Ảnh hưởng của hóa chất bảo vệ thực vật đến vi sinh vật đất trồng chè

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN PHAN TH± THANH VÂN TÍNH THU¾N VÀ TÍNH NGH±CH CUA Hfi TAM PHÂN MŨ KHƠNG ĐEU TRÊN ĐA TAP TÂM LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2012 Mnc lnc Lài nói đau 1 Kien thÉc chuan b% 1.1 H¾ tam phân mũ 1.1.1 H¾ tam phân mũ đeu .2 1.1.2 H¾ tam phân mũ khơng đeu 1.1.3 Không gian tâm, őn đ%nh không őn đ%nh 1.2 Đa tap tâm 1.2.1 Các khái ni¾m ban 1.2.2 Sn ton tai cna đa tap tâm Tính thu¾n tính ngh%ch cua phương trình vi phân khơng gian Banach 12 2.1 H¾ đoi xúng .12 2.2 2.3 2.4 2.5 Tính ngh%ch cna phương trình vi phân khơng ơtơnơm .14 Tính ngh%ch cna phương trình vi phân ơtơnơm 16 Ví du 18 Tính thu¾n cna phương trình vi phân khơng gian Banach 22 Tính thu¾n tính ngh%ch cua h¾ tam phân mũ không đeu đa tap tâm 24 3.1 Tính ngh%ch cna h¾ tam phân mũ khơng đeu đa tap tâm .24 3.1.1 Xây dnng ket qua 24 3.1.2 Các ket qua phu 27 3.1.3 Chúng minh tính ngh%ch 37 3.2 Tính thu¾n cna h¾ tam phân mũ khơng đeu đa tap tâm 39 Ket lu¾n 41 Tài li¾u tham khao 41 i Lài nói đau Lu¾n văn trình bày đưoc khái ni¾m mói h¾ tam phân mũ đeu khơng eu, mđt so tớnh chat c ban cna chỳng, trung nghiên cúu h¾ tam phân mũ khơng đeu đa tap tâm Đoi xúng thu¾n ngh%ch thịi gian m®t nhung đoi xúng ban đưoc nghiên cúu khoa HQc tn nhiên, xuat hi¾n nhieu h¾ v¾t lý, đ¾c bi¾t HQc cő đien lưong tu Trong khn khő cna lu¾n văn tơi chi trình bày tính thu¾n tính ngh%ch cna phương trình vi phân có tam phân mũ khơng đeu đa tap tâm không gian Banach vô han chieu Lu¾n văn đưoc chia thành chương: Chương 1: Giói thi¾u sơ lưoc khái ni¾m tam phân mũ đeu, tam phân mũ khơng đeu cna phương trình vi phân, khái ni¾m đa tap tâm Chương 2: Trình bày tính thu¾n ngh%ch cna phương trình vi phân khơng gian Banach vơ han chieu Chương 3: Trình bày tính thu¾n tính ngh%ch cna phương trình vi phân có tam phân mũ không đeu đa tap tâm khơng gian Banach vơ han chieu Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, chi bao t¾n tình cna TS Lê Huy Tien - Giang viên khoa Toán-Cơ-Tin hQc, trưịng ĐH Khoa HQc tn nhiên Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay Tơi xin chân thành cam ơn thay khoa Tốn-Cơ-Tin hQc, nhung ngưòi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi suot khóa HQc Cuoi cùng, tơi gui lịi cam ơn gia đình, ban bè đ¾c biắt l chong tụi, ó luụn o bờn tụi, đng viên, giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Phan Th% Thanh Vân Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 H¾ tam phân mũ H¾ tam phân mũ đeu Cho X khơng gian Banach, xét m®t ánh xa liên tuc t ›→ A(t) cho A(t) tốn tu tuyen tính b% ch¾n X vói moi t ∈ R phương