Luận văn thạc sĩ sáu phương pháp giải các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Mục lục Mở đầu 1 Phương pháp quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp 1.2.1 Cơ sở quy nạp 1.2.2 Quy nạp 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số toán Phương pháp chứng minh phản chứng 17 2.1 Cơ sở lý thuyết 17 2.2 Nội dung phương pháp phản chứng 18 2.3 Trình bày lời giải phương pháp phản chứng 19 2.4 Một số ví dụ minh họa 19 Phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.1 Vài nét phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.2 Các ví dụ vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp 29 Phương pháp đồ thị 35 4.1 Một số khái niệm kết lí thuyết đồ thị .35 4.2 Phương pháp đồ thị 36 4.2.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ 37 4.2.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 37 4.3 Một số ví dụ 37 Phương pháp bảng 53 iii 5.1 Giới thiệu phương pháp bảng 53 MỤC LỤC 5.2 Một số ví dụ minh họa 53 Phương pháp sơ đồ 67 6.1 Các bước thực phương pháp sơ đồ 67 6.1.1 Thiết lập sơ đồ 67 6.1.2 Dựa vào cấu trúc sơ đồ mô tả quan hệ điều kiện cho toán mà suy đáp án .67 6.2 Một số ví dụ 67 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 79 i v Mở đầu Toán phổ thơng nhiều số lượng, cịn phong phú chủng loại Mỗi chủng loại đòi hỏi phương pháp giải thích hợp Bởi có nhiều phương pháp giải tốn phổ thơng Với khối lượng có hạn, luận văn xin phép trình bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương: Chương I trình bày phương pháp quy nạp, Chương II trình bày phương pháp phản chứng, Chương III trình bày phương pháp suy luận trực tiếp, Chương IV trình bày phương pháp đồ thị, Chương V trình bày phương pháp bảng, Chương V I trình bày phương pháp sơ đồ Mỗi phương pháp có phần tóm tắt sở lý thuyết phần vận dụng phương pháp để giải tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TS Đặng Huy Ruận Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán - Cơ Tin học, khoa Sau Đại học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Thầy, Cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho chúng em thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Đồng nghiệp trường Phổ Thông Hồng Đức - Hà Nội, người động viên giúp đỡ nhiều trình hồn thành luận văn Luận văn khó tránh khỏi hạn chế sơ xuất Rất mong bảo Quý thầy cô Quý bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Chương Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trị vơ quan trọng toán học, khoa học sống Đối với nhiều tốn chương trình tốn phổ thơng tốn logic, tức tốn khơng mẫu mực phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu Suy diễn q trình từ "tính chất" tập thể suy tính chất cá thể, nên ln ln đúng, cịn q trình ngược lại, tức q trình quy nạp: từ "tính chất" số thể suy "tính chất" tập thể khơng phải lúc đúng, mà q trình thỏa mãn số điều kiện đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) b) Từ tính đắn S(n) đến n = t (hoặc giá trị n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0), ta cần chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, khiØS(n) với n ≥ k0 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp Giả sử khẳng định S(n) xác định với n ≥ t0 Để chứng minh S(n) ∀n ≥ t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: Chương PhươNg PhÁP quy NạP 1.2.1 Cơ sở quy nạp Thực bước tức ta thử xem đắn S(n) với n = t0 nghĩa xét S(t0) có hay khơng? 