Luận văn thạc sĩ phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn MỤC LỤC Mở đầu 01 Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Schrodinger hoc lươ g tư.̉ 03 n 1.1 Phương pháp khai triển theo só ng riêng phần 03 1.2 Phương phaṕ ham ̀ Green 11 1.3 Phương pháp chuẩn cổ điển .18 1.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal .20 1.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal 20 1.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần 21 1.5 Sơ đồ mối liên hệ phương pháp toán tán xạ 23 Chương 2: Các hiệu ứng hấp dẫn điện tư bài toá n tá n xa ̣ lượng Plangck 24 2.1 Tán xạ toàn phần toàn phần hấp dẫn 24 2.2 Cư điể m củ a tá n c xa… … ……………………………………….……… 31 2.3 Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ 33 Kết luận: 36 Phụ lục A: Các định lý dụng cho biên độ tán tán xạ 37 Phụ lục B: Phương trình Lippman- Schwingger 40 Phụ lục C: Các phương pháp Hamilton Jacobi 45 Phụ lục D: Trường nền Schwarzschild .50 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Trong năm gần có tiến quan trọng hiểu biết về tán xạ thang lượng Planck lý thuyết trường lượng tử /110/ Nghiên cứu trình lý thuyết hấp dẫn lượng tử cung cấp sở khoa học để nhận thức rõ tượng vật lý sinh kỳ dị tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cải biến sợi dây lý thuyết hấp dẫn Các kết thu đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck hạt vùng lượng cao cỡ s » MPl (trong s lượng hat, MPl = G - 1/ khối lượng Planck, G - số hấp dẫn) t- bình phương xung lượng truyền nhỏ, giới hạn (t / s)đ Ơ cú dng biu din eikonal biểu diễn Glauber (leading term ) với pha phụ thuộc vào lượng Số hạng bổ (non-leading terms ) toán tán xạ nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu 20 năm nay, có Bộ mơn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội Kết bước đầu Bộ mơn Vật lý thuyết tìm số hạng bổ bậc nhất cho số hạng biên độ biên độ tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn lượng tử, hai phương pháp khác phương pháp tích phân phiếm hàm phương trình chuẩn /8-9/ Việc tìm phương pháp khác cho toán vẫn vấn đề thời Mục tiêu Bản Luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao hạt qua việc giải phương trình Schrodinger học lượng tử với ba phương pháp khác -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cổ điển, việc giải phương trình Klein – Gordon lý thuyết hấp dẫn lượng tử Nghiên cứu số hiệu ứng lượng tử thảo luận Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục tài liệu tham khảo -4- Chƣơng : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger Trong mục 1.1, xuất phát từ phương trình Schrodinger học lượng tử, biên độ tán xạ biểu diễn qua sóng riêng phần Mục 1.2 Đưa cách giải thứ hai phương trình Schrodinger thơng qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ Trong mục 1.3, ta quay về sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ thu biên độ tán xạ econal Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có cách nhìn khác về toán tán xạ học lượng tử phần 1.4 Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trường hấp dẫn tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự dược sử dụng học lượng tử mục 2.1 Trong mục 2.2 số hạng số hạng bổ bậc nhất biên độ tán xạ hạt vô hướng trường hấp dẫn xác định, từ suy kì dị cực điểm biên độ tán xạ eikonal xuất trục ảo s-mặt phẳng phức Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời hai loại tương tác hấp dẫn tương tác điện từ cho toán tán xạ Ở vùng xung lượng truyền lớn, kết