trình v J = A(t)v (1.1) Nghi¾m cna (1.1) vói v(s) = vs có the đưoc viet dưói dang v(t) = T (t, s)v(s), vói T (t, s) tốn tu tien hóa liên ket Ta có T (t, t) = Id T (t, s)T (s, r) = T (t, r) vói MQI t, s, r ∈ R, T (t, s) kha ngh%ch T (t, s)−1 = T (s, t) vói MQI t, s ∈ R Gia su A(t) có dang chéo khoi tương úng vói thành phan hop thành E , F1 , F2 (X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), vói E , F1 , F2 tương úng không gian tâm, őn đ%nh khơng őn đ%nh Khi nghi¾m cna (1.1) có the đưoc viet dưói dang v(t) = (U (t, s), V1(t, s), V2(t, s))v(s) U (t, s), V1(t, s) V2(t, s) toán tu tien hóa liên ket tương úng vói ba khoi cna A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1(t, s), V2(t, s)) Đ%nh nghĩa 1.1 Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đeu neu ton tai hang so b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, D > cho Vái MQI s, t ∈ R, t ≥ s, ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s), ||V2(t, s)−1|| ≤ De−b(t−s), Vái MQI s, t ∈ R, t ≤ s ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t), ||V1(t, s)−1|| ≤ De−d(s−t) 1.1.2 H¾ tam phân mũ khơng đeu H¾ tam phân mũ khơng đeu mđt trũng hop mo rđng cna hắ tam phõn m đeu, tìm hieu sn giong khác ban giua chúng Gia su X không gian Banach, A : R → B(X) m®t hàm liên tuc, B( X) t¾p hop tốn tu tuyen tính b% ch¾n X Xét toán giá tr% ban đau v J = A(t)v, v (s) = vs , (1.2) vói s ∈ R vs ∈ X Gia thiet rang tat ca nghi¾m cna (1.2) tồn cuc Ta viet nghi¾m nhat cna toán giá tr% ban đau (1.2) dưói dang v(t) = T (t, s)v(s), o T (t, s) tốn tu tien hóa liên ket Xét hang so ≤ a < b, ≤ c < d, (1.3) aJ , bJ , cJ dJ ≥ (1.4) Đ%nh nghĩa 1.2 Ta nói rang phương trình tuyen tính v J = A(t)v có m®t tam phân mũ không đeu neu ton tai hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) cho P (t), Q1 (t) Q2 (t) phép chieu vái P (t) + Q1(t) + Q2(t) = Id, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi(t)T (t, s) = T (t, s)Qi(s), i = 1, vái MQI t, s ∈ R, ton tai hang so (1.3)-(1.4) Di > 0, ≤ i ≤ cho 1.Vái MQI t, s ∈ R, t ≥ s, ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+aj|s| , ||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+bj|t| ; (1.5) 2.Vái MQI t, s ∈ R, t ≤ s, ||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+cj|s| , ||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+dj|t| (1.6) Các hang so a, b, c, d đưoc coi so mũ Lyapunov, tính khơng đeu cna dáng đi¾u mũ đưoc quyet đ%nh boi hang so aJ , bJ , cJ , dJ Khi ba thành phan cna nghi¾m tương úng vói thành phan tâm, őn đ%nh không őn đ%nh cna A(t) ta có the lay a = c = (do b > d > 0) Nh¾n xét 1.1 So sánh hai đ%nh nghĩa ve tam phân mũ đeu tam phân mũ không đeu ta thay hắ tam phõn m khụng eu cú thờm mđt lưang mũ aJ |s|, bJ |t|, cJ |s|, dJ |t| Khi aJ = bJ = cJ = dJ = khái ni¾m tam phân mũ khơng đeu trùng vái khái ni¾m tam phân mũ đeu Ví dn 1.1 Cho ω > ε > nhung h¾ so thnc h¾ phương trình R3 xJ = 0, y J = (−ω − εt sin t)y, z J = (ω + εt sin t)z (1.7) H¾ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ khơng đeu ChÚng minh Ta thay nghi¾m cna h¾ (1.7) đưoc viet dưói dang x(t) = U (t, s)x(s), y(t) = V1(t, s)y(s), z(t) = V2(t, s)z(s), U (t, s) = 1, V1(t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s , V2(t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s Tốn tu tien hóa T (t, s) cna h¾ (1.7) đưoc cho boi T (t, s)(x, y, z) = (U (t, s)x, V1(t, s)y, V2(t, s)z) Gia su P (t), Q1(t), Q2(t) : R3 → R3 phép chieu đưoc xác đ%nh boi P (t)(x, y, z) = x, Q1(t)(x, y, z) = y, Q2(t)(x, y, z) = z Rõ ràng phép chieu thoa mãn đieu ki¾n ve phép chieu đ%nh nghĩa cna h¾ tam phân mũ khơng đeu CHQN b = d = ω − ε, bJ = dJ = 2ε hang so a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − ε, c < ω − ε Ta chi rang ton tai D1 = D2 = D3 = D4 = D > cho ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| vói t ≥ s ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+cj|s| , ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| vói t ≤ s Vì ||U (t, s)|| = nên ta có ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| vói t ≥ s ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+cj|s| vói t ≤ s vói MQI a, aJ , c, cJ > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > Ta chúng minh ||V1(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| vói t ≤ s (1.8) ||V2(t, s)−1|| ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| vói t ≥ s (1.9) Ta viet lai V1(t, s) sau: V1(t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t), suy V1(s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) Vói ≤ t ≤ s, tù (1.10) ta có V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2εt, vói t ≤ ≤ s ta có V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t), vói t ≤ s ≤ ta có V1(s, t) ≤ e2εe−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2εe−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| mà V1(s, t) = V1(t, s)−1 suy V1(t, s)−1 ≤ e2εe−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Đieu cho ta (1.8) Đe thu đưoc (1.9) ta chúng minh tương tn Tù V2(s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t) ta có V2(t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| (1.10) Tù vi¾c thoa mãn (1.9) (1.8) ta cú hắ (1.7) cú mđt tam phõn m khụng đeu 1.1.3 Không gian tâm, on đ%nh khơng on đ%nh Gia su rang phương trình v J = A(t)v có m®t tam phân mũ khơng đeu Ta xét ba khơng gian tuyen tính