1.2.2 Quy nạp Giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu ba bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S(n) với ∀n ≥ t0 Chú ý: Trong q trình quy nạp khơng thực đầy đủ ba bước: Cơ sở quy nạp, giả thiết quy nạp chứng minh quy nạp, dẫn đến kết sai lầm, chẳng hạn: - Do bỏ bước sở quy nạp, ta đưa kết luận không đúng: Mọi số tự nhiên nhau! Bằng cách quy nạp sau: Giả sử số tự nhiên không vượt k + Khi ta có k= k+1 Thêm vào vế đẳng thức đơn vị ta có k+1=k+1+1= k+2 Cứ suy số tự nhiên không nhỏ k Kết hợp với giả thiết quy nạp: Mọi số tự nhiên không vượt k nhau, đến kết luận sai lầm: Tất số tự nhiên nhau! - Do bỏ qua khâu quy nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat (1601-1665) cho số dạng 22n + số nguyên tố P.Fermat xét số đầu tiên: Với n = cho 220 + = 21 + = số nguyên tố n = cho 221 + = 22 + = số nguyên tố n = cho 222 + = 24 + = 17 số nguyên tố n = cho 223 + = 28 + = 257 số nguyên tố n = cho 224 + = 216 + = 65537 số nguyên tố Nhưng vào kỷ 18 Euler phát với n = khẳng định khơng đúng, vì: + 21 = 4294967297 = 641 × 6700417 hợp số 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số tốn Phương pháp quy nạp sử dụng tính toán, chứng minh suy luận nhiều dạng khác nhau, phần trình bày việc vận dụng phương pháp quy nạp để giải tốn logic, tức tốn "khơng mẫu mực" Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng: Nếu túi có số tiền ngun (nghìn) khơng 8000đ, ln ln mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Lời giải: Ta giải toán phương pháp quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Nếu túi có số tiền nhất, tức 8000đ, ta mua vé sổ số loại 5000đ vé sổ số loại 3000đ Khi × 5000đ + × 3000đ = 8000đ ta tiêu hết số tiền có túi 2) Quy nạp Giả sử với k(k ≥ 8000) nghìn đồng ta tiêu hết cách mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Nếu có thêm 1000đ ta mua cách sau đây: a) Nếu vé sổ số mua có ba vé loại 3000đ, ta trả lại ba vé loại 3000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 5000đ Khi × 3000đ + 1000đ = × 5000đ b) Nếu vé sổ số mua có khơng q hai vé loại 3000đ, phải có vé loại 5000đ Bởi túi khơng 8000đ, mà tiêu hết Khi đem trả lại vé loại 5000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 3000đ, ta có × 5000đ + 1000đ = × 3000đ Như trường hợp từ kết tiêu k nghìn suy cách tiêu nghìn thứ k + 1, nên tốn giải xong Ví dụ 1.2.2 Em An cầm tờ giấy lấy kéo cắt thành mảnh Sau nhặt mảnh giấy cắt lại cắt thành mảnh Và em An tiếp tục cắt giấy Sau hồi em An thu tất mẩu giấy cắt đếm 122 mảnh Liệu em An đếm hay sai? Lời giải: 1) Mỗi lần cắt mảnh giấy thành mảnh, tức tạo thêm mảnh giấy, nên cơng thức tính số mảnh giấy sau n bước thực mảnh giấy thành mảnh có dạng: S(n) = 6n + 2) Tính đắn cơng thức S(n) khẳng định quy nạp theo n 10) Cơ sở quy nạp Với n = 1, em An cắt mảnh giấy có tay thành mảnh, nên có