Hệ phương trình đi ô phăng tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - VŨ TUAN ANH Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG TUYEN TNH LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi 2014 VŨ TUAN ANH Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG TUYEN TÍNH Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TS TRAN VŨ THIfiU Mnc lnc Ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Dang chuan Hecmit 1.2 Ma tr¾n đơn môđula 10 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính 14 2.1 Ưóc chung lón nhat .14 2.2 Thuắt toỏn -clớt mo rđng 17 2.3 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính 23 2.4 M®t so úng dung cna phương trình Đi-ơ-phăng 29 H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính 32 3.1 H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính 32 3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m nguyên 34 3.3 Thu¾t tốn Hecmit 36 3.4 Nghi¾m ngun dương cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng .38 3.5 Quy hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng 41 Ket lu¾n 44 Tài li¾u tham khao 45 Ma đau Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính (Linear Diophantine Equations) mang tên nhà tốn HQc cő Hy Lap Đi-ô-phăng o xú Alexandria vào khoang The ky thú sau Cơng ngun Đi-ơ-phăng viet m®t chun lu¾n có tên “Arithmetica”, cuon sách sóm nhat đưoc biet ve lý thuyet so đai so Phương trình Đi-ơ-phăng phương trình đai so địi hoi tìm nghi¾m huu ti ho¾c ngun Phương trình đai so phương trình chi bao gom bieu thúc đa thúc cna mđt hoắc nhieu bien Tớnh i-ụphng cna phng trỡnh o cho h¾ so cna đa thúc phai so huu ti (ho¾c so nguyên) nghi¾m chi có the so huu ti (ho¾c so nguyên) Hai phương trình quen biet tù lý thuyet so sơ khai, có tù trưóc thịi Đi-ơ-phăng nhung ví du ve phương trình Đi-ơ-phăng Ca hai loai phương trình đeu đưoc ngưịi Babylon biet đen Đó Phương trình b¾c nhat (tuyen tính), hai bien ax + by = c Phương trình b¾c hai (phi tuyen), ba bien x2 + y = z Lu¾n văn có muc đích tìm hieu trình bày thu¾t tốn Ơ-clít tìm nghi¾m ngun cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính n bien có dang a1x1 + a2x2 + + anxn = b, a1, a2, , an, bcna huu ti thu¾t tốn Hecmit tìmtính tat ca ngun h¾so phương trình Đi-ơ-phăng tuyen Ax = b nghi¾m vói ma tr¾n A véctơ b huu ti Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương Chương "Kien thúc chuan b%" nhac lai khái ni¾m cna đai so ve dang chuan Hecmit ma tr¾n đơn mơđula, liên quan tói vi¾c giai h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Đáng ý MQI ma tr¾n vói phan tu huu ti có hang bang so hàng cna ma tr¾n đeu đưa đưoc ve dang chuan Hecmit nhị phộp bien i cđt trờn ma trắn, dang chuan ny nhat Dang chuan Hecmit lai có quan h¾ vói ma tr¾n đơn mơđula (ma tr¾n ngun, khơng suy bien có đ%nh thúc bang +1 hay −1) Vói ma tr¾n huu ti A có hang bang so hàng ln ton tai ma tr¾n đơn mơđula U cho AU dang chuan Hecmit cna A Nêu cách a mđt ma trắn ve dang chuan Hecmit, cỏch tỡm ma