E(t) = P (t)X, Fi(t) = Qi(t)X, i = 1, vói moi t ∈ R Ta GQI E (t), F1 (t) F2 (t) tương úng không gian tâm, őn đ%nh khơng őn đ%nh tai thịi điem t Ta có: X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) vói MQI t ∈ R dim E(t), dim F1(t), dim F2(t) khơng phu thu®c vào thịi điem t Nghi¾m cna (1.2) có the đưoc viet dưói dang v(t) = (U (t, s)ξ, V1(t, s)η1, V2(t, s)η2) vói t ∈ R (1.11) vói vs = (ξ, η1, η2) ∈ E(s) × F1(s) × F2(s), U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s) Vi(t, s) := T (t, s)Qi(s) = T (t, s)Qi(s)2 = Qi(t)T (t, s)Qi(s), i = 1, Trong trưịng hop đ¾c bi¾t, neu không gian tâm, őn đ%nh không őn đ%nh khơng phu thu®c vào t, túc E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, vói MQI t, tốn tu T (t, s) phai có dang tương úng vói tőng trnc tiep E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T (t, s) có the đưoc bieu dien dưói dang U (t, s) T (t, s) =  0 V1(t, s) 0   V2(t, s ) Ngoài ra, toán tu U (t, s) : E(s) → E(t) Vi(t, s) = Fi(s) → Fi(t), i = 1, kha ngh%ch Kí hi¾u tốn tu ngh%ch đao tương úng U (t, s)−1 Vi(t, s)−1, i = 1, ta có: U (t, s)−1 = U (s, t) Vi(t, s)−1 = Vi(s, t) vói MQI t, s ∈ R Chú ý rang bat thúc o (1.5)-(1.6) có the viet lai thành: ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+aj|s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+bj|t| Tù (3.3) ta có max {c, a} + 2γ + 2θ < d ket hop vói (3.14), ω1 ƒ= ta có lim e(2θ+max{c,a})t ǁV1 (t, s) ω1ǁ = ∞ t→− ∞ M¾t khác, tù (3.33) lim e(2θ+max{c,a})t T (t, s) S−sv − U (t, s)ω◦ = t→− ∞ Tù (3.32) ta lai có m®t mâu thuan trù ω1 = 0, suy Ss (E (s)) = E (−s) vói MQI s ∈ R Bo đe 3.3 Vái MQI t ∈ R ta có S−tV1 (−t, s) = V2 (t, −s) Ss F1 (s) , S−tV2 (−t, s) = V1 (t, −s) Ss F2 (s) , S−tU (−t, s) = U (t, −s) Ss E (s) ChÚng minh Tù Bő đe 3.2, neu v ∈ F1 (s) Ssv ∈ F2 (−s) tù (3.11) S−tV1 (−t, s) v = S−tT (−t, s) v = T (t, −s) Ssv = V2 (t, −s) Ssv Ta có thúc đau tiên bő đe Các thúc khác có the de dàng thu đưoc bang cách tương tn Co đ%nh s ∈ R, ta xét không gian B+ B− Đ%nh nghĩa không gian Bs hàm liên tuc x : R × E (s) → X cho x |[s, +∞) × E (s) ∈ B+ x |(−∞, s] × E (s) ∈ B− Theo [1][M¾nh đe 8.5-8.6], Bs khơng gian metric đay đn vói chuan ǁx [s, +∞) × E (s)ǁ+, ǁx (−∞, s] × E (s)ǁ− ǁxǁs = max , Σ th% chuan tương úng vói B+ B− ǁ·ǁ+ ǁ·ǁ− bieu || || −ρ(t) ||x||+ := sup e : t ≥ s, ξ ∈ E (s) \ {0}Σ ≤ C x(t, ξ) || || −σ(t) ξ|| e ||x||− := sup : t ≤ s, ξ ∈ E (s) \ {0}Σ ≤ C x(t, ξ) || ξ|| Xét s ∈ R ϕ ∈ X (xem Muc 1.2.2, ta đ%nh nghĩa cna không gian X ) đ%nh || nghĩa toán tu ∫t (Jsx)(t, ξ) = U (t, U (t, τ )f (τ, x(τ, ξ), ϕ(τ, x(τ, ξ))) dτ s s)ξ + vói MQI x ∈ Bs (t, ξ ) ∈ R × E (s) Bo đe 3.4 Vái δ đu nhó, vái mői ϕ ∈ X tính chat sau đưac