S(1) = 6.1 + = + = 20) Quy nạp Giả sử sau k bước em An nhận số mảnh giấy S(k) = 6k + Sang bước k + em An lấy mảnh giấy nhận k bước trước cắt thành mảnh, tức em An lấy S(k) mảnh thay vào mảnh cắt nên S(k + 1) = S(k) − + = 6k + − + = 6k + = 6k + + = 6(k + 1) + Vậy số mảnh giấy em An nhận sau n bước cắt giấy S(n) 3) Do S(n) = 6n + ≡ (mod 6), 122 = 6.20 + ≡ (mod 6), nên em An đếm không Q Ví dụ 1.2.3 (Chứng minh tính chất quy nạp) Cho x + x1 , x ƒ= số nguyên Chứng minh với số nguyên dương n, số T (n, x) = xn + xn số nguyên Lời giải: Khẳng định chứng minh quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Với n = có T (1, x) = x +x1 số nguyên, theo giả thiết 2) Quy nạp Giả sử khẳng định với số nguyên k(n ≥ k ≥ 1) nghĩa T (k, x) = xk + xk số nguyên Với n = k + số T (k + 1, x) = xk+1 + = xk+1 Σ Σ 1 + xk + Σ − xk−1 xk xk−1 theo giả thiết quy nạp, số x + , xk−1 + xk + nguyên, nên = x +1x x xk−1 xk T (k + 1, x) số nguyên khẳng định với số nguyên dương n Q Ví dụ 1.2.4 Chứng minh số nguyên lớn viết dạng tích thừa số nguyên tố Lời giải: Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo n Cơ sở quy nạp Với n = 2, ta có = 2, Với n = 3, ta có = 3, n = 4, ta có = × Vậy khẳng định với n = 2, 3, Quy nạp Giả sử với số nguyên n phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ta chứng minh n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Thật • Nếu n + số ngun tố tích n + • Nếu n + hợp số n + = a.b với ≤ a, b < n Theo giả thiết quy nạp, a, b phân tích thành tích thừa số nguyên tố Suy ra, n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Theo nguyên lý quy nạp, số nguyên n > phân tích thành tích thừa số nguyên tố Q Ví dụ 1.2.5 (Chứng minh tính chia hết quyΣ nạp) Chứng mΣ inh với 3n Σ số nguyên dương n số 23n + chia hết cho 23n + + 3n+1 n+1 số Σ không chia hết cho Σ n+2 n + ƒ 3 Chương PhươNg PhÁP sơ đồ Hường có dây buộc tóc màu xanh Hãy xác định màu áo màu dây buộc tóc bạn? 68 Lời giải: Trong tốn có ba nhóm đối tượng: Nhóm gồm ba bạn: Thủy, Ánh, Hường Ta kí hiệu ba điểm T, A, H Nhóm gồm ba màu áo: Trắng, xanh, hồng Ta kí hiệu ba điểm t0, x0, h0 Nhóm gồm ba dây buộc tóc màu: Trắng, xanh, hồng Ta kí hiệu ba điểm t, x, h Mối quan hệ đối tượng ba nhóm kí hiệu bằng: • Nét đứt quan hệ chúng sai • Nét liền quan hệ chúng T A H t0 t x0 x h0 h Hình 6.2 Theo giả thiết, áo dây buộc tóc Ánh màu trắng, nên A − t0 A − t nối nét đứt Còn Hường có dây buộc tóc màu xanh, nên H − x nối nét liền Suy T − t nối nét liền Vì Thủy có màu áo dây buộc tóc trùng màu nhau, nên T − t0 nối nét liền Hơn nữa, theo giả thiết Ánh Hường có áo dây buộc tóc khác màu, mà A − h nối nét liền, A − x0 phải nối nét liền Cuối H − h0 nối nét liền Vậy: Thủy mặc áo trắng dây buộc tóc trắng Chương PhươNg PhÁP sơ đồ Ánh mặc áo xanh dây buộc tóc hồng Hường mặc áo hồng dây buộc tóc xanh Ví dụ 6.2.3 Trong trường phổ thơng sở Bình Định có ba thầy giáo Minh, Bình, Vinh dạy mơn Sinh vật, Lý, Tốn, Hóa, tiếng Anh tiếng Pháp Mỗi thầy dạy hai môn Người ta biết thầy sau: • Thầy dạy Lý thầy dạy tiếng Pháp láng giềng • Thầy Minh trẻ ba thầy • Thầy Bình, thầy dạy Sinh vật thầy dạy tiếng Pháp thường với