tr¾n đơn mơđula tương úng đưa ví du so minh HQA cách làm Chương "Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính" đe c¾p tói phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính cna hai hay nhieu bien so Chương trình bày nhieu đ%nh nghĩa đ%nh lý can thiet cho vi¾c tìm tat ca nghi¾m ngun cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Đó khái ni¾m ưóc chung lún nhat, thuắt toỏn -clớt, thuắt toỏn -clớt mo rđng Đưa ví du so tính tốn chi tiet giúp hieu rõ đ%nh nghĩa %nh lý Cuoi chng e cắp en mđt so vớ du úng dung thnc te cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Chương "H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính" đe c¾p tói h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính đieu ki¾n can đn đe h¾ có nghi¾m ngun, dna ket qua lý thuyet ve dang chuan Hecmit ma tr¾n đơn mơđula nêu o Chương Sau đó, trình bày thu¾t tốn Hecmit tìm tat ca nghi¾m ngun cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Cuoi chương đe c¾p tói nghi¾m ngun dương cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính tốn qui hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng Các thu¾t tốn tìm nghi¾m ngun hay ngun dương đeu có kèm theo ví du so đe minh HQA M¾c dù có nhieu co gang, thòi gian kien thúc han che nên có the lu¾n văn cịn có nhung thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, tác gia mong muon đưoc tiep thu chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Nhân d%p này, tác gia lu¾n văn xin bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac tói GS.TS Tran Vũ Thi¾u hưóng dan t¾n tình tác gia hồn thành lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng biet ơn chân thành đen thay phan bi¾n dành thịi gian ĐQc đóng góp nhieu ý kien quý báu cho tác gia Tác gia xin trân TRQNG cam ơn ban lãnh đao khoa Toán – Cơ – Tin HQc, khoa Sau đai HQc thay giáo trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i trang b% kien thúc, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia suot nhung năm tháng tác gia hQc t¾p tai trưịng Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè v ong nghiắp ó quan tõm, đng viờn v chia se đe tác gia hồn thành lu¾n văn cna Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Tác gia lu¾n văn Vũ Tuan Anh Chương Kien thÉc chuan b% Chương nhac lai khái ni¾m ve dang chuan Hecmit ma tr¾n đơn mơđula có liên quan tói vi¾c giai h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Muc 1.1 nói ve dang chuan Hecmit: MQI ma tr¾n vói phan tu huu ti có hang bang so hàng cna ma tr¾n đeu đưa đưoc ve dang chuan Hecmit, dang chuan nhat Muc 1.2 nói tói ma tr¾n đơn mơđula: vói ma tr¾n huu ti A có hang bang so hàng ln ton tai ma tr¾n đơn mơđula U cho AU dang chuan Hecmit cna A N®i dung cna chương đưoc tham khao tù tài li¾u [3] [4] 1.1 Dang chuan Hecmit %nh ngha 1.1 Mđt ma trắn cap m ì n có hang bang so hàng cna ma tr¾n đưoc GQI o dang chuan Hecmit (Hecmit normal form) neu: • Ma tr¾n có dang [BO], B ma trắn cap m ì m cú ngh%ch ao; ã B có