Một số bài toán tổ hợp đếm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Anh Vinh Hà Nội – Năm 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại tập hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.3 Giai thừa hoán vị 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp .5 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp 1.5.2 Hoán vị lặp 1.5.3 Tổ hợp lặp Error! Bookmark not defined CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN Error! Bookmark not defined 2.1 Một số toán đếm khơng lặp .Error! Bookmark not defined 2.1.1 Bài tốn lập số Error! Bookmark not defined 2.1.2 Bài toán chọn vật, chọn người, xếp .Error! Bookmark not defined 2.1.3 Bài toán tương tự Error! Bookmark not defined 2.2 