đường • Thầy dạy Sinh vật nhiều tuổi thầy dạy môn Tốn • Thầy dạy tiếng Anh, thầy dạy Tốn thầy Minh rảnh rỗi thường hay đánh quần vợt với thầy thứ tư Hãy xác định xem thầy dạy hai mơn nào? Lời giải: Bài tốn có hai nhóm đối tượng • Nhóm thứ gồm ba thầy giáo: Minh, Bình, Vinh • Nhóm thứ hai gồm sáu mơn học tiếng Anh, tiếng Pháp, Tốn, Sinh vật, Lý, Hóa Ta lấy chữ đầu nhóm đối tượng để kí hiệu cho điểm tương ứng Từ điều kiện toán ta có sơ đồ sau: 70 Chương PhươNg PhÁP sơ đồ A M T S B P L V H Hình 6.3 Ta có Minh - Tốn nối nét đứt, nghĩa thầy Minh khơng dạy mơn Tốn Và Bình - Sinh vật nối nét đứt, nghĩa thầy Bình khơng dạy mơn Sinh vật Từ (2) (4) suy thầy Minh không dạy Sinh vật Còn từ điều kiện khác trực tiếp cho ta đường nét đứt theo sơ đồ Theo sơ đồ trên, ta thấy thầy Minh dạy hai ba mơn Pháp, Lý, Hóa Nhưng thầy dạy Pháp thầy dạy Lý khác nên thầy Minh dạy Pháp - Hóa, dạy Lý - Hóa Nếu thầy Minh dạy Lý - Hố, suy thầy Bình phải dạy Tốn - Anh, điều khơng thể có thầy dạy Tốn thầy dạy Anh hai thầy khác Vậy thầy Minh dạy Pháp - Hóa Tiếp theo thầy Bình dạy hai ba mơn Lý, Tốn, Anh Tốn, Anh khơng thể người dạy, nên thầy Bình dạy Lý - Tốn dạy Lý - Anh Nếu thầy Bình dạy Lý - Anh suy thầy Vinh dạy Toán - Sinh vật Điều khơng thỏa mãn thầy dạy Tốn thầy dạy Sinh vật hai thầy khác Vậy thầy Bình dạy Lý - Tốn, suy thầy Vinh dạy Sinh vật - Anh Vậy: Thầy Minh dạy hai mơn Pháp - Hóa Thầy Bình dạy hai mơn Lý - Tốn Thầy Vinh dạy hai mơn Sinh vật Anh 79 Chương PhươNg PhÁP sơ đồ Ví dụ 6.2.4 Bốn bạn Dung, Anh, Linh, Trang nhận điểm kiểm tra mơn tốn Bạn Nam lớp muốn biết điểm người Khi Nam hỏi bạn trả lời úp mở sau: 79 Dung nói: "Bạn Anh điểm, bạn Linh điểm, bạn Trang điểm." Anh nói: "Bạn Trang 10 điểm, bạn Dung bạn Linh 7" Linh nói: "Cả ba bạn 8" Trang nói: "Cả ba bạn 7" Hãy xác định điểm người? Biết khơng có bạn hai bạn nói điểm Lời giải: Lập sơ đồ: Lấy hai nhóm điểm tương ứng với hai nhóm đối tượng: Các bạn học sinh điểm số Điểm x nối với điểm y t đoạn thẳng song song có t bạn nói điểm bạn x số y Như vậy, ta có sơ đồ sau: Dung 10 Anh Linh Trang Hình 6.4 Căn vào điều kiện cho toán, cặp đỉnh nối từ đoạn thẳng trở lên bị loại Do Trang điểm 10, Linh 9, Anh Dung Ví dụ 6.2.5 Cho ba ngơi nhà, giếng, lán hầm chứa đồ đạc Cần phải vạch từ nhà đường tới giếng, đường tới lán đường tới hầm chứa đồ đạc, cho khơng có đường chín đường cắt đường khác Bạn chứng minh khơng thể làm việc Lời giải: Kí hiệu ba ngơi nhà A, B, C Cái giếng G, lán H hầm chứa đồ N Ta nối nhà với giếng G, lán H hầm chứa đồ N , kéo dài đường theo đường tới nhà thứ hai Ta thu ba đường nối hai nhà A B I G II H III N Hình 6.5 Các đường chia mặt phẳng thành ba miền: I, II, III Ngôi nhà thứ ba mà ta bỏ qua, nằm chỗ miền • Nếu ngơi nhà nằm miền I ngồi đường cong đóng kín bao quanh lán H • Nếu ngơi nhà thuộc miền II nằm ngồi miền III Khi bị bao quanh đường cong đóng kín mà hầm chứa đồ nằm ngồi • Nếu ngơi nhà thuộc miền III nằm ngồi miền I Khi bị bao quanh đường cong đóng kín mà giếng nằm ngồi Trong trường hợp thứ khơng có đường từ ngơi nhà tới lán H Vì khơng thuộc miền II , nên khơng thể có đường từ ngơi nhà thứ ba tới