Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH ̣ PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH ̣ PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2011 MỤC LỤC Mở đầu 01 Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Schrodinger ho ̣c lươ ̣ng tử 03 1.1 Phương pháp khai triể n theo só ng riêng phầ n 03 1.2 Phương pháp hàm Green 11 1.3 Phương pháp chuẩ n cổ điể n……… ………………………………………18 1.4 Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riêng phần biên độ tán xạ eikonal… …………………………………………………20 1.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal ………………………………………… ……….20 1.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần…………… ………………………… … …21 1.5 Sơ đồ mối liên hệ phương pháp toán tán xạ………… …23 Chương 2: Các hiệu ứng hấp dẫn và điện từ bài toán tán xa ̣ lượng Plangck……………………………….………….….24 2.1 Tán xạ toàn phần toàn phần hấp dẫn…………… ……………….……… 24 2.2 Cực điể m của tán xa ̣…… ……………………………………….……… 31 2.3 Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ…………… ……….………33 Kết luận: …………………………………………………………………………36 Phụ lục A: Các định lý dụng cho biên độ tán tán xạ………… ………… …….37 Phụ lục B: Phương triǹ h Lippman- Schwingger…………… ………… …… 40 Phụ lục C: Các phương pháp Hamilton Jacobi………… ………… ……….….45 Phụ lục D: Trường nề n Schwarzschild…… …………………………….….… 50 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………… 53 MỞ ĐẦU Trong năm gần có tiến quan trọng hiểu biết tán xạ thang lượng Planck lý thuyết trường lượng tử /110/ Nghiên cứu trình lý thuyết hấp dẫn lượng tử cung cấp sở khoa học để nhận thức rõ tượng vật lý sinh kỳ dị tạo thành lỗ đen, việc thông tin cải biến sợi dây lý thuyết hấp dẫn Các kết thu khẳng định: biên độ tán xạ Planck hạt vùng lượng cao cỡ s » M Pl (trong s lượng hat, M Pl = G - 1/ khối lượng Planck, G - số hấp dẫn) t- bình phương xung lượng truyền nhỏ, giới hạn (t / s ) đ Ơ cú dng biu din eikonal – biểu diễn Glauber (leading term ) với pha phụ thuộc vào lượng Số hạng bổ (non-leading terms ) toán tán xạ nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu 20 năm nay, có Bộ môn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội Kết bước đầu Bộ mơn Vật lý thuyết tìm số hạng bổ bậc cho số hạng biên độ biên độ tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn lượng tử, hai phương pháp khác phương pháp tích phân phiếm hàm phương trình chuẩn /8-9/ Việc tìm phương pháp khác cho toán vấn đề thời Mục tiêu Bản Luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao hạt qua việc giải phương trình Schrodinger học lượng tử với ba phương pháp khác -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cổ điển, việc giải phương trình Klein – Gordon lý thuyết hấp dẫn lượng tử Nghiên cứu số hiệu ứng lượng tử thảo luận Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục tài liệu tham khảo -1- Chƣơng : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger Trong mục 1.1, xuất phát từ phương trình Schrodinger học lượng tử, biên độ tán xạ biểu diễn qua sóng riêng phần Mục 1.2 Đưa cách giải thứ hai phương trình Schrodinger thơng qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ Trong mục 1.3, ta quay sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ thu biên độ tán xạ econal Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có cách nhìn khác toán tán xạ học lượng tử phầ n 1.4 Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trường hấp dẫn tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự dược sử dụng học lượng tử mục 2.1 Trong mục 2.2 số hạng số hạng bổ bậc biên độ tán xạ hạt vô hướng trường hấp dẫn xác định, từ suy kì dị cực điểm biên độ tán xạ eikonal xuất trục ảo s-mặt phẳng phức Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời hai loại tương tác hấp dẫn tương tác điện từ cho toán tán xạ Ở vùng xung lượng truyền lớn, kết thu có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú Cuối kết luận chung, phụ lục, tài liệu tham khảo liên quan tới luận văn Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C Phụ lục D Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = -2- Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ r r Xét chuyển động hạt trường xuyên tâm tán xạ U (r ) Giả thiết U (r ) trường đối xứng khơng phụ thuộc vào góc j Khi học lượng tử, trình tán xạ hạt mơ tả nghiệm phương trình Schrodinger: r ù r r é h2 êúy (r ) = E y (r ) Ñ + U ( r ) ê 2m ú ë û (1.1) 1.1 Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần Phương trình Schrodinger: r ù r r é h2 êúy (r ) = E y (r ) Ñ + U ( r ) ê 2m ú ë û (1.1.1) Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào gốc tọa độ 0, chọn hướng dòng hạt tới dọc theo trục 0Z Ta thấy xa tâm tán xạ hạt khơng khơng chịu tác dụng nên chuyển động tự nên chuyển động mơ tả sóng phẳng sau : r Yin (r ) = e ikz (1.1.2) Ở gần tâm tán xạ hạt bị tán xạ Hàm U(r) mô tả tương tác hạt với tâm lực giả thiết hàm khác không miền không gian hữu hạn r < a mà ta gọi miền tác dụng lực Khi hàm sóng bị thay đổi chuyển động hạt tán xạ phải mô tả hàm cầu phân kỳ: r e ikr Yout (r ) = f ( q, j ) r (1.1.3) Biên độ sóng phân kì f(,) công thức (1.1.3) gọi biên độ tán xạ Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách lớn (r>a) tâm tán xạ tổng sóng tới Yin sóng tán xạ Yout : -3- r e ikr ikz Y(r ) = e + f ( q, j ) r (1.1.4) r Với Y(r ) nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ viết to ̣a độ Đề các, mô tả chuyển động hạt tới, số hạng thứ hai toạ độ cầu mô tả chuyển động hạt tán xạ toạ độ cầu Ta biểu diễn hình vẽ sau: Các sóng cầu tán xạ Các sóng phẳng tới Mặt khác, nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) trường hợp r U (r ) đối xứng trục(đối với