thóa mãn: 1.Cho trưác s ∈ R ton tai m®t hàm nhat x = xϕ : R × E(s) → X vái x = xϕ(s, ξ) = ξ thóa mãn phương trình ∫ t x(t) = U (t, s )ξ + U (t, τ )f (τ, x(τ ), ϕ(τ, x(τ ))) dτ, s xϕ (t, ξ ) ∈ E (t) vái MQI t ∈ R, ξ ∈ E (s); 2.Hàm xϕ thóa mãn xϕ|[s, +∞) × E(s) ∈ B+, xϕ|(−∞, s] × E(s) ∈ B−,  ||xϕ(t, ξ)|| ≤   2D1 eρ(t) ||ξ||, 2D2 eσ(t) ||ξ||, t≤ (3.34) s t≥s ChÚng minh Ta bat đau vói trưịng hop t ≥ s Cho trưóc s ∈ R, ϕ ∈ X, ξ ∈ E(s), ta xây dnng toán tu ∫ t (Jx)(t, ξ) = U (t, U (t, τ )f (τ, x(τ, ξ), ϕ(τ, x(τ, ξ))) dτ s)ξ + s vói moi x ∈ B+ t ≥ s Rõ ràng Jx hàm liên tuc thu®c lóp C k , (Jx)(s, ξ) =ξ U (s, s)ξ = ξ Mà ||x(t, ξ )|| ≤ ||x||J ||ξ||eρ(t) ≤ C0 ||ξ||eρ(t) , ket hop vói (1.16) ta có ||f (τ, x(τ, ξ ), ϕ(τ x(τ, ξ )))|| ≤ c1δe−β|τ|||(x(τ, ξ), ϕ(τ, x(τ, ξ)))|| ≤ 2c1δe−β|τ|||x(τ, ξ)|| ≤ 2c1C0δeρ(τ )e−β|τ|||ξ|| Su dung bat thúc (1.5) đ%nh nghĩa cna β (1.13), ∫ t ||(Jx)(t, ξ) − U (t, ||U (t, τ )|| ||f (τ, x(τ, ξ ), ϕ(τ, s x(τ, ξ )))|| dτ s)ξ|| ≤ ∫t ≤ 2c1 C0 δD1 ||ξ|| e(α+α1 )(τ −s) ea(t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ eaj|s| ∫ ts ρ(t ≤ 2c1C0δD1||ξ||e ) e−α1 (t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ ≤ θ||ξ||eρ(t) , s θ = 2c1C0δD1/α1 Hơn nua, (1.5) ρ(t) = (a + α1 )(t − s)+ aJ |s| ta có ||U (t, s)ξ|| ≤ D1 eρ(t) || ξ|| Do đó, cHQN m®t hang so C0 > D1 lay δ đn nho, thu đưoc ||Jx||J ≤ D1 + θ < C0 Bây giò ta xét đao hàm ∂j( Jx ) Áp dung [1][Bő đe 8.8, trang 179] cho hàm f ∗ (t, ξ ) = f (t, x(t, ξ ), ϕ(t, f∗ x(t, ξ ))) vói j = 1, , k, ta có ||∂ j f ∗ (τ, ξ )|| ≤ A¯j δe−β|τ | ejρ(τ ) Theo bat thúc bat thúc thú nhat (1.5), vói j = 2, , k, ta đưoc ∫ t ||∂j (Jx)(t, ξ)|| ≤ s ||U (t, τ )|| ||∂ j f ∗ (τ, ξ )|| dτ ∫ ¯ J t J ja ≤ |s| A j δD1 e s ∫t ≤ A¯j s ej(a+α1)(τ−s)ea(t−τ )e(a −β)|τ| dτ e−((j−1)a+α1 j)(t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ jρ(t) δD1 ejρ(t) ≤ A¯j δD1 e (j − 1)a + α1 j A¯j δD1 Lay δ đn nho, vói j = 2, , k ta có ||Jx||j ≤ Khi j = (j − 1)a + j ≤ Cj α ||∂ (Jx)(t, ξ )|| ≤ ||U (t, s)|| + A¯1 D1 δ/α1 CHQN m®t hang so C1 > D1 lay δ đn nho ta thu đưoc A¯1 D1 δ ||Jx||1 ≤ D1 + < C1 α1 Cuoi cùng, theo [1][Bő đe 8.11, trang 182], theo bat thúc đau tiên (1.5), vói moi t ≥ s ξ, ξ¯ ∈ E(s) vói ξ ƒ= ξ¯, ta có ||∂k(Jx)(t, ξ) − ||∂k(Jx)(t, ξ¯)|| ∫t ≤ s ||U (t, τ )|| ||∂ k f ∗ (τ, ξ )|| − ∂ k f ∗ (τ, ξ¯)|| dτ ≤ A^k D1 δe(k+1)aj|s| ||ξ − ξ¯|| ∫t s e(k+1)(a+α1 )(τ −s) ea(t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ ≤ A^k D1 δ||ξ − ξ¯|| e(k+1)ρ(t) ^ AkD1δ ka + (k + 1)α1 ≤ ∫t s e−(ka+(k+1)α1 )(t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ ||ξ − ξ¯|| e(k+1)ρ(t) Lay δ đn nho, ta có Lk(Jx) ≤ A^ kD1δ ka + (k + 1)α1 ≤ Ck+1 Do đó, Jx ∈ B+ J : B+ → B+ tốn tu đưoc đ%nh nghĩa tot Bây giị ta chúng minh rang J ánh xa co vói chuan ||.