lán H mà không cắt đường từ nhà A nhà B tới lán H Trong trường hợp thứ hai khơng có đường tới hầm chứa đồ N Vì khơng thuộc miền III , nên khơng thể có đường từ ngơi nhà thứ ba tới hầm chứa đồ N , mà không cắt đường từ A từ B tới hầm chứa đồ N Trong trường hợp thứ ba khơng có đường tới giếng G Vì nằm ngồi miền I , nên tất đường tới giếng G cắt đường tới giếng G xuất phát từ nhà A ngơi nhà B Vậy khơng thể có đường từ ba nhà A, B, C đến giếng, đến lán, đến hầm chứa đồ, mà không cắt Như ta điều phải chứng minh Q Ví dụ 6.2.6 Trong lớp học sinh nam tham gia vào nhóm sở thích: Bóng đá, đá cầu, cầu lơng Qua tìm hiểu thấy có em tham gia bóng đá, em tham gia đá cầu, em tham gia cầu lơng, có: Một em tham gia ba mơn, hai em tham gia vừa đá cầu vừa bóng đá, ba em tham gia vừa cầu lơng vừa bóng đá, bốn em tham gia vừa đá cầu vừa bóng đá Hãy xác định số học sinh nam lớp? Ta vẽ ba vòng tròn giao nhau, vòng tròn biểu thị nhóm sở thích: Bóng đá (B), cầu lơng (C), đá cầu (D) Có em tham gia ba nhóm, ta điền vào phần chung ba vòng trịn Có hai em tham gia vừa đá cầu cầu lơng có em tham gia ba nhóm, có em tham gia nhóm sở thích vừa nêu Ta điền vào phần chung vòng tròn C vòng tròn D (nằm ngồi phần chung ba vịng trịn) Lập luận tương tự, ta có em tham gia hai sở thích bóng đá đá cầu, em tham gia hai sở thích bóng đá cầu lơng, có em tham gia cầu lơng Ta điền số vào phần tương tự hình vẽ Từ đó, ta xác định số em nam lớp 10 C 1 1 D Hình 6.6 B Ví dụ 6.2.7 Năm người bạn Nam, Thiện, Liêm, Khương, Bình có nghề nghiệp họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc Họ sống thành phố nên có điều kiện gặp thường xuyên Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc Thiện Bình sống khu tập thể với người đưa thư Liên vừa đóng vai trị chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người thợ cắt tóc Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc Khương Bình tối thứ bảy hay đến chơi nhà người thợ cắt tóc Người đưa thư thích tự cắt tóc cho Bình Khương chưa cầm bút vẽ Hãy xác định nghề nghiệp người? Lời giải: Bài tốn gồm có hai nhóm đối tượng: • Nhóm thứ gồm bạn: Nam, Thiện, Liêm, Khương Bình • Nhóm thứ hai gồm nghề: Họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc - - - - Lấy nhóm điểm ghi tên bạn có tên chữ đầu tên, nhóm đối diện ghi tên nghề mà họ làm kí hiệu sau: 1: họa sĩ, 2: thợ may, 3: thợ mộc, 4: đưa thư, 5: cắt tóc Điểm tên người điểm tên nghề nối nét liền, người làm nghề có tên nối, trường hợp ngược lại nối nét đứt 1) Xác định đường nét đứt Đầu tiên đưa vào điều kiện quan hệ cho để xác định đường nét đứt Sau dựa vào đường nét đứt để suy đường nét liền Cuối dựa vào để suy đáp án Theo ta có Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc suy Nam Khương không làm thợ may, nên hai cặp điểm (Nam, thợ may) (Khương, thợ may) nối nét đứt Thiện Bình sống tập thể với người đưa thư, chứng tỏ Thiện Bình khơng làm nghề đưa thư, nên cặp điểm (Thiện, đưa thư) (Bình, đưa thư) nối đoạn nét đứt Liên vừa làm chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người cắt tóc Chứng tỏ Liên Thiện khơng làm nghề cắt tóc, nên cặp điểm (Liên, cắt tóc) (Thiện, cắt tóc) nối nét đứt Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc, chứng tỏ Nam va Thiện không làm họa sĩ không làm thợ mộc Do cặp điểm (Nam, họa sĩ), (Nam, thợ mộc), (Thiện, họa sĩ), (Thiện, thợ mộc), nối nét đứt - Bình Khương chưa cầm bút vẽ, chứng tỏ Bình Khương không họa sĩ Bởi vậy, cặp điểm (Bình, họa sĩ), (Khương, họa sĩ) nối nét đứt Khi ta có sơ đồ sau: N T L K B5 2) Xác định đường nét liền Dựa vào sơ đồ gồm đường nét đứt để suy đường nét liền Vì người làm nghề nghề có người làm, nên điểm phải xuất phát đường nét liền, tức xuất phát tối đa bốn đường nét đứt, nên dựa vào sơ đồ đường nét đứt ta suy đường nét liền: Điểm có bốn đường nét đứt nối với điểm N, T, K, B, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm L Điểm có bốn đường nét đứt nối với điểm T, L, K, B, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm N Điểm T có bốn đường nét đứt nối với điểm 1, 3, 4, 5, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm Điểm B chưa có đường nét đứt nối với điểm 2, 3, điểm có đường nét liền nối với điểm T , nên đường nét liền điểm B phải nối với điểm Điểm khơng có đường nét đứt nối ới điểm N, L, K , điểm N có đường nét liền nối với điểm 5, điểm L có đường nét liền nối với điểm 1, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm K Vậy ta có sơ đồ hồn chỉnh đường nét liền Dựa vào sơ đồ ta suy đáp án: Thiện làm nghề thợ may, Nam làm nghề cắt tóc, Liêm làm họa sĩ, Bình làm nghề thợ mộc Khương làm nghề đưa thư Kết luận Luận văn nghiên cứu sáu phương pháp phổ biến để giải toán phổ thơng Mỗi phương pháp trình bày tóm tắt sở lý thuyết vận dụng phương pháp vào giải số tốn chương trình trung học phổ thông Khi biên soạn luận văn, tác giả cố gắng bám sát vào dạng đề thi học sinh giỏi Hy vọng luận văn tập tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên trường trung học phổ thông 71 01 Tài liệu tham khảo [1]Bộ Giáo Dục Đào Tạo - Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2]Bộ Giáo Dục Đào Tạo (2013), Hình Học 11, NXB Giáo Dục Việt Nam [3]Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc số vấn đề liên quan [4]Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Vũ Đình Hịa, Đặng Hùng Thắng (2007), Chun đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo Dục [5]Nguyễn Văn Nho (1989 - 2002), Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo Dục [6]Phạm Minh Phương nhóm giáo viên chun tốn Đại học sư phạm Hà Nôi (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, NXB Giáo Dục [7]Nguyễn Mạnh Trinh (1983), Tuyển tập thi vơ địch Tốn, NXB Giáo Dục [8]Đặng Huy Ruận (2002), Bẩy phương pháp giải toán logic, NXB Khoa học kĩ thuật 71 02 ... HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Mục lục Mở đầu 1 Phương. .. địi hỏi phương pháp giải thích hợp Bởi có nhiều phương pháp giải tốn phổ thơng Với khối lượng có hạn, luận văn xin phép trình bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương:... có nhiều cách giải khác nhau, có phương pháp suy luận trực tiếp Phương pháp suy luận logic có từ xa xưa để giải tốn logic người ta có phương pháp (sau có thêm phương pháp khác) Các toán logic