¾m đong cau giua phúc %nh ngha 1.6 Mđt ong cau giua hai phỳc Mã v l mđt HQ cỏc Mj ong cau fã := {fn ∂ : Mn → Mj } • n∈Z cho bieu đo sau giao hốn hay xk+1 khơng ưóc cna khơng R/(x1, , xk) Do dãy x1, , xk, xk+1 thoa ieu kiắn (ii) %nh ngha 2.1 Mđt h¾ qua rút tù chúng minh cna đ%nh lý dãy x1, qua ,4.3 xn Cho trongM iđêan cnc đai m Neu i(x1, , xncỏc ; Mphan ) =tu Hắ l mđt mụun trờnHvnh đ%a phương (R, m) m®t Hi(x1, , xn−1; M ) = 0, vái i ≥ 4.2 PhÉc Koszul đ® sâu Ta có the xác đ%nh đ® dài chung cna MQI M -dãy cnc đai đưoc chúa m®t iđêan m®t vành Noether đ%a phương Bo 4.4.tuCho M x= x1, , xn m®t dãy đe phan R.m®t Giamơđun, su I =và(x 1, , xn) chúa m®t M -dãy y = y1, , ym Khi Hn+1−i(x; M ) = vái i = 1, 2, , m, R Hn−m(x; M ) ∼= HomR(R/I, M/yM ) ∼= Extm(R/I, M ) Chúng minh Ngưịi ĐQ c có the xem [3, tr 50] han I lý = (x , , xn ) ⊂ R cho IM ƒ= M , MQI M -dãy sinh, cnc Đ%nh 4.5 Cho R vành Noether đ%a phương, M m®t mơđun huu đai đưac chúa I đeu có đ® dài inf {k | Hn−k (x1 , , xn ; M ) ƒ= 0} Iy =là(x , , xn ) ⊂ R đeu có đ® dài Ta gia su y = y1 , , m®t Chúng minh Theo Đ%nh lý 2.10, MQI M -dãy cnc đai đưoc chúa m iđêan M -dãy cnc đai đưoc chúa iđêan I = (x1, , xn ) Ta can chi rang m = inf {k | Hn−k (x1 , , xn ; M ) ƒ= 0} Áp dung Bő đe 4.4, ta đưoc Hn−k(x1, , xn; M ) = 0, ∀ ≤ k ≤ m− Hơn nua, Hn−m(x1, , xn; M )R ∼= Extm(R/I, M ) ƒ= Thắt vắy, gia su ngoc lai, tỳc Hnl(Kã(x1, , xn; M )) = 0, theo Nh¾n xét 4.3, ta có Hn−l(K•(x1, , xl; M )) = Đieu không l = n Nh vắy, l = inf {k | Hnk(Kã(x1, , xn; M )) ƒ= 0} Đ%nh lý cho ta cách xác đ%nh depth(I, M ) chieu dài cna MQI M -dãy cnc đai iđêan I cho IM ƒ= M Neu IM = M , ta qui ưóc depth(I, M ) = ∞ Đ%nh lý 4.5 chi rang, vói m®t iđêan thnc sn I ⊂ R đưoc sinh boi n phan tu depth(I, R) ≤ n, đong đieu thú cna phúc Koszul khơng tam thưịng I ƒ= R 4.3 PhÉc Koszul dãy giai tE cua đai so đoi xÉng Cho I m®t iđêan cna vành R Ta có the thu đưoc m®t so thơng tin cna I thơng qua vi¾c nghiên cúu đai so đoi xúng S(I) cna Khi đai so đoi xúng S(I) có m®t dãy giai tn nhieu thơng tin ve S(I) ve I có the thu đưoc thông qua dãy giai Trong phan ny chỳng tụi xin giúi thiắu thờm mđt ỳng dung khỏc cna phỳc Koszul viắc xõy dnng mđt loai phúc mà m®t so trưịng hop chúng m®t dãy giai tn cna S(I) Gia su x = (x1, , xn) l mđt sinh cna iđêan I cna vành R Tù hai đong cau u :R[T1 , , Tn ]n −− 1, , Tn] −→R[T Σ a x , i i (x1, ,xn) n (a1, , an) i=1 −− −→R[T −→ , (T , ,T ) n v :R[T1 , Tn ]n n 1, , Tn] Σ aiTi, (a1, , an) i=1 −→ ta xây dnng hai phúc Koszul K•(x; R[T]), K•(T; R[T]) vói đong cau tương úng dx, dT Ta có the kiem tra rang đong cau thoa mãn dx ◦ dT + dT ◦ dx = Tù tính chat này, ta có the xây dnng đưoc m®t phúc mói, đưoc GQI phúc xap xs, vói mơđun ker dx , đong cau dT , v oc kớ hiắu l Zã Zã = (kerdx ; dT ) Phúc có phan cuoi ker u →−v R[T (Z• H0 Σn , ] → Do , Tn R[T1, , Tn] ) = v(ker(u)) , Σ Σ n fiTi f1, , fn ∈ R[T1, , Tn] fixi = Hơn nua, theo H¾ qua 1.36, ta có R[T1, ∼= S(I) ) = H0(Z• , Tn] v(ker(u)) deg(t) = dn Gia f1,Rf2:= , f3k[s, nhatvói b¾c d R Ta Ví 4.6 su Cho t] đa thúc vành thuan đa thúc phân b¾c chuan, deg(s) = xây dnng phúc Koszul phân b¾c cna f1, f2, f3 → R[−3d] R → 0, (4.1) 3 d R[−2d] R[−1d] −→ d d ú R[i] l mđt vnh phõn bắc vói (R[−i])k = Rk−i Ta can thnc hi¾n sn d%ch chuyen b¾c v¾y đe đong cau đeu đong cau phân b¾c Các vi phân d3, d2, d1 đưoc xác đ%nh sau d3(e1 ∧ e2 ∧ e3) = f1e2 ∧ e3 − f2e1 ∧ e3 + f3e1 ∧ e2, d ∧e ) = f1e2 −f e ; d2(e1 ∧e ) = f1e3 −f e ; d2(e2 ∧e ) =2(e f e −f e , d (e ) = f ; d (e ) = f ; d (e ) = f 3 1 1 2 3 Do đó, các.vi phân d , d2, df1 có tr¾n f3 ma 0Σ f3 Σ −f1 f2 , d2 f3 −= − d3 = f1 f2 , d1 = (f1 f2 f3) f1 Ta lay tenxơ cna vói R[T1, T2, T3] R ta thu oc mđt phỳc, kớ hiắu phỳc (Kã(f(4.1) , f2 , f3 ), u• ), có dang 0→ , , R[T1 T2 T3 ][−3d] −u→ R[T , u2 ][−2d]3 −u→ , u1 T2 T3 −→ R[T1 , T2, T3 ][−1d] −→ R[T1 , T2, T3 ] → 0, ma tr¾n cna vi phân ui giong vói ma tr¾n cna di vói MQI i Lưub¾c ý rang, R[Tt] 1, T2, T3] l mđt vnh phõn bắc kộp, cú mđt phõn tự Rvnh = k[s, v mđt phõn bắc khỏc tự k[T , T2, T3] vói deg(T1) = deg(T2) = deg(T3) = Ta su dung kí hi¾u (-)1 cho sn thay i bắc k[T1, T2, T3] Ta cú mđt phúc Koszul phân b¾c khác R[T1, T2, T3] liên ket vúi dóy T1, T2, T3, kớ hiắu (Kã(T1, T2, T3), v•), có dang 0→ R[T1 , , T2 T3 ](−3) −→v R[T , , ](−2)3 −→v v1 v2 T2 T3 −→ R[T1 , T2, T3 ] −→ R[T1 , T2, T3 ] → 0, (4.2) (−1) viTphân vi đưoc cho T boi T Σ T2 Σ , v2 −T12 T3 −= − T3) v3 = T1 T2 , v1 = (T1 T2 T1 Hơn nua, theo Đ%nh lý 4.1, T1, T2, T3 m®t dãy quy R[T1, T2, T3] nên phúc (4.2) l mđt dóy khúp Phỳc xap xi Zã cna hai phúc (K•(f1 , f2 , f3 ), u•) (K• (T1 , T2, T3 ), v•) có mơđun thành phan Zi ∼= ker(di)⊗R R[T1, T2, T3] (đang thúc có đưoc ta tenxơ m®t mơđun R vói m®t mơđun tn do) đong cau thành phan vi, vói i = 0, 1, 2, v3 v2 v1 (Z• , v• ) : → Z3(−3) −→2 Z (−2) −→ Z (−1) −→ Z0 = R[T1 , T2, T3 ] → Đ¾t I = (f1, f2, f3) iđêan cna R[T1, T2, T3] Ta biet H0(Z•) ∼= S(I) Đe minh HQA, ta kiem tra rang có the dùng vi phân v2 đe ánh xa v2 cna (K•(T1, T2 , T3), v• ), ta có vào theZánh xa.ZZ1.2ΣSu vàodung R[T1vi , Tphân , T3 ](−1) Hơn nua, u1 ◦ v2 + v1 ◦ u2 = 0, th¾t v¾y, ∀ α β γ ∈ 1, T2, T3] , ta có R[T α α Σ Σ (u1 ◦ v2) + (v1◦ u2) β = γΣ Σ β Σ Σ γ f3 α −ff12 −TT1 0T3 0T3 α f3 β − − (f1 f2 β +(T1 T2 T1 T2 f1 f2 γ T3) f3) γ = Do đó, ta có v2(Z2) ⊂ Z1 deg(t) = Cho vàRf1= , k[s, f2, f3t,, fu] đa thúc thuan nhat b¾c d = Ta deg(u) Ví dn 4.7 vành đa thúc phân b¾c chuan vói deg(s) = xây dnng phúc Koszul phân b¾c cna f1, f2, f3, f4 → R[−4d] R → 0, (4.3) R[−3d]4 R[−2d]6 R[−1d]4 d −→ −d→ −d→ −d→ vi phân đưoc cho boi  f3 f4 0   f02 f3 −f −f4 f4 , −0  , d f f f1 0 d =2− =   f1 f3  0 f f2− f   −f2 −f3 −f4 0  − d2 =   f1 0 f1 f4 0 f3 f2 f4 0 −   , d1 = (f1 f2 f3 f4) 0 f1 f2 f3 Ta lay tenxơ cna phúc (4.3) vói R[T] = R[T1, T2, T3, T4] R ta thu đưoc mđt phỳc, kớ hiắu (Kã (f1, f2, f3, f4), uã ), có dang → R[T][−4d] −u→ R[T][−3d]4 −u→ R[T][−2d]6 −u→ R[T] [−1d]4 −u→ R[T] → 0, ma tr¾n cna vi phân ui giong vói ma tr¾n cna di vói MQI i Vành R[T1, T2, T3, T4] có m®t phân b¾c khác tù k[T1, T2, T3, T4] vói deg(T1) = deg(T 2) = deg(T3) = deg(T4) = Ta su dung kí hi¾u (-) cho sn thay đői b¾c k[T , T , T , T ] Ta cú mđt phỳc Koszul phõn bắc khỏc trờn R[T1, T2, T3, 1T4] 2liên3ket4vói dãy T1, T2, T3, T4, kí hi¾u (K•(T1, T2, T3, T4), v•), có dang → R[T](−4) −→v −→ R[T] → 0, (4.4) R[T](−3)4 R[T](−2)6 −→ v3 −→v2v −→ (−1)R[T] vi phân vi đưoc cho boi  T3  T−T v = −  T −T 02 − T1 T4 v1  T T2 −T4 0  T1 T4 0 ,  T     −T2 −T3 −T4 v2 = T1   Hơn nua, T1, khóp T1 T4 0  −T3  ,v = − T3 T2 T4  , v1 = (T1 T2 T3 −  T4 ) T1 T2 T3 T2, T3, T4 dãy quy R[T] nên phúc (4.4) Phúc xap xi Z• cna hai phúc (K• (f1, f2, f3, f4), u• ) (K• (T1 , T2, T3 , T4), v• ) có mơđun thành phan Zi ∼= ker(di)⊗R R[T1, T2, T3] (đang thúc có đưoc ta tenxơ m®t mơđun R vói m®t mơđun tn do) đong cau thành phan vi, vói i = 0, 1, 2, 3, (Z•, v• ) : → Z Z3(−3) v3 Z2(−2) v2 Z1(−1) v1 Z0 = R[T] → (−4) −→v −→ −→ −→ Đ¾t J = (f1, f2, f3, f4) iđêan cna R[T] Ta biet H0(Zã) = S(J ) Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn l trỡnh by lai mđt so kien thúc ban ve dãy quy, đ® sâu cna m®t iđêan, phúc Koszul m®t vài úng dung ban cna phỳc Koszul Luắn oc trỡnh by mđt cách h¾ thong tương đoi đay đn cách xây dnng phúc Koszul, đưa m®t so tính chat ban cna phúc Koszul Lu¾n văn e cắp en oc mđt so ỳng dung cna phỳc Koszul.Vì thịi gian kha có han nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp, phê bình bő sung cna q Thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Massachusetts, 1969 [2] N Bourbaki, Algebra I Chap - 3: Elements of Mathematics, Hermann, Paris, 1974 [3] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies in advanced mathematics, No 39, Cambridge University Press: Cam- bridge, 1993 [4] D A Buchsbaum and D Eisenbud, Some structure theorems for Finite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), 84-139, 1974 [5] L Busé and M Chardin, Implicitizing rational hypersufaces using approximation complexes, Journal of Symbolic Computation, Elsevier, 40(4-5), pp.1150-1168, 2005 [6] H Cartan and S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press: Princeton, New Jersey, 1956 [7] D S Dumit and R M Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc, 2004 [8] D Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebra Geometry, Graduate Texts in Mathematics No.150, Spring-Verlag: New York, 1995 [9] J Herzog, A Simis, and W V Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79169, 1983 [10] N.H.V Hưng, Đai so đai cương, NXB Giáo duc, 1998 [11] N.H.V Hưng, Đai so tuyen tính, NXB Giáo duc, 2000 [12] S Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/sp14/790/koszul120611.pdf [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, 2010 http://people.reed.edu/ iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30, 239-255, 1980 ... PhÉc Koszul 35 3.1 Cách xây dnng Phúc Koszul theo tích ngồi .35 3.2 Cách xây dnng Phúc Koszul bang cách lay tenxơ phúc 37 3.3 M®t so tính chat ban cna phúc Koszul 39 Úng dnng cua phÉc Koszul. .. HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HOC NGUYEN TH± QUỲNH VE PHÚC KOSZUL LU¾N VĂN THAC SĨ Chuyên ngành: Đai so lý thuyet so Giang viên hưáng dan: TS Nguyen Phn Hồng Lân LèI... ban cna phúc Koszul 39 Úng dnng cua phÉc Koszul 41 4.1 Phúc Koszul dãy quy .41 4.2 Phúc Koszul đ® sâu .43 4.3 Phúc Koszul dãy giai tn cna đai so đoi xúng 44 Ket lu¾n 49 Tài li¾u