z) khơng phụ thuộc góc j viết dạng: ¥ Y(r , q) = å bR (r )P (cos q) , l l (1.1.5) l= đây, bl hệ số không đổi xác định điều kiện biên điều kiện chuẩn hoá Pl (cos q) đa thức Legendre xác định công thức: dl Pl (x ) = l l ! dx l lù é ê x - ú êë ú û ( ) (1.1.6) Ta giải phương trình Schrodinger để tìm phương trình xuyên tâm R l (r ) sau : Từ phương trình (1.1.1) ta có : r ù r r é h2 êú ê 2m Ñ + U (r )úy (r ) = E y (r ) ë û -4- h2 r Ñ y (r ) + 2m r 2m Ñ y (r ) + h r r é ù êU (r ) - E úy (r ) = ë û r r é ù E U ( r ) y ( r ê ú )= ë û Thay biểu thức (1.1.5) vào phương trình (1.1.7), ta có: r ỉ r r d ỗỗ d y (r ) ữ ữ + D y (r ) + l y (r ) = ữ ỗr ữ dr ứ ữ r q,j r dr ỗỗố Trong ú D q,j V (1.1.7) (1.1.8) d ỉ dy ÷ d2 ç = + çsin q ÷ ÷ sin q d q ỗố dq ữ ứ sin q d q2 l = 2m é ù êE - U (r )û ú ë h Giải phương trình dạng tách biến : y (r , q, j ) = R (r )Y (q, j ) (1.1.9) Thay (1.1.9) vào (1.1.8), ta hệ phương trình sau : ïíï d ổ dR ữ ữ ùù ỗỗỗr ữ D q,j Y ø ïï dx è dx ÷ + l r + = ïï R Y ï ì D q,j Y + mY = ïï ỉ ùù d ổ ỗỗr dR ữ ỗỗl - mữ ữ ữR = + ùù 2ữ ỗố dx ứữ ỗ ữ ữ dx r r ố ứ ïï ïïỵ Với điều kiện Y f = 0,p < ¥ ;Y (q, j + 2p ) = Y (q, j ) Þ m= l(l + 1) (1.1.20) Quay phương trình với R ta thu phương trình xuyên tâm R l (r ) dạng: ö m d ổ ỗỗr dR ữ ữữ 2R+ lR = r dr ỗố dr ữ ứ r -5- l(l + 1) d ổ 2m ỗỗr dR ÷ ÷R + éëêE - U (r )ù ỳR = ữ 2 ỷ ỗ r dr è dr ÷ r h ø (1.1.21) Trong tốn học ta biết nghiệm độc lập tuyến tính phương trình hàm cầu Bessel jl (k , r ) yl (k , r ) , có dạng: l íï ỉ ưỉ ïï l ç d ÷ ç sin z ÷ ÷ ÷ j ( z ) = z ỗ ỗ ùù l ữ ữ ỗố z dz ứ ữ ốỗ z ứ ÷ ïì l ïï ỉ ỉcos z ÷ çç ïï y (z ) = - z l çç- d ữ ữ ữ ữ ữ ữ ốỗ z ứ ữ ỗố z dz ứ ùùợ l õy ta đặt z =kr Nếu xét tiệm cận gần ỳng z đ Ơ (1.1.22) tng ng vi r ® ¥ nghĩa ta xét chuyển động vơ hạn, ta có: íï sin(z - l p ) ïï ïï jl (z ) ® ïì z ïï cos(z - l p ) ïï y (z ) ® ïïỵ l z (1.1.23) Khi nghiệm phương trình (1.1.21) viết tổng nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình (1.1.23) é sin(kr - l p ) cos(kr - l p ) ù ê - B ú ú R l (r ) = Al jl (kr ) + B lyl (kr ) = êAl l ê ú kr kr êë ú û (1.1.24) Ở Al B l số thỏa mãn : Al = C l cos dl ; B l = - C l sin dl (1.1.25) dl độ dịch chuyển pha Thay (1.1.25) vào (1.1.24) ta có: f (s, t ) = i s 2p ị ¥ d 2be ikb éêe ë sin(kr - l p Hay Rl (r ) = C l 2i dl + dl ) kr -6- - 1ù ú û (1.1.26) Thay (1.1.10) vào (1.1.5), nghiệm phương trình schrodinger (1.1.1) viết lại: sin(kr + dl - l p ) (1.1.27) y (r ® ¥ ) = å C l Pl (cos q)R l (r ) = å C l Pl (cos q) kr l= l= ¥ ¥ Các hệ số C l phải chọn để hàm sóng có dạng: y = e ikz + f ( q) ikzr r e r (1.1.28) Đến đây, ta nhận thấy để cân (1.1.27) (1.1.28) hàm sóng phương trình (1.1.26) phải biểu diễn tổng e ikz f ( q) ikzr r e r Với số hạng thứ nhất, ta khai triển hàm sóng phẳng e ikz theo sóng cầu f ( q) ikzr r e khoảng cách lớn cách sử dụng đa thức Legendre: r ¥ e ikz =e ikr cos q = å fl (r )Pl (cos q) , (1.1.29) l= Trong fl (r ) hệ số khai triển,đó hàm mà ta cần tìm dạng Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (1.1.29) ta có: ¥ e ikrx = å fl (r )Pl (x ) (1.1.30) l= Nhân phương trình với Pl ' (x ) lấy tích phân theo x khoảng từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0) +1 ịe ¥ ikrx Pl ' (x )dx = - å l= +1 fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx (1.1.31) - +1 Sử dụng tính chất đa thức Legendre: ò Pl (x )Pl '(x )dx = - Vế trái (1.1.14) viết: -7- dl ,l ' l+ PHỤ LỤC B PHƢƠNG TRÌNH LIPPMAN-SCHWINGER Chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green để giải phương trình Schrodinger: r r r Ñ + k u (x ) = U (x )u (x ) (B.1) Hàm Green thoả mãn phương trình Helhotlz: r ur r ur Ñ + k G (k, x , x ') = d(x - x ') (B.2) ( 2 ( ) ) Chúng ta viết nghiệm phương trình (B.1) dạng tích phân: r r r ur ur ur u (x ) = u (x ) + ò G (k, x , x ')U (x ')u (x ')d 3x ' , (B.3) r u (x ) nghiệm phương trình Schrodinger nhất: r Ñ + k u (x ) = ( ) (B.4) Ta thấy rằng, từ điều kiện tán xạ, nghiệm phương trình (B.4) mơ tả sóng phẳng tới: r r rr ikx r u (x ) = f (x ) º e (B.5) k Mặt khác, phương trình (B.2) phương trình vi phân tuyến tính, xác định hàm Green phép biến đổi Fourier: ur r ur r ur ur G (k, x , x ') = G 0(k, R ) với R = x - x ' (B.6) Từ r ur G (k , x - x ') = r ur d(x - x ') = (2p )3 (2p )3 ur ur uur ur i K R e g ( k , K )dK ò uur ur ur i K R e ò dK (B.7) (B.8) Thay phép biến đổi Fourier (B.7) (B.8) vào biểu thức (B.2) ta có: r ur r ur Đ + k G (k, x , x ') = d(x - x ') ( ) - 40 - r ur r ur Ñ + k G (k, x - x ') = d(x - x ') ( ) ( Ñ2 + k2 (2p )3 (2p )3 ) (2p )3 rr r r iKR e g ( k , K ò )dK = (2p )3 rr r iKR e dK ò rr rr r r 2 iKR iKR [ Ñ + k e g ( k , K ) e ] dK = ò ( ) rr r r 2 iKR [ k K g ( k , K ) 1] e dK = ò ( ) r Từ ta nhận biểu thức cho g0 (k, K ) ur g0 (k , K ) = k2 - K (B.9) Hình a) Đường viền (P+C1) dùng để tính tích phần I1 nhằm tránh kỳ dị cực K = ± k b) Đường viền để tính tích phần I2 Nhận thấy g0 có cực trục thực, cho phần ảo nhỏ theo k định nghĩa: - 41 - r ur G 0± (k , x , x ') = uur r uur ur e i K ( x - x ') dK ò k - K ± ie (2p )3 (B.10) ur r ur Đặt (K , q, f ) toạ độ cầu K đặt trục z dọc theo R = x - x ' Do đó: ur G (k , R ) = (2p )3 ± ị ¥ dK K - ¥ ị p d q sin qò 2p e iKR cos q df k - K ± ie (B.11) Ta có ị ị 2p d f = 2p p p d (iKR cos q)e iKR cos q ò iKR = e iKR - e - iKR iKR d q sin q.e iKR cos q = - iKR cos q e iKR = - ( p ) Thay hai tích phân vào biểu thức (B.11) thu biểu thức sau: ur G (k , R ) = = (2p )3 ị e iKR cos q ị- ¥ dK K ò0 d q sin qò0 d f k - K ± i e 1 dK K 2p e iKR - e - iKR iKR k - K ± ie K e iKR - e - iKR dK k - K ± ie ¥ (2p )3 ± ¥ - ¥ ( ) ( ¥ 4p 2R ò- ¥ ur ± G (k , R ) = 4p 2iR = Với việc phân tích p ị +¥ - ¥ 2p ) K (e iKR - e - iKR ) dK k - K ± ie 1 = 2 2K k - K (B.12) ổ 1 ữ ỗỗ ữ chỳng ta cú th tỏch tớch + ữ ỗốK - k K + k ø ÷ phân thành phần: G 0± (k , R ) = I - I 2) , 8p 2R ( ) (B.13) Với I1 = ũ +Ơ - Ơ ổ 1 ữ ữ e iKR ỗỗ + dK ữ ỗốK - k K + k ø ÷ - 42 - (B.14) I2 = ũ +Ơ - Ơ ổ 1 ữ ữ e - iKR ỗỗ + dK ữ ỗốK - k K + k ø ÷ (B.15) Tiến hành lấy tích phân theo hình bán nguyệt dựa vào công thức Cauchy thu kết quả: I = 2p ie ikR ; I = - 2p ie ikR (B.16) Tính tốn tương tự k ® k - i e hàm Green trở thành: r uur ik x - x ' r ur ±e ± G (k , x , x ') = r ur 4p x - x ' (B.17) Bây viết lại phương trình tích phân cho hàm sóng (B.3) dạng: r rr u r (x ) = e i k x k 4p r uur ik x - x ' ò ur ur ur ±e r U ( x ') u ( x ')dx ' r ur k x- x' (B.18) Phương trình tích phân phương trình Lippman-Schwinger cho tán xạ Bây liên hệ việc biểu diễn dạng tích phân biên độ tán xạ xem xét khoảng cách lớn máy đo (detector) r đ Ơ m nú ln ur hn nhiu phm vi hố dẫn tới việc lấy tích phân theo x ' hẹp mà thực chất r ' = r Dẫn tới: r ur r ur ỉ1 xx ' ÷ r - 2xx ' + r '2 = r + O ỗỗ ữ ữ çèr ø ÷ r r ur x Đặt vectơ sóng k ' = k hạt tán xạ Chúng ta có r r ur x- x' = (B.19) r uur ik x - x ' e e ikr - i kuur'xuur' ắđ e + r ur ắ ắ rđ ¥ r x- x' Các đóng góp bậc cao (B.20) không ý tới Thay biểu thức vào r2 phương trình Lippman-Schwinger thu - 43 - r rr e ikr ikx u (x ) ắ ắ ắđ e rđ Ơ 4p r r k òe ur ur ur r U (x ')u (x ')dx ' uur uur - i k 'x ' k (B.21) Như thu biểu thức biên độ tán xạ biểu diễn dạng tích phân: e ikr f (k, q, f ) = 4p r òe ur ur ur r U (x ')u (x ')dx ' uur uur - i k 'x ' k - 44 - (B.22) PHỤ LỤC C CÁC PHƢƠNG PHÁP HAMILTON JACOBI 1.1 Phƣơng pháp Hamilton Jacobin cổ điển Trong học cổ điển ta có nguyên lý biến phân dò (L )dt = dò ( piq& - H )dt = i => Ở L H tương ứng hàm Lagrangian Hamiltonian Một giá trị đạo hàm theo thời gian thêm vào khơng làm thay đổi tích phân chuyển động dò ( piq& - H = i dF )dt = dt (C.1) Mối liên hệ đại lượng ¶H ' P& = i ¶ Qi ¶H ' Q&i = ¶ Pi Phương pháp Hamilton-Jacobi mơ hình phát triển học cổ điển Nó cung cấp phương pháp tốt để giải phương trình động học Phương pháp biến đổi tắc từ tọa độ cũ với xung lượng ( pi ,qi ) sang hệ tọa độ (Qi ,Pi ) với Hamilton H’ sô thời gian H ' = H ( pi , qi , t ) + ¶F = ¶t (C.2) Phần tử sinh F hàm tọa độ cũ số xung lượng Pi pi = ¶ F (qi ,Pi , t ) (C.3) ¶ qi - 45 - Qi = Quan hệ pi = ¶F ¶ qi H( ¶ F (qi ,Pi , t ) (C.4) ¶ Pi dẫn đến: ¶F ¶F , qi , t ) + = ¶ qi ¶t (C.5) Vì vậy, có bậc PDE n+1 biến số, giải cho ta n+1 số tích phân mang lại số xung lượng Pi F (qi , Pi , t ) thông thường biểu S hiểu hàm gốc Đạo hàm S theo thời gian ta dS ¶S ¶S = q& + = piq& - H = L i i dt ¶ qi ¶t (C.6) Ngồi ta có cách tìm S khác từ tích phân bất định L với số S = ò Ldt + const Nếu hệ bảo tồn H khơng chứa thời gian, hàm gốc Hamilton viết dạng S (q, a , t ) = W(q,a )-Et Đại lượng W(q,a ) gọi đặc trưng hàm Hamilton 1.2 Hình thức luận Hamilton Jacobi lƣợng tử Hình thức luận Hamilton Jacobi học lượng tử xây dựng giống lý thuyết cố điển Trong sư tương tác hệ cổ điển, biến số tương tác lượng tử lấy giá trị lượng riêng cho trạng thái giới hạn.Vì vậy, phương pháp & & giải phương trình Schrodinger cho trị riêng hàm riêng bỏ qua Trong hình thức luận, ta coi hệ V(x) Hamilton hệ viết Hˆ = pˆ + U (xˆ ) - 46 - (C.7) & & Ở xˆ pˆ phương trình Schrodinger biểu diễn pˆ = xˆ = x h ¶ i ¶x (C.8) Trong thuật ngữ trị riêng, phép biến đổi chuẩn lượng tử viết p= Q= ¶ W(x,E(P )) ¶x (C.9) ¶ W(x,E(P )) ¶P (C.10) Trong W(x,E) hàm Hamilton đặc trưng lượng tử Ở ta tự chọn xung lượng nhiên định nghĩa thuật ngữ E P=P(E) (C.11) Từ mối quan hệ phép biến đổi cho ta phương trình Hamilton Jacobi lượng tử cho hàm đặc trưng h ¶ W(x,E) + i ¶x2 é¶ W(x,E) ù ê ú= E - U (x ) ê ¶x ú ë û (C.12) W(x,E) phải thỏa mãn điều kiện giới hạn ta xét sau Chú ý coi phương trình nguyên lý nhận lại từ & & & & phương trình Schrodinger Nếu phương trình Schrodinger thêm nhiều tính chất vật lý viết dạng éiW ( x ,E )ù/ h ú û y (x , E ) º e ëê (C.13) Trong y (x , E ) hàm độc lập với thời gian Nếu V(x) nhỏ nhiều so với lượng E, ta sử dụng gần Eikonal để giải vấn đề Với phương pháp gần thay đổi nhỏ khoảng cách bước sóng Comptom Lúc ta sử - 47 - dụng khái niệm phần bán cổ điển hàm sóng bán cổ điển viết sau y ( + ) : e iS(x)/ h (C.14) Thay y (x , E ) = e iS(x)/ h vào phương trình (1.1.1) ta được: é h2 ¶ ù êúy (x ) = E y (x ) + U ( x ) ê 2m ¶ x ú ë û => é h2 ¶ ù iS/ h êúe + U ( x ) = Ee iS/ h ê 2m ¶ x ú ë û => - h ¶ iS/ h e + Ue iS/ h = Ee iS/ h 2m ¶ x => - h ¶ iS/ h e = (E - U )e iS/ h 2m ¶ x => h 2m iS ứ iS ộ ả ổi ỗỗ S ' e h ữ ỳ= (E - U )e h ữ ữ ờả x ççh ÷ú ø êë è ú û => h2 2m iS iS ù iS éi ê S ''e h + iS' iS' e h ú= (E - U )e h êh ú h h êë ú û => - => iS iS é '' 2ù h i h S - S ' úe = (E - U )e h û 2m ëê h2 2m éi '' (- 1)S ê S + êh h2 ë iS iS '2 ù úe h = (E - U )e h ú û h S ''+ S '2 = E - U 2m i 2m => Trong giới hạn cổ điển h ® thay E = (C.15) h 2k ta được: 2m S '(x )2 = E - U (x ) 2m => S '(x )2 h 2k = - U (x ) 2m 2m - 48 - (C.16) Khi E>>V phương tán xạ hạt thay đổi nhỏ Lúc quỹ đạo cổ điển gần đường thẳng (hình 2) dọc theo phương z z b  x Hình 2: Giản đồ q trình tán xạ Tích phân biểu thức (1.2.21) ta được: S = h z òU k2 - - L 2m V ( b2 + z '2 )dz '+ const h (C.17) Ở tích phân tính từ khoảng lớn –L, khơng bị ảnh hưởng đến Hơn số tùy ý chọn cách Vậy giới hạn V ® , S ® kz Bằng cách mở rộng nhị thức tích phân bỏ qua bậc thứ hạng cao ta h có: S m = kz - h hk z òU ( b2 + z '2 )dz ' (C.18) - L Ở y ( + ) cho y (+ ) = e ikze 3/ (2p ) - im z òU( h 2k - b2 + z '2 )dz ' (C.19) L - 49 - PHỤ LỤC D TRƢỜNG NỀN SCHWARZSCHILD Chúng ta dẫn metric toạ độ cầu đối xứng Khoảng cách điểm metric mô tả