||J ||x(t, ξ )|| −ρ(t) ||x||J := sup e : t ≥ s, ξ ∈ E (s)\{0}Σ || Cho trưóc x, y ∈ B+ τ ≥ s,ξ||tù (1.16) đ%nh nghĩa cna α1, ta có ||f (τ, x(τ, ξ ), ϕ(τ, x(τ, ξ ))) − f (τ, y (τ, ξ ), ϕ(τ, y (τ, ξ )))|| ≤ δe−β|τ|||x(τ, ξ), ϕ(τ, x(τ, ξ)) − y(τ, ξ), ϕ(τ, y(τ, ξ))|| ≤ 2c1δe−β|τ|||x(τ, ξ) − y(τ, ξ)|| ≤ α1 ρ(τ ) −β|τ | e e ||ξ|| ||x − y||J 2D Su dung bat thúc (1.5) (1.6) thu đưoc ||(Jx)(t, ξ) − (Jy)(t, ξ)|| ∫ t ||U (t, τ )|| ||f (τ, x(τ, ξ ), ϕ(τ, x(τ, ξ ))) − f (τ, y (τ, ξ ), ϕ(τ, y (τ, ξ )))|| dτ ∫t α1 J (a+α1 )(t−s) ≤ ||ξ|| ||x − y|| e e−α1 (t−τ ) e(aJ −β)|τ | dτ ≤ s +aJ |s| ≤ ||ξ || s ||x − y||J eρ(t) x − y||J vói moi t ≥ s, su dung β ≥ aJ Do ||Jx − Jy J || ≤ (3.35) || V¾y J ánh xa co Tù bő đe ta có Js (Bs) ⊂ Bs Js : Bs → Bs m®t ánh xa co Chú ý rang điem co đ%nh nhat xs ∈ Bs cna Js hàm xϕ bő đe Bo đe 3.5 Cho ϕ ∈ X s ∈ R , neu St ϕ (t, ξ ) = ϕ (−t, St ξ ) vái MQI (t, ξ) ∈ R × E (s) Stxs (t, ξ) = x−s (−t, Ssξ) vái ∀ (t, ξ) ∈ R × E (s) (3.36) ChÚng minh Ta xét không gian Bs × B−s vói chuan ǁ(x, y)ǁ = max {ǁxǁs, ǁy−sǁ} , ta đ%nh nghĩa toán tu Js = (Js, J−s) Bs × B−s Rõ ràng J m®t ánh xa co khơng gian metric đn Bs × B−s Điem co đ%nh nhat cna J c¾p (xs, x−s) Xét t¾p C cna hàm (x, y) ∈ Bs × B−s cho St x(t, ξ ) = y (−t, Ss ξ ) vói MQI (t, ξ ) ∈ R × E (s) Ta chúng minh C l úng Bs ì Bs Thắt v¾y Xét (xn, yn) ∈ C, xn → x, yn → y n → ∞ ta có Stxn(t, ξ) = yn(−t, Ssξ) suy Stxn(t, ξ) = yn(−t, Ssξ) Hơn nua, C ƒ= ∅ (0, 0) ∈ C Đe chúng minh (3.36) ta chúng minh J (C) ∈ C, th¾t v¾y ta có Σ St (Js x) (t, ξ ) = St U (t, s) ξ + St Js x (t, ξ ) , (3.37) (J¯s x) (t, ξ ) = ∫t U (t, τ )f (τ, x (τ, ξ) , ϕ (τ, x (τ, ξ))) dτ s Theo M¾nh đe 3.3, StU (t, s) ξ = U (−t, −s) Ssξ, (3.38) ∫t St (J¯s x) (t, ξ) = StU (t, τ )f (τ, x (τ, ξ) , ϕ (τ, x (τ, ξ))) dτ s ∫t = U (−t, −τ ) Sτ f (τ, x (τ, ξ) , ϕ (τ, x (τ, ξ))) dτ s Tù tính ngh%ch cna phương trình St tuyen tính vói MQI t ∈ R v ∈ X ta có ∂S A (−t) St v + f (−t, St v ) + St A (t) v + St f (t, v ) = − ∂t (t, v ) Tù (2.14), đoi vói moi t ∈ R v ∈ X f (−t, St v ) + St f (t, v ) = (3.39) Su dung (3.39) gia thiet ve hàm ϕ, vói (x, y) ∈ C ta có: ∫ St (J¯s x) (t, ξ ) =t U (−t, −τ )f (−τ, S x (τ, ξ) , ϕ (−τ, S x (τ, ξ))) τ τ − dτ s =− ∫t s = U (−t, −τ )f (−τ, y (−τ, Ssξ) , ϕ (−τ, y (−τ, Ssξ))) dτ ∫−t U (−t, r)f (r, y (r, Ssξ) , ϕ (r, y (r, Ssξ))) dτ −s = (J¯− y) (−t, Ssξ) , s Vói sn thay đői cna bien τ = −r Tù (3.37)-(3.38) St (Jsx) (t, ξ) = U (−t, −s) Ssξ +− (J¯ sy) (−t, Ssξ) = (J−sy) (−t, Ss ξ ) M¾t khác (Jsx, J−sy) ∈ C (x, y) ∈ C J (C) ⊂ C Suy (xs, x−s) ∈ C ta có (3.36) 3.1.3 ChÉng minh tính ngh%ch Bo đe 3.6 Hàm ϕ = (ϕ1, ϕ2) nhat ∈ X Đ%nh lý 1.1 thóa mãn Stϕ1 (t, x) = ϕ2 (−t, Stx) , = ϕ1 (−t, Stx) (3.40) Stϕ2 (t, x) Vái MQI (t, x) ∈ R × E (t) ChÚng minh Tù [1][M¾nh đe 8.4, trang 177] ta có X khơng gian metric đn vói chuan Σ ||ϕ|| = sup ||ϕ(t, x)||/||x|| : t ∈ R x ∈ E (t)\{0} Hàm nhat ϕ ∈ X Đ%nh lý 1.1 thu đưoc điem co đ%nh cna ánh xa co Φ : X → X phương trình .∫ (Φϕ)(s, ξ) s V1 (τ, s)−1 f (τ, xϕ (τ, ξ ), ϕ(τ, xϕ (τ, ξ ))) dτ , − = Σ ∫ +∞ ∞ V − s (τ, s)−1 f (τ, xϕ (τ, ξ ), ϕ(τ, xϕ (τ, ξ ))) dτ (3.41) Bây giị ta xét t¾p Y cna X đưoc hình thành boi hàm ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ X thoa mãn (3.40)vói MQI (t, ξ ) ∈ R × E (t) De dàng chúng minh Y đóng X Ta se chi ánh xa co Φ thoa mãn Y Khi ta có ϕ hàm nhat ∈ X Đ%nh lý 1.1 thu®c Y Ta phai chúng minh rang vói MQI (s, ξ ) ∈ R × E (s), Ss(Φϕ)1 (s, ξ) = (Φϕ)2 (−s, Ssξ) , (s, ξ) = (Φϕ)1 (−s, Ssξ) (3.42) Ss(Φϕ)2 vói ϕ ∈ Y Ta chi chúng minh thúc đau tiên (3.42), thúc khác có the thu đưoc bang cách tương tn Theo (3.41), Bő đe 3.3 (3.39) ta có: ∫s SsV1 (s, τ )f (τ, xs (τ, ξ) , ϕ (τ, xs (τ, ξ))) dτ Ss (Φϕ1) (s, ξ) = − −∞ ∫s V2 (−s, −τ ) Sτ f (τ, xs (τ, ξ) , ϕ (τ, xs (τ, ξ))) dτ −∞ ∫s V2 (−s, −τ )f (−τ, Sτ xs (τ, ξ) , Sτ ϕ (τ, xs (τ, ξ))) dτ =− =− −∞ vói ϕ ∈ Y, theo (3.40) ta có Sτ ϕ (τ, ξ) = Sτ ((ϕ1 + ϕ2) (τ, ξ)) = (ϕ1 + ϕ2) (−τ, Sτ ξ) = ϕ (−τ, Ssξ) (3.43) Tù Bő đe 3.5 Ss(Φϕ)1 (s, ξ) đưoc cho boi ∫ − s V2 (−s, −τ )f (−τ, x−s (−τ, Ssξ) , ϕ (−τ, Sτ xs (τ, ξ))) dτ −∞ ∫s =− V2 (−s, −τ )f (−τ, x−s (−τ, Ssξ) , ϕ (−τ, x−s (−τ, Ssξ))) dτ −∞ Đői bien τ = −r ta thu đưoc Ss(Φϕ)1 (s, ξ) =∫ −s +∞ V2 (−s, r)f (r, x−s (r, Ssξ) , ϕ (r, x−s (r, Ssξ))) dτ = (Φϕ)2 (−s, Ssξ) ta suy thúc thú nhat (3.42) Các thúc khác có the thu đưoc bang cách tương tn ChÚng minh Đ%nh lý 3.1 Ss tuyen tính, tù (3.43) ta có Ss (ξ, ϕ (s, ξ)) = (Ssξ, ϕ (−s, Ssξ)) Tù Bő đe 3.5 ta có Ss (E (s)) = E (−s) V¾y Ss (ξ, ϕ (s, ξ)) = Ss (Vs) = {(η, ϕ (−s, η)) : η ∈ Ss (E (s))} = V−s Đieu phai chúng minh 3.2 Tính thu¾n cua h¾ tam phân mũ khơng đeu đa tap tâm Phát bieu sau m®t cách phát bieu khác cna Đ%nh lý 3.1 ve tính thu¾n cna h¾ tam phân mũ không đeu đa tap tâm Ta su dung ký hi¾u giong Muc 3.1 Đ¾c bi¾t ta xét t¾p Vs (3.2) Đ%nh lý 3.2 Gia thiet Đ%nh lý 1.1, neu phương trình v J = A (t) v + f (t, v) có tính ngh%ch đoi vái m®t ánh xa S vái S2 = Id St tuyen tính vái ∀t ∈ R, hang so (1.4) (3.1) thóa mãn aJ , bJ , cJ , dJ a + (γ + θ) < b c + (γ + θ) < d vái γ = max Ss (Vs ) = Vs vái MQI s ∈ R Σ Tù chúng minh Bő đe 3.2 3.3, ta thu đưoc phát bieu sau Bo đe 3.7 Vái MQI t, s ∈ R ta có St (Fi (t)) = Fi (t) , i = 1, 2,St (E (t)) = E (t) , StVi (t, s) = Vi (t, s) Ss Fi (s) , i = 1, 2, E (s) StU (t, s) = U (t, s) Ss Theo cách hieu (3.39), ta có the su dung (2.25) đe chi vói bat kì t ∈ R v ∈ X , f (t, St v ) − St f (t, v ) = (3.44) Thnc hi¾n chúng minh cna Bő đe 3.5 3.6, trưòng hop ta su dung Bő đe 3.7 (3.44) thay cho Bő đe 3.2 3.3, ket hop vói (3.39), ta thu đưoc bő đe sau đây: Bo đe 3.8 Có nhat m®t hàm ϕ = (ϕ1, ϕ2) ∈ X Đ%nh lý 1.1 thóa mãn: Stϕ1 (t, x) = ϕ1 (t, Stx) , Stϕ2 (t, x) = ϕ2 (t, Stx) vái MQI (t, x) ∈ R × E (t) Ngoài ra, cho s ∈ R Stxs (t, ξ) = xs (t, Ssξ) ∀ (t, ξ) ∈ R × E (s) ChÚng minh Đ%nh lý 3.2 Tương tn chúng minh cna Đ%nh lý 3.1 Tù Bő đe 3.8 ta có Ss (ξ, ϕ (s, ξ)) = (Ssξ, ϕ (s, Ssξ)) M¾t khác, tù Bő đe 3.7 ta có Ss(E(s)) = E(s), v¾y, Ss (Vs) = {(η, ϕ (s, η)) : η ∈ Ss (E (s))} = Vs Đieu phai chúng minh Ket lu¾n Trong lu¾n văn tơi giói thi¾u đưoc khái ni¾m mói h¾ phương trình vi phân có tam phân mũ đeu, không đeu sn ton tai cna đa tap tâm, t¾p trung trình bày tính thu¾n tính ngh%ch cna h¾ phương trình vi phân nua tuyen tính v J = A(t)v + f (t, v ), v (s) = vs (vói gia thiet phan tuyen tính v J = A(t)v có tam phân mũ khơng đeu) đa tap tâm khơng gian Banach Ta thay rang tính thu¾n ngh%ch cna h¾ đưoc bao tồn đa tap tâm Ket qua đ¾c thù cho h¾ khơng ơtơnơm M¾c dù rat co gang van đe đưoc đe c¾p lu¾n văn tương đoi phúc tap thịi gian có han nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of nonautonomous differential equations, Springer Press [2] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories, Springer Press [3] Luis Barreira and Claudia Valls (2007), Smooth center manifolds for nonuni- formly partially hyperbolic trajectories, Springer Press [4] Luis Barreira and Claudia Valls (2009), "Robustness of nonuniform expo- nential trichotomies in Banach spaces", J Math, pp.373–381 [5] Luis Barreira and Claudia Valls (2008), "Growth rates and nonuniform hy- perbolicity", Discrete and continuous dynamical systems , pp.509–528 [6]J Carr (1980), Applications of Centre Manifold Theory, Springer Verlag [7] Lawrence Perko (2000), Differential equations and dynamical systems, Springer Verlag [8] Lamb and J Roberts (1998), "Time-reversal symmetry in dynamical sys- tems: a survey", Phys.D , 112, pp.1–39 ... (t, s) : E(s) → E(t) Vi( t, s) = Fi(s) → Fi(t), i = 1, kha ngh%ch Kí hi¾u tốn tu ngh%ch đao tương úng U (t, s)−1 Vi( t, s)−1, i = 1, ta có: U (t, s)−1 = U (s, t) Vi( t, s)−1 = Vi( s, t) vói MQI t,... tính ngh%ch vái bien x Ví dn 2.3 Xét phương trình vi phân: Vái ∂ξ ∂t Σ2 ∂ξ = ∂ Phương trình vi phân cap có the ac viet nh mđt hắ bon phng trỡnh vi phân cap đoi vái bien ξ, ∂ξ ∂ ξ ∂x , ∂x2  ... cua phương trình vi phân khơng gian Banach 12 2.1 H¾ đoi xúng .12 2.2 2.3 2.4 2.5 Tính ngh%ch cna phương trình vi phân khơng ơtơnơm .14 Tính ngh%ch cna phương trình vi phân ơtơnơm