dang tam giác dưói; • Các phan tu đưịng chéo cna B dương; • MQI phan tu khác cna B không âm; Chương Kien thúc chuan b% • Phan tu lón nhat o moi hàng cna B nhat nam đưịng chéo cna B, cịn O ma tr¾n khơng cap m × (n − m) Sau m®t ví du ve ma tr¾n o dang chuan Hecmit: Σ 0 0 0 Đ%nh nghĩa 1.2 Các phép toán sau ve ma trắn oc GQI l phộp toỏn cđt sơ cap (elementary column operations): a) Đői cho hai c®t; b) Nhân m®t c®t vói −1 (túc đői dau m®t c®t); c) Thêm m®t b®i nguyên cna m®t c®t vào m®t c®t khác Đ%nh lý 1.1 (Dang chuan Hecmit, [4] Đ%nh lý 4.1, tr 45) MQI ma tr¾n vái phan tu huu ts có hang bang so hàng cua ma tr¾n có the đưa ve dang chuan Hecmit bang cỏch thnc hiắn cỏc phộp toỏn cđt s cap Chỳng minh Gia su A l mđt ma trắn huu ti vói hang bang so hàng Khơng giam tőng qt, có the xem A ma tr¾n vói phan tu nguyên Gia su ta bien đői A (bang cách thnc hiắn cỏc phộp toỏn cđt s cap) ve dang Σ, BO C B có dang tam giác dưói MQI phan tu o đưịng chéo so hàng đau cna d12có d ] khơng âmgia vàtoán saoHơn cho tőng d≥11 + d12 + 11 1kcó + dd Bây giị dùng cácD phép c®t sơ có 1kDdương bien đői đe0D[d cho nho nhat the Ta thiet dcap, ≥ dthe 11 12neu 1k Khi > (do A hang bang so nua, d12 > 11 bang cách lay c®t thú nhat cna trùhàng) c®t thúd hai≥ cna D, ta hàng thú nhat se có tőng nho hơn, trái vói gia thiet vùa nêu Do d = = d = ta nh¾n đưoc ma 12 1k tr¾n tam giác dưói lón Bang cách l¾p lai thao tác này, cuoi ma tr¾n A se đưoc bien đői thành [BO] vói B = (bij) ma tr¾n tam giác dưói vói đưịng chéo dương Tiep theo, ta bien đői ma tr¾n B sau Vói moi hàng i = 2, , m (m × m cap cna B), thnc hiắn đng tỏc sau vúi moi cđt j = 1, , i − 1: thêm m®t b®i nguyên cna c®t i vào c®t j cho phan tu (i, j) khơng âm nho bii Như v¾y, thao tác đưoc áp dung theo thú tn: (i, j) = (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), Có the thay rang sau m®t so phép bien đői c®t sơ cap này, ma tr¾n A se đưa đưoc ve dang chuan Hecmit Ví dn 1.1 Đưa ma tr¾n sau ve dang chuan Hecmit A= 4Σ −5 Ta có B = ∅, D = A Ta bien đői D sau: c®t trù hai lan c®t 1, c®t trù hai lan c®t đői cho hai cđt v ta lan lot nhắn oc ma tr¾n Σ Σ Σ 21 0 1 0 A→ → −5 → 16 −9 16 −9 16 Tiep đó, nhân c®t vói −1, c®t trù c®t 2, c®t trù c®t c®t trự ba lan cđt 2, ta nhắn oc cỏc ma tr¾n 0 Σ 0Σ 0Σ 0Σ → → → → 16 297 227 221 Tiep theo, c®t trù hai lan c®t đői cho hai c®t 2, ta đưoc ma tr¾n → 0 0 Σ→ Σ⇒B = Σ , (C = D = ∅) 201 210 21 Cuoi cùng, ta bien đői B sau: vói i = 2, lay c®t j = i − = trù hai lan c®t i = 2, ta đưoc ma tr¾n B khơng âm, dang tam giác dưói, khơng suy bien moi hàng cna B có nhat m®t phan tu lón nhat nam yj (m + ≤ j ≤ n) tham so nguyên tùy ý (giá tr% bien tn do) hay o dang véctơ m x = Uy vói y = (y0, , y0 , ym+1, , yn)T , yj ∈ Z, j = m + 1, , n Thu¾t tốn Hecmit(tóm tat) giai h¾ Ax = b, gom bưóc sau: • Bien đői A ve dang chuan Hecmit H = [BO] ã Tỡm ma trắn n mụula U cho H = AU • Giai phương trình Hy = b tìm nghi¾m ngun y0 = (y0, , y0 ) ã Tớnh nghiắm tng quỏt cna Ax = b theo cơng thúc (3.3) m Ví dn 3.1 Giai h¾ phương trình Đi-ơ-phăng Ax = b vói x1 b = ,x= A = −5 Σ Σ Σ−2 x3 Dang chuan Hecmit cna A ma tr¾n đơn mơđula tương úng (xem Ví du 1.1 1.5): −1 H = AU = 29 −14 32 Σ ,U Σ0 = −8 −9 Giai h¾ tam giác Hy = b ta nh¾n đưoc nghi¾m nguyên y1 = y0 = 1, y2 = y0 = −2 Nghi¾m quát cna h¾ Ax = b cho đưoc tính theo tőng Σ công thúc (3.3): x1 + 2y3 −1 2 = 57 + x= Σ Σ 29 −14 32 Σ− = 32y3 x3 , y3 ∈ Z × −8 −9 y3 −16 − 9y3 Kiem tra lai cho thay nghi¾m thoa mãn h¾ phương trình ban đau Ví dn 3.2 Giai h¾ phương trình Đi-ơ-phăng Ax = b vói A Σ Σ −11 ,x = x1 x2 b = x3 Σ Đưa A ve dang chuan Hecmit tính ma tr¾n đơn môđula U tương úng: Σ−5 −2 10 H = AU = Σ1 vói U = −1 −1 −7 13 Giai h¾ tam giác Hy = b ta nh¾n đưoc nghi¾m nguyên y1 = y0 = 1, y2 = y0 = Nghi¾m tőng quát cna h¾ Ax = b cho đưoc tính theo cơng thúc (3.3): x1 −5 + −5 −2 10 10y3 x= 11 × −1 + y3 −1 −1 = = Σ2 Σ Σ Σ , y3 ∈ Z x3 − 7y3 −7 y3 V¾y nghi¾m ngun can tìm cna h¾ x1 = −5 + 10k, x2 = −1 + k, x3 = − 7k vói MQI k ∈ Z Kiem tra lai cho thay nghi¾m thoa mãn h¾ phương trình can giai 3.4 Nghi¾m ngun dương cua h¾ phương trình Đi-ơ-phăng Trong nhieu tốn thnc te ngưịi ta can tìm nghi¾m ngun dương (chú khơng đơn thuan nghi¾m ngun) cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính Ax = b, A ∈ Rm×n ma tr¾n nguyên rank(A) = m, b ∈ Rm véctơ nguyên Trong nhung toán the, có the dùng thu¾t tốn Hecmit đe tìm nghi¾m ngun dương cna h¾ phương trình can giai Sau l mđt so vớ du ỏp dung thuắt toỏn Hecmit Ví dn 3.3 (Bài tốn cő "Trăm trâu, trăm bó co") Tőng đàn trâu có 100 con, gom ba loai: trâu đúng, trâu nam trâu già Đàn trâu ăn het 100 bó co Cho biet: trâu ăn 5, trâu nam ăn 3, lu khu trâu già bó Hoi moi loai có trâu? Giai GQI so trâu x1, so trâu nam x2 so trâu già x3 Theo đau ta có h¾ phương trình cna an so: = 100 + 5x1 + x3 x3 = x1 + x2 + 3x2 Vì so trâu phai so100 ngun dương nên ta can tìm nghi¾m ngun dương cna h¾ phương trình Ta đưa h¾ ve dang có h¾ so ngun, bang cách nhân ca hai ve cna phương trình sau vói ta nh¾n đưoc h¾ tương đương: x +x =x100 15x +1 x +2 9x 300 3+ = Trưóc het, ta áp dung thu¾t tốn Hecmit tìm nghi¾m nguyên cna h¾ Bo qua ky thu¾t chi tiet, ta đưa ket qua tính tốn ve dang chuan Hecmit H cna A ma tr¾n đơn môđula U tương úng sau: Σ0 −1 Σ1 Σ10 Σ1 0 −7 , H = AU = , U , b 0 A= = −1 = 15 30 0 Giai h¾ tam giác Hy = b ta nh¾n đưoc nghi¾m nguyên y1 = y0 = 100, y2 = y0 = 100 Nghi¾m tőng quát cna h¾ Ax = b cho đưoc tính theo cơng thúc (3.3): x1 100 + 4y −1 100 − 3− 100 x= 200 = −7 Σ2 Σ Σ Σ = x3 , y3 ∈ Z × 7y 3y33 −1 y3 V¾y nghi¾m ngun can tìm cna h¾ x1 = −100 + 4k, x2 = 200 − 7k, x3 = 3k vói MQI k ∈ Z Muon có nghi¾m ngun dương, ta can tìm k ∈ Z thoa mãn x1 = − 100 + 4k > k > 25, x2 = 200 − 7k > ⇔ k < 200 ⇒ k ≤ 28, = 3k > ⇔ k > Có giá tr% k thoaxmãn đieu ki¾n này: k = 26, k = 27 k = 28 • 78 Vói trâu k = già 26 ⇒ x1 = trâu đúng, x2 = 18 trâu nam x3 = • Vói k = 27 ⇒ x1 = trâu đúng, x2 = 11 trâu nam x3 = 81 trâu già • Vói k = già 28 ⇒ x1 = 12 trâu đúng, x2 = trâu nam x3 = 84 trâu Kiem tra lai cho thay ca nghi¾m thoa mãn MQI đieu ki¾n tốn Ví dn 3.4 (Bài tốn dân gian "Trăm bánh, trăm ngưịi ăn") Trong m®t le h®i, có 100 chiec bánh dành cho 100 ngưịi ăn Đàn ơng ăn 3, đàn bà ăn 2, lai dai hai tre ăn Hoi có đàn ơng, đàn bà tre tham dn? Giai GQI đau x1 ông, x2 so đàncna bà 3vàanxso: so tre Theo bàisotađàn có h¾ phương trình = 100 + 3x + x3 x3 = x1 + x2 + 2x2 Giai tương tn o ví du trưóc Ket qua ta nh¾n đưoc 1 100 −1 10 −2 −5 A= , H = AU = ,U Σ ,b 0 Σ Σ Σ = = −1 20 1, 0 Nghi¾m ngun cna tốn: y0 = 100, y0 = 200 x1 = −100 + 3k, x2 = 200 − 5k, x3 = 2k vói MQI k ∈ Z Có giá tr% nguyên cna k cho nghi¾m nguyên dương 34 ≤ k ≤ 39 Các nghi¾m ngun dương cna tốn đưoc ghi bang sau k x1: Đàn ông x2: Đàn bà x3: Tre 34 30 68 35 25 70 36 20 72 37 11 15 74 37 14 10 76 39 17 78 Kiem tra lai cho thay sáu nghi¾m thoa mãn tốn MQI đieu ki¾n cna 3.5 Quy hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính có quan h¾ m¾t thiet vói tốn qui hoach tuyen tính ngun: Trong so véctơ nguyên x ∈ Rn nghi¾m Ax = b, x ≥ tìm véctơ x∗ đat cnc tieu cna hàm tuyen tính cT x Cu the cT x∗ = min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn , x ≥ 0}, (3.4) A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn ngun cho trưóc Trưịng hop riêng khơng địi hoi x ≥ 0, (3.4) đưoc GQI tốn qui hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng (Diophantine linear programming) Bang cách đưa ma tr¾n A ve dang chuan Hecmit H = AU vói U ma tr¾n đơn mơđula thích hop, tốn qui hoach tuyen tính ngun (3.4) đưoc qui ve tốn qui hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng đoi vói (n−m) bien ngun y¯ = (ym+1, , yn )T vói m ràng bu®c bat thúc Cu the toán min{c¯T y¯|U¯ y¯ ≥ ¯b, y¯ ∈ Zn−m }, (3.5) = (ukj )k=1, ,m;j=m+1, ,n cap m × (n − m) U¯ Σ ¯b = (¯b1, , ¯bm ) vói ¯bk = − m ukj y , k = 1, , m i= j= j Σ1n c¯ = (c¯m+1 , , c¯n ) vói c¯j = ci uij , j = m + 1, , n Trong tốn (3.5) đieu ki¾n U¯ y¯ ≥ ¯b đam bao cho giá tr% cna bien toán ban đau không âm Gia su véctơ y¯∗ = (ym∗ +1 , , yn∗ ) nghi¾m toi ưu cna tốn (3.5) Khi đó, véctơ x∗ = U y ∗ vói y ∗ = (y 0, , y , y ∗ , , y ∗ ) se nghi¾m toi m m+1 n ưu cna toán qui hoach tuyen tính ngun (3.4) Tù l¾p lu¾n suy Đ%nh lý 3.3 ([3], Đ%nh lý 2, tr 19) Bài tốn qui hoach tuyen tính ngun min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn, x ≥ 0} ho¾c có mien rng buđc rng, hoắc tng ng vỏi bi toỏn qui hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng có dang (3.5) H¾ qua 3.1 ([3], tr 19) Bài tốn qui hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn} ho¾c có mien rng buđc rng, hoắc tng ng vỏi bi toỏn min{cT y¯|y¯ ∈ Zn−m } Ví dn 3.5 ([3], tr 19) Xét tốn qui hoach tuyen tính ngun cT x = −x1 − 2x2 + 3x3 → (3.6) min, vói đieu ki¾n (Ax = b, x ∈ Z, x ≥ 0): 4x1 − 4x2 + 3x3 =   x1 ≥ 0, 2x+∈6x Z, j = 1, 5x − 7x = 2, 3.lan j j Du ki¾n cna tốn lưot −4 , b c −7 A= = Σ = Σ − −2 Σ Dang chuan Hecmit H cna A ma tr¾n đơn mơđula U lan lưot 1 0 H = −3 , (H = AU ) U Σ4 Σ0 = −9 Hắ rng buđc (3.6) cna bi toỏn đưoc chuyen ve dang (theo bien y): .1 0 Σ y1 Σ × = Σ , y y2 vói nghi¾m ngun y1 = y0 = y2 = y0 = Xác đ%nh dang tőng quát x = Uy vói y = (y0, y0, y3)T , y3 ∈ Z, cho nghi¾m nguyên cna h¾ (3.6): x1 x2 = −3 Σ Σ Σ 4 −9 × x3 4 −8 y3 10 − 3y3 = 28 − 9y3 , Σ 25 − 8y3 hay x1 = 10 − 3y3, x2 = 28 − 9y3, x3 = 25 − 8y3 vói y3 tham so nguyên tùy ý Đe đam bao cho x1, x2, x3 ≥ can phai có 10 − 3y3 ≥ 0, 28 − 9y3 ≥ 0, 25 − 8y3 ≥ 0, T nghĩa y3 9≤ Do = −(10 3y3) tuyen − 2(28 − 9y 3) + 3(25 − 8y3)là = −3.ví 3y tốn qui − hoach tính ngun Đi-ơ3 nên phăng (3.5) cho du nàycbài cóx dang: min{9 − 3y3|y3 ≤ 3, y3 ∈ Z} Nghi¾m toi ưu cna tốn = Do đó, nghi¾m toi ưu cna y 3∗ tốn can giai x∗1 = x∗2 = x∗3 = Ket lu¾n Phương trình Đi-ơ-phăng phương trình đai so địi hoi tìm nghi¾m ngun Có rat nhieu dang phương trình Đi-ô-phăng, đơn gian đưoc giai quyet TRQN ven ca h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính, tat ca h¾ so cna MQI bien đeu so ngun (hay nói chung huu ti) Lu¾n văn trình bày n®i dung sau: Kien thúc so ve dang chuan Hecmit cna ma tr¾n Cỏc phộp toỏn cđt s cap a ma trắn huu ti ve dang chuan Hecmit Ma tr¾n đơn mơđula liên quan tói dang chuan Hecmit cách tìm ma tr¾n ny Thuắt toỏn -clớt v -clớt mo rđng tỡm ưóc chung lón nhat cna so nguyên dương tìm nghi¾m ngun cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính nhieu bien so Đieu ki¾n can đn đe h¾ phương trình Đi-ơ-phăng có nghi¾m ngun Thu¾t tốn Hecmit tìm tat ca nghi¾m nguyên nguyên dương cna h¾ Đi-ơ-phăng tuyen tính Qui hoach tuyen tính Đi-ơphăng Có the xem lu¾n văn bưóc tìm hieu ban đau ve phương trình Đi-ơ-phăng Tác gia hy vQNG tương lai se có d%p đưoc tìm hieu sâu ve loai phng trỡnh đc ỏo v lý thỳ ny, ắc bi¾t phương trình b¾c cao phương pháp giai khác 59 Tài li¾u tham khao [1] T Andreescu et al., An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, DOI 10.1007/978 − − 8176 − 4549 − − 2, Springer Science-Business Media, LLC 2010 [2] T David Introduction to Diophantine Equations September 7, 2006, http://www.geometer.org/mathcircles [3] M M Kovalev Discrete Optimization - Integer Programming, 2nd edition, Moscow, 2003 (in Russian) [4] A Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming John WileySon, New York, 1986 [5] Nguon Internet 60 ... 7) 2.3 Phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính Đ%nh nghĩa 2.5 Phương trình Đi- ơ -phăng phương trình đa thúc vói h¾ so ngun nghi¾m cna phương trình so ngun ho¾c so tn nhiên Phương trình Đi- ơ -phăng ban... so vớ du úng dung thnc te cna phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính Chương "H¾ phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính" đe c¾p tói h¾ phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính đieu ki¾n can đn đe h¾ có nghi¾m... tính 23 2.4 M®t so úng dung cna phương trình Đi- ơ -phăng 29 H¾ phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính 32 3.1 H¾ phương trình Đi- ơ -phăng tuyen tính 32 3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m nguyên