dạng: ds = g00 (r , t )c 2dt + grr (r , t )dr + r 2(d q2 + sin qd f ) (D.1) Từ đây, tìm dạng hai hàm chưa biết g00 (r , t ) grr (r , t ) Để tiện cho tính tốn tiếp theo, đặt: - e n = g00 = (g 00 )- e r = grr = (grr )- Để tìm hàm trên, cần giải phương trình trường Einstein Bởi vậy, đưa ký hiệu Christoffel: Gikm = in g (gkn ,m + gmn ,k - gkm ,n ) đây, “,k” biểu thị đạo hàm riêng theo k Nói chung khó để tính tốn ký hiệu với liên kết i, k m, phải tính tốn tới 12 đạo hàm khác tensor metric Chúng ta tìm cách khác sau: Phương trình trắc địa mơ tả chuyển động hạt cho bởi: n m dx m m dx dx + Gnl = ds ds ds (D.2) Nhưng phương trình Euler-Lagrangian là: d ¶L ¶L = d s ¶ x&m ¶ x m (D.3) Chúng ta chọn Lagrangian dạng: mn dx m dx n L= g ds ds 2 é ỉ ư2 ỉ ỉ ỉ ứ n ỗdx ữ r ỗdr ữ ỗd q ữ 2 ỗd f ữ ỳ ữ = ờ- e ỗỗ ữ + e ỗỗ ữ ữ + r ççd s ÷ ÷ + r sin qççd s ÷ ữỳ ốỗ d s ữ ốd s ữ ø è ÷ ø è ÷ øú ø ë û - 50 - (D.4) Việc so sánh phương trình (C.2) (C.3) tìm ký hiệu Christoffel Chúng ta đặt m= đơn giản, trường hợp khác tính hồn tồn tương tự Từ (C.4) dẫn tới: 2 é ỉ ứ ¶L 1ờ nổ dx ữ r ỗdr ữ ỳ ç ÷ = ê- n&e çç + r&e ç ÷ ỳ ữ ữ ỗốd s ứ ữỳ ữ 2ờ ảx0 ốỗ d s ứ ỷ (D.5) ảL n dx = -e ds ¶ x&0 (D.6) Và từ có: é ù 2ú ê2 0 ỉ ö dr dx dr ú êd x ÷ = - en ê + n ' + r&e r- n ỗỗ ữ ữ ữỳ ds ds 443ỗốd s ứ ờd s ỳ 1442 { ú = Grr = Gr0 ë û (D.7) Bây tính tốn thành phần tensor Ricci: æn " n '2 n ' r ' n ' ổ& &&ửữ n- m ỗỗr&+ r& - nr ữ ữ R 00 = - ỗỗỗ + + ữ e + ữ ữ ữ ỗố 4 rứ ứữ ốỗỗ2 ổn " n '2 n ' r ' r ' ỉ& &&ư÷ r- m r& r&2 nr ữ ỗ ỗ ữ ữ R rr = ỗỗ + + ỗ ữ ữe ữ ốỗỗ2 ỗố 4 rứ ứữ r& R 0r = r é r ù R qq = ê1 + (n '- r ')úe - r - ê ú ë û R f f = sin qR qq (D.8) Ứng dụng phương trình trường Einstein: R mn = (D.9) Chúng ta quan tâm tới nghiệm tĩnh phương trình, n&= r&= & r&= Cuối có được: = R 00 n " n '2 n ' r ' n ' = + + 4 r = e r- mR 00 + R rr = n '+ r ' - 51 - (D.10) (D.11) é r ù = R qq = ê1 + (n '- r ')úe - r - ê ú ë û (D.12) Lấy tích phân vế phương trình (C.12) ta được: r (r ) = - n(r ) Þ - g00 = grr Đặt vào (C.7) ta có: (1 - r r ')e - r - = Ta đặt l (r ) = e - r Do ta có phương trình: l '+ 1 l = r r Nghiệm phương trình là: l = 1- r* = = - g00 r grr r* số Như vậy, dẫn metric dạng: ổ ỗỗỗỗ ỗỗ ỗỗ gmn = ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ çç çè ỉ r *ư ÷ çç1 ÷ ÷ ÷ çè r ø 0 - 0 æ r *ử ữ ỗỗ1 ữ ữ ữ ỗố r ứ 0 0 r2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2 ÷ ÷ r sin qø ÷ (D.13) Đối với trường hấp dẫn có r * = 2GM ta thu metric Schwarzschild Cịn tán xạ hấp dẫn hạt mang điện tích có metric Reissner-Nordstom - 52 - TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT I Nguyễn Ngọc Giao (1999), Lý thuyết trường hấp dẫn, Đại học Quốc gia TPHCM Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt bản, Trường ĐHKH Tự Nhiên, Hà nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội II TIẾNG