thu có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú Cuối kết luận chung, phụ lục, tài liệu tham khảo liên quan tới luận văn Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C Phụ lục D Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Xét chuyển động hạt trường xuyên tâm tán xạ U (r ) Giả thiết U (r ) trường đối xứng không phụ thuộc vào góc j Khi học lượng tử, q trình tán xạ hạt mơ tả nghiệm phương trình Schrodinger: é h2 r ù r r êÑ + U (r )úy (r ) E y(r ) = ê 2m ú ë û (1.1) 1.1 Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần Phương trình Schrodinger: r r êé- h Ñ + U (rr )ùúy (r ) E y(r ) = ê 2m ú ë û (1.1.1) Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào gốc tọa độ 0, chọn hướng dòng hạt tới dọc theo trục 0Z Ta thấy xa tâm tán xạ hạt không không chịu tác dụng nên chuyển động tự nên chuyển động mơ tả sóng phẳng sau : Yin (r ) = eikz (1.1.2) Ở gần tâm tán xạ hạt bị tán xạ Hàm U(r) mô tả tương tác hạt với tâm lực giả thiết hàm khác khơng miền không gian hữu hạn r < a mà ta gọi miền tác dụng lực Khi hàm sóng bị thay đổi chuyển động hạt tán xạ phải mô tả hàm cầu phân kỳ: r Yout (r ) = f (q, j ) eikr r (1.1.3) Biên độ sóng phân kì f(θ ,ϕ ) cơng thức (1.1.3) gọi biên độ tán xạ Hàm sóng tồn phần mô tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách lớn (r>a) tâm tán xạ tổng sóng tới Yi sóng tán xạ Yout : n r eikr ikz + f (q, j ) Y(r ) = e r (1.1.4) Với Y(r nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) ) Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ nhất viết toa độ Đề các, mô tả chuyển động hạt tới, số hạng thứ hai toạ độ cầu mô tả chuyển động hạt tán xạ toạ độ cầu Ta biểu diễn hình vẽ sau: Các sóng phẳng tớiCác sóng cầu tán xạ Mặt khác, nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) trường hợp U (r ) đối xứng trục(đối với z) khơng phụ thuộc góc j viết dạng: ¥ Y(r, q) = å l= blRl (r )P (cos q) , (1.1.5) đây, bl hệ số không đổi xác định điều kiện biên điều kiện chuẩn hoá Pl (cos q) đa thức Legendre xác định công thức: dl Pl (x ) = 2ll ! dxl é l ù ) - ú êxê ë ûú ( (1.1.6) Ta giải phương trình Schrodinger để tìm phương trình xuyên tâm Rl (r sau : ) Từ phương trình (1.1.1) ta có : r r êé- h Ñ + U (rr )ùúy (r ) E y(r ) = ê 2m ú ë û r r r - h Ñ y (r ) + éêU (r ) - ùE úy (r ) = 2m r ë û 2m r é Ñ - y(r ) + ù r (1.1.7) êE U (r )úy (r ) = h ë û Thay biểu thức (1.1.5) vào phương trình (1.1.7), ta có: ỉ r d ỗ r r d y(r )ữ ÷+ D y(r ) + l y(r ) = ỗr q,j dr r dr ỗố r d2 dy ứữ ữử d ổỗ Trong D q,j = è sin dq sin q dq2 sin q dq ỗ ữữ + ứ q (1.1.8) Và l = 2m éE - U (r )ùú ê û h ë Giải phương trình dạng tách biến : y(r, q, j ) = R(r )Y (q, j) (1.1.9) Thay (1.1.9) vào (1.1.8), ta hệ phương trình sau : ïí d ỉ dR ÷ư D q,j Y ù ỗ r dx ữ ứ ù çè dx + lr + = ïï R Y Y + mY = ï D q,j ìï ỉ ổ ù d ỗr dR ữ+ çl - m÷R = ïç r dx r ứữ dx ứữ ù ố ợ ù ốỗ Vi điều kiện Y f = 0,p < ¥ ;Y (q, j + 2p)= Y (q, j ) Þ m= l(l + 1) (1.1.20) Quay về phương trình với R ta thu phương trình xuyên tâm dạng: d ổỗ dR ữử m R+lR=0 r ữ r dr ốỗ dr ứ ữ r Rl (r ) ... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số:... Bản Luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao hạt qua việc giải phương trình Schrodinger học lượng tử với ba phương pháp khác -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp. .. hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng 2ik phần biên độ tán xạ eikonal Trong mục này, biểu thức tán xạ phép gần eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược