Một số thuật toán chiếu điểm gần kề giải phương trình với toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIẾU - ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ THUẬT TỐN CHIẾU - ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn học tính toán Mã số: 604630 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2011 Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iv v Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép chiếu không gian Hilbert Phương pháp chiếu-điểm gần kề 2.1 Giới thiệu 2.2 Sự hội tụ mạnh phương pháp chiếu-điểm gần kề 10 2.2.1 Thuật toán chiếu-điểm gần kề 10 2.2.2 Định lý hội tụ 13 2.3 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song 18 Phương pháp CQ 23 3.1 Các bổ đề quan trọng 23 3.2 Một số thuật tốn CQ khơng gian Banach 25 3.3 Một số thuật tốn CQ khơng gian Hilbert 37 Áp dụng 41 4.1 Bài tốn khơi phục ảnh 41 4.1.1 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song 42 4.1.2 Thử nghiệm số 44 4.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 45 4.2.1 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song 46 ii 4.2.2 Phương pháp CQ song song .48 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 51 Bảng ký hiệu √ φ(·, ·) ∂f E∗ E F (T ) T ^(T ) F I J PC(·) ri(D) (·, ·) ⇀ S T[k] □ Khoảng cách suy rộng E Gradient f Không gian đối ngẫu Tập điểm bất động Tập điểm bất động tiệm cận T Ánh xạ đồng Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Hình chiếu lên tập C Tập điểm tương đối D Tích đối ngẫu tích vơ hướng Hội tụ yếu Tập không điểm hay tập nghiệm Tk(modN) Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật toán chấp nhận lồi có ứng dụng lý thuyết tối ưu, khơi phục ảnh, phương pháp xử lý xạ, , đưa tốn tìm nghiệm hệ phương trình với tốn tử đơn điệu tìm điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn (tương đối) Thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại Rockafellar [8] đề xuất vào năm 1976 trải qua nhiều lần cải biên Tuy nhiên thuật tốn nói chung cho kết hội tụ yếu Năm 2000, M V Solodov B F Svaiter [11] kết hợp thuật toán điểm gần kề với phép chiếu đơn giản lên giao nửa không gian để thu kết hội tụ mạnh Gần đây, P K Anh C V Chung [3] thực song song hóa thuật tốn chiếu-điểm gần kề để tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu Cũng dựa ý tưởng lai ghép, Nakajo Takahashi thu định lý hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn tương đối không gian Hilbert S Matsushita [7] tổng quát kết cho không gian Banach Năm 2011, Liu [6] cải biên thuật toán CQ Qin Su [9] để thu định lý hội tụ mạnh cho thuật tốn lặp xoay vịng tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn tương đối không gian Banach Đến năm 2011, P K Anh C V Chung đề xuất phương pháp CQ song song thuật toán tốt thuật toán lặp xoay vòng Liu chạy chế độ Bản luận văn tập trung trình bày thuật toán lai ghép với phép chiếu để giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert tìm điểm bất động họ ánh xạ không giãn tương đối không gian Banach Ngoài phần Mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm tốn tử đơn Lời nói đầu vi điệu, hình học khơng gian Banach vài tính chất quan trọng phép chiếu dùng luận văn Chương 2: "Phương pháp chiếu-điểm gần kề" trình bày hai thuật toán lai ghép phương pháp chiếu phương pháp điểm gần kề khơng gian Hilbert, phần Chương trình bày thuật tốn chiếuđiểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại (đơn trị đa trị) định lý hội tụ mạnh; phần Chương trình bày thuật tốn chiếu-điểm gần kề song song tìm nghiệm hệ phương trình tốn tử đơn điệu định lý hội tụ mạnh Chương 3: "Phương pháp CQ" trình bày định lý hội tụ mạnh phương pháp CQ cho tốn tử khơng giãn tương đối, phương pháp CQ xoay vòng phương pháp CQ song song cho họ tốn tử khơng giãn tương đối không gian Banach Phần Chương trình bày ứng dụng phương pháp CQ cải biên CQ song song không gian Hilbert Chương 4: "Áp dụng", áp dụng phương pháp song song luận văn để giải tốn khơi phục ảnh khơng gian Hilbert giải hệ phương trình đại số tuyến tính Trong chương chúng tơi đưa ví dụ số thực mơi trường Matlab minh họa hình học cho phương pháp chiếu-điểm gần kề song song Hà nội, ngày tháng 12 năm 2011 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm Cho H không gian Hilbert thực, E không gian Banach E∗ đối ngẫu E Tập lồi: Tập C ⊂ H (hoặc E) gọi lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] ⇒ αx + (1 − α)y ∈ C Toán tử đơn điệu: Ánh xạ T : E → E∗ gọi đơn điệu (Tx − Ty, x − y) ≥ ∀x, y ∈ E, ký hiệu (f, x) tích đối ngẫu Trường hợp E = E∗ = H ta có tích vơ hướng H Bổ đề 1.1.1 Giả sử S tập không điểm T , tức S = {x ∈ H | Tx = θ} Nếu T toán tử đơn điệu S ƒ= ∅ S tập lồi Chứng minh Với x1, x2 ∈ S t ∈ (0, 1) đặt x = tx1 + (1 − t)x2 Vì T tốn tử đơn điệu nên ta có ≤ (Tx − Tx , x − x1) = (Tx, tx1 + (1 − t)x2 − x1) = (1 − t)(Tx, x2 − x1) Chương Kiến thức chuẩn bị ≤ (Tx − Tx , x − x2) = (Tx, tx1 + (1 − t)x2 − x2) = t(Tx, x1 − x2) Từ điều suy (Tx, x1 − x2) = Vậy Tx = θ nghĩa x ∈ S □ Toán tử ngược-đơn điệu mạnh: T gọi đồng với số c > hay c-ngược đơn điệu mạnh H (Tx − Ty, x − y) ≥ cǁTx − Tyǁ2 ∀x, y ∈ H Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử T gọi đơn điệu cực đại đơn điệu đồ thị khơng phải tập thực đồ thị toán tử đơn điệu khác Toán tử J : E → E∗ xác định J(x) = {f ∈ E∗ | (f, x) = ǁxǁE2 = ǁf ǁE2 ∗ } gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Hàm số φ : E × E → R cho φ(y, x) = ǁyǁ2 − 2(y, Jx) + ǁxǁ2 với x, y ∈ E, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ E vào √ E ∗ Đại lượng φ(x, y) gọi khoảng cách suy rộng E Ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn tương đối: Cho C tập lồi đóng E T ánh xạ từ C vào Ký hiệu F (T ) tập điểm bất động T Một điểm p C gọi điểm bất động tiệm cận T C chứa dãy { xn} hội tụ yếu tới p cho lim (xn Tx n ) = Ký n→∞ − ^ T F (T ) Ánh xạ T hiệu tập tất điểm bất động tiệm cận gọi không giãn ǁTx − Tyǁ ≤ ǁx − yǁ ∀x, y ∈ C T ánh xạ ^ không giãn tương đối F (T ) = F (T ) φ(p, Tx) ≤ φ(p, x) với x ∈ C p ∈ F (T ) Nếu T tốn tử khơng giãn khơng gian Hilbert A = I − T tốn tử đơn điệu, I tốn tử đồng Thật vậy, với x, y ∈ H ta có ǁTx − Tyǁ ≤ ǁx − yǁ Do 2 ≤ ǁAx − Ayǁ = ǁx − yǁ − 2(x − y, Tx − Ty) + ǁTx − Tyǁ ≤ ǁx − yǁ − (x − y, Tx − Ty) Σ = 2(Ax − Ay, x − y) Không gian Banach lồi đều: Không gian Banach E gọi lồi với ε > tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E, ǁxǁ ≤ 1, ǁyǁ ≤ ǁx − yǁ ≥ ε ta ln có ǁx + yǁ < 2(1 − δ(ε)) ε Chú ý Có thể thay đổi sau: với x, y ∈ E, d > tồn d δ( ), ǁxǁ ≤ d, ǁyǁ ≤ d, ǁx − yǁ ≥ ε ta có ǁx + yǁ ≤ 2d(1 − δ( ε)) d Chú ý Mọi không gian Hilbert không gian lồi Thật vậy, giả sử ε > 0, ǁxǁ ≤ 1, ǁyǁ ≤ cho ǁx − yǁ ≥ ε Từ bất đẳng thức hình bình hành suy ǁx + yǁ2 = Σ ǁxǁ2 + ǁyǁ2 − ǁx − yǁ2 ≤ − ε2 Do √ − − − ε2 = − ε2 ΣΣ Chú ý Mọi không gian Banach lồi không gian phản xạ, tức E∗∗ = E ǁx + yǁ ≤ Không gian Banach lồi chặt: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x ƒ= y, ǁxǁ ≤ 1, ǁyǁ ≤ ta có ǁx + yǁ < Khơng gian Banach trơn trơn đều: Đặt U = {x ∈ E | ǁxǁ = 1} hình cầu đơn vị E Khi khơng gian Banach E gọi trơn giới hạn lim t→0 ǁx + tyǁ − ǁxǁ t tồn với x, y ∈ U E gọi trơn giới hạn với x, y ∈ U Nếu E trơn J liên tục chuẩn-chuẩn tập bị chặn E Tính chất Kadec-Klee: Khơng gian Banach E có tính chất Kadec-Klee xn ⇀ x ǁxnǁ → ǁxǁ xn → x n → ∞ Bổ đề 1.1.2 Mọi khơng gian Banach lồi đều có tính chất KadecKlee µi + µi (xk, vi) − µi − µiµi k = xk − (1 + µi )µi k ǁviǁ2 vi = xk k k (xk, vi) − v i − µ i i (1 + µ )ǁv ǁ2 i k Bước Tìm số tối ưu ik: Hi = {z ∈ Rn | (z − yik , Ai(yki )) ≤ 0} k = {z ∈ Rn | (z − yi , xk − yi ) ≤ 0} k Với z ∈ Hi k k ta có i i (z − yk, xk − yk ) ≤ i i ⇒ (z − xk + xk − yk, xk − yk ) ≤ i i i ⇒ ǁxk − yk ǁ ≤ (xk − z, xk − yk ) ≤ ǁxk − zǁǁxk − yk ǁ i ⇒ ǁxk − yk ǁ ≤ ǁxk − zǁ, suy PH i (xk ) = yi k k ( x k , v i ) − µi i i xk − PH i (xk ) = xk − yk = vi k (1 + µi )ǁv ǁ2 |(xk, vi) − µi| i ta có i + µ )ǁv ǁ k (1 (1 + µi )ǁv ǁ Σ i=1,2, ,n |(xk , vki ) −i µi | suy ǁxk − PHki (xk )ǁ = k i = argmax Bước Tính xk+1 Đặt Wk = {z ∈ H | (z − xk, x0 − xk) ≤ 0} Ta có ik ik (Aik (yk ), x0 − yk ) ik P i (x ) = x A (y ) −H k 0 ik ǁAik (ykikik)ǁ ik ik k k i k − yi k ) = x0 − µk (xk − yk , x0 − ky µ)k (x k ik ik (µ k) ǁxk − yk ǁ (xk − yik , x0 − xk) + ǁxk − yik ǁ2 i (xk − yk k ) = x0 − k ǁxk − ykik ǁ2 = (x x − (xk − yik , x0 − xk) k k −y)− (x i −y ) ik k ǁxk − yk ǁ2 (vi , x0 − xk) (xk, vi )ik − µi = x0 − k ǁvik ǁ v − (1 + µk )ǁvi ǁk v i i k ik k kik ik k k k k (1 + µ )(vi , x0) − µ (vi , xk) − µki = x0 − vi k (1 + µkik )ǁvki ǁ2 Nếu PH ik (x0 ) ∈ Wk , tức k (PH ik (x0 ) − xk , x0 − xk ) ≤ k (1 + µik )(vi , x0) − µik , xk) − µi k k k (vi ⇔ ǁx0 − xkǁ ≤ k (1 + µik ) ǁvi xk+1 = P ik Hk (vik , x0 − xk) k ǁ2 (x0) Nếu khơng xk+1 xác định sau xk+1 = PH ik ∩W (x0) = x0 + λ1Aki (yik ) + λ2(x0 − xk), k k λ1, λ2 thỏa mãn hệ phương trình λ1 ǁ (yik ), x0 − xk) = −(x0 − yik , k (yik )), (ykik )ǁ2 + k k k k Ai λ 2(Ai  (Aik (yik ), x0 − xk) + λ2ǁx0 − xkǁ2 = −ǁx0 − Aλ i xkkǁ2 k 4.1.2 Thử nghiệm số Xét hệ phương trình (x, vi) = µi, i H = L [0, 1], vi = t , µi = i = 1, 2, 3, 4, nghiệm xác tốn nàyi là+x2∗(t) = t Ta có αi = (y , vi) = i 1+ µi k ǁviǁ = ∫1 t2 i   + µi ∫ xk ti dt , 2+ i k dt = , + 2i i yk = xk xk − yki − (2i + 1)(αi − µi) i t, µik = (2i + 1)(αi − µi) i t, µik Tính tốn thực chế độ tuần t vi x0 = 104 ì t v ài sai số εk tính theo cơng thức εk = ǁxk − x ǁ = ∗ ∫1 k = với i, k, (xk − t)2dt Bảng 4.1: Thuật toán chiếu-điểm gần kề song song Số lần lặp (k) Sai số (εk) 4.2 2.89 × 10 10 30 40 −6 −9 5.637 5.36 × 10 5.25 × 10 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Xét hệ phương trình Ax = b, A ma trận thực kích thước m × n b vectơ không gian Rm Đặt aiT = (ai1, , ain) vector hàng thứ i ma trận A Viết lại hệ phương trình dạng T ia x = b i = 1, ,  = (ai1, , ain)T , x ∈ Rn, bi ∈ R m,i Gọi Pi(x) phép chiếu trực giao x lên siêu phẳng Hi = {z ∈ Rn | iaT z = bi} i = 1, , m (4.2) Ta có Pi(x) = x − a i aiT x − bi ǁaiǁ2 Đặt Ai = I − Pi Tương tự Bài tốn khơi phục ảnh, ta có Pi ánh xạ khơng giãn Ai toán tử ngược đơn điệu mạnh Bài toán giải hệ phương trình (4.2) tương đương với tốn giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu Ai(x) = i = 1, , m 4.2.1 Phương pháp chiếu-điểm gần kề song song Đây Bài tốn khơi phục ảnh với H = Rn, vi = µi = bi Áp dụng Thuật tốn chiếu - điểm gần kề song song ta thu thuật tốn giải hệ phương trình (4.2) sau Cho trước x0 ∈ Rn kµi > lần lặp thứ k ≥ ta có xk • Tính (đồng thời) yki = xk (xk, ai)i − bi (1 a + )a 2i k ã Đặt i = 1, , m (4.3) i |(xk , ) −i b | : iσk (1 + µk i )ǁaiǁ = Tìm ik = argmax Σ σk i i=1,2, ,n • Tính P −H ik (x0 ) = x0 Nếu k (1 + µik )(ai , x0) − µik , x ) − b k i (ai k k k ik (1 + µ ) a ik ǁa ǁ2 ik k ǁx0 − xkǁ ≤ (1 + µik ) k (ai , x ) − µ ik (ai ik k (1 + µ ) ǁa k k ǁ2 , xk) − bi (aik, x0 − xk) ik k xk+1 = P ik Hk (x0) Nếu khơng tìm λ1 λ2 thỏa mãn hệ phương trình  λ1(Aik λ1 ǁAi ik k(y k ), x0 − x k ) k+ λ k 2ǁx0 − xkǁ = −ǁx0 −k k k (yik )ǁ2 + λ2(Ai k (yik ), x0 − xk) = −(x0 − yik , (yik )), Ai tính (yik ) + λ2(x0 − xk) xk+1 = x0 + λ1Aik k Ý nghĩa hình học • Ta có Ai(yi ) + µi (yi − xk) = i k i k k i i ⇔ yk − Pi(yk) + µk(yk − xk) = i i i i ⇔ (1 + µk)yk = Pi(yk ) + µkxk i i = i ) + µk x y P (y ⇔ i i i 1+µ 1+µ k k (4.4) kk Do µi > nên phương trình (4.4) cho thấy nằm đoạn thẳng yi k [xk, Pi(yi )] Hơn nữa, từ (4.4) (4.3) ta thu k k i Pi(yki ) = (1 + kµi )y − kµi xk k = (1 + µi ) Σx k − (xk, ai) − bi (1 + µi )ǁa ǁ2 k i Σ a i − µi x kk (xk, ai) − bi = xk − a ǁaiǁ2 = Pi(xk) Như vậy, điểm nằm đoạn thẳng [xk, Pi(xk)] k yi • Xét siêu phẳng H ′i = {z ∈ Rn | (z − yi k , xk − y ) = 0} i k k = {z ∈ Rn | (z, xk − yi ) = (yi , xk − yi )} k k k i (1 + µ )ǁa ǁ i k i = z ∈n | (z, ai) (yk, xk − (xk, ai) − k = R yk ) µi Điều cho thấy H′i song song với H k i • Xét siêu phẳng W ′ = {z ∈ Rn | (z − xk, − xk) = 0} xk Σ i = {z ∈ Rn | (z, x0 − xk) = (xk, x0 − xk)} Vậy W′ k siêu phẳng qua điểm xk vng góc với vector x0 − xk • Minh họa hình học trường hợp n = 2, m = µi = với k k, i giả sử hệ phương trình có nghiệm Trong trường hợp này, Hi đường thẳng với µi k = yi k, i) k trung điểm đoạn thẳng [xk, Pi(xk)] (với Hình 4.1: Minh họa hình học thuật tốn chiếu-điểm gần kề song song 4.2.2 Phương pháp CQ song song Giải hệ phương trình (4.2) tương đương với tốn tìm điểm bất động họ tốn tử khơng giãn Pi(x) từ Rn vào Với k ≥ 0, hình chiếu xk lên C = Rn nó, tức zk = PRn (xk) = xk Hơn nữa, ta có k = αkx0 + (1 − αk)Pi(xk) = αkx0 + (1 − i k) α y x k − aT x k − a Σ i i bi ǁaiǁ2 Viết lại Ck dạng Ck = {v ∈ Rn | (v, xk − Pi(xk)) ≤ µk}, xk − Pi(xk) = µk = aiT xk − bai ǁaiǁ2 i 2(1 − ) αk k αǁx k ǁ + (1 − α k k )ǁx ǁ − ǁy ǁ i Σ Nếu PCk ∩Qk (x0) ƒ∈ Qk hình chiếu x0 lên Ck ∩ Qk viết dạng PCk ∩Qk (x0) = x0 + λ1(xk − Pik (xk)) + λ2(x0 − xk), λ1, λ2 thỏa mãn hệ phương trình λ1 ǁxk − Pik (xk )ǁ + λ2 (xk − Pi (xk ), x0 − xk ) = µk − (x0 , xk − Pi k  λ1(xk − Pik (xk), x0 − xk) + λ2ǁx0 − xkǁ = −ǁx0 − x kǁ (xk)), k (4.3) Tóm lại, áp dụng Thuật tốn CQ song song giải hệ phương trình (4.2) sau Cho x0 ∈ Rn dãy {αk} ⊂ (0, 1) Giả sử lần lặp thứ k ≥ ta có xk • Tính (đồng thời) = αkx0 + (1 − αk) yki • Tìm x k − aT xk − bi ǁaiǁ2 aiΣ i i ik = argmax{ǁyk − xkǁ} • Tìm xk+1: xk xk ∈ Ck,  xk+1 = PCk (x0) PCk (x0) ∈ Qk,   x0 + λ1(xk − Pi (xk)) + λ2(x0 − xk) trường hợp k  lại, λ1, λ2 nghiệm hệ phương trình (4.3) P (x ) = x Ck 0 (x )) − (x0, xk − Pik (xk)) − µk (x − P k i k ǁx − Pi (x ) ǁ2 k k k k Kết luận Luận văn trình bày lại cách hệ thống thuật tốn hội tụ mạnh giải phương trình, hệ phương trình tốn tử đơn điệu tìm điểm bất động họ hữu hạn ánh xạ không giãn tương đối không gian Hilbert dựa phương pháp lai ghép thuật toán điểm gần kề với phép chiếu lên giao tập lồi nửa không gian Luận văn đề cập đến vấn đề sau: Hệ thống lại số phương pháp điểm gần kề cải biên khơng gian Hilbert Khái niệm nghiệm gần với sai số cho phép số tính chất quan trọng; Trình bày thuật tốn chiếu-điểm gần kề để tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại định lý hội tụ mạnh đến điểm tập khơng điểm; Trình bày thuật tốn song song chiếu-điểm gần kề CQ tương ứng để giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu tìm điểm bất động họ ánh xạ không giãn tương đối khơng gian Hilbert Banach; Trình bày định lý hội tụ mạnh cho toán tử không gian tương đối không gian Banach định lý hội tụ mạnh phương pháp CQ xoay vòng CQ song song cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn tương đối không gian Banach; Áp dụng thuật toán chiếu-điểm gần kề song song cho tốn khơi phục ảnh khơng gian Hilbert ví dụ số minh họa cho hội tụ thuật toán này; Áp dụng thuật toán chiếu-điểm gần kề song song phương pháp CQ song song để giải hệ phương trình với số ẩn số phương trình khơng thiết Minh họa hình học cho thuật toán chiếu-điểm gần kề song song R2 Tài liệu tham khảo [1]Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [2] P K Anh and C V Chung (2011), A parallel CQ method for a finite family of relatively nonexpansive mappings (Submitted for publication) [3]P K Anh and C V Chung (2011), On strongly convergent parallel prox- imal point algorithms, Journal of Science, VNU, 27(2) [4]O Guler (1991), On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM J Optim., 2, 649-664 [5]S Kamimura and W Takahashi (2002), Strong convergence of a proximal- type algorithm in a Banach space, SIAM J Optim., 13, 938-945 [6]X F Liu (2011), Strong convergence theorems for a finite family of rela- tively nonexpansive mappings, Vietnam J Math., 39, 63-69 [7]S Matsushita and W Takahashi (2005), A strong convergence theorem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space, J Approx Theory, 134, 257-266 [8]R T Rockafellar (1976), Monotone operators and proximal point algorithm, SIAM J Contr Optim., 14, 877-897 [9]X L Qin and Y F Su (2007), Strong convergence theorems for relatively nonexpansive mappings in a Banach space, Nonlinear Anal., 67, 1958-1965 [10] M V Solodov and B F Svaiter (1999), A hybrid projectionproximal point algorithm, J Conv Anal., 6, 59-70 Tài liệu tham khảo 52 [11] M V Solodov and B F Svaiter (2000), Forcing strong convergence of proximal point iterations in a Hilbert space, Math Program., Ser A, 87, 189-202 ... ∈ S □ Toán tử ngược -đơn điệu mạnh: T gọi đồng với số c > hay c-ngược đơn điệu mạnh H (Tx − Ty, x − y) ≥ cǁTx − Tyǁ2 ∀x, y ∈ H Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử T gọi đơn điệu cực đại đơn điệu. .. mạnh phương pháp chiếu- điểm gần kề 2.2.1 Thuật toán chiếu- điểm gần kề Thuật toán 2.2.1 ([11]) Cho x0 ∈ H xấp xỉ ban đầu σ ∈ [0, 1) Giả sử bước lặp thứ k có xk Chương Phương pháp chiếu- điểm gần kề. .. ghép phương pháp điểm gần kề phương pháp chiếu Trong thuật toán này, giữ lại ưu điểm phương pháp điểm gần kề khơng nhiều chi phí tính tốn bước chiếu Đặc biệt, dựa vào tính chất tốn tử đơn điệu