ANH t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano, (1988) “Classical and Quantum Gravity Effects from Planckian Energy Superstring”, Int J Mod Phys A3, pp1615-1561 H Verlinde and E Verlinde, (1992)” Scattering at Planckian Energies”, Nucl.Phys.B371, pp 246-252 D.Kabat and M Ortiz, (1992) “Eikonal Gravity and Planckian Scattering”, Nucl.Phys.B388, pp.570-592 Nguyen Suan Han and Eap Ponna; (1997) “ Straight-Line Path Approximation for the Studying Planckian-Scattering in Quantum Gravity”, Nuo Cim A, N110A pp 459-473 Nguyen Suan Han, (2000) “Straight-Line Path Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity” Euro Phys J C, vol.16, N3 p.547-553 Proceedings of the 4th International Workshop on Graviton and Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal University, China, Ed Liao Liu, et al World Scientific Singapore (2000)pp.319-333 - 53 - S Das and P Majumdar, (1998) “Aspects of Planckian Scattering Beyon the Eikonal ” Journal Pramana, India, 51, pp 413-418 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Functional Approach” E-print arxiv: gr-qc/0203054, 15 mar 2002, 15p; European physical journal c, Vol 24, pp.643651 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan, (2008)“ Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Quasi-Potential Approach” E-print arxiv: 0804.3432 v2 [quant-ph] To be published in european physical journal c (2008) 10 Rosenfelder r (2008), “Path Integrals for Potential Scattering”,E-print arxiv: 0806.3217v2[nucl-th] 11 Charles Poole Herbert Goldstien and John Safko Classical Mechanics Addison Wesley 12 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi Theory and the Quantum Action Variable” Physical Review Letters, 50(1):3–6, 1983 13 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi/action-angle quantum mechanics” Physical Review D, 28(10):2491–2502, 1983 14 Marco Roncadelli and L.S Schulman “Quantum Hamilton-Jacobi Theory” Physical Review Letters, 99(17), 2007 15 t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 A.K Kapoor R.S Bhalla and P.K Panigrahi “Quantum Hamilton-Jacobi formalism and the bound state spectra” arXiv, quant-ph/9512018v2, 1996 16 J.J Sakurai Modern Quantum Mechanics Pearson Education, 2007 - 54 - ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐÌNH THINH ̣ PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán. .. dẫn lượng tử - 35 - KẾT LUẬN Mục đích luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao lý thuyết trường lượng tử hấp dẫn lượng tử phương pháp sóng riêng phần Các kết luận văn bao gồm Đã đưa ba phương pháp. .. pháp giải phương trình Schrodinger để tìm biên độ tán xạ có phương pháp sóng riêng phần Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có hướng khác cho tốn tán xạ học lượng tử Phương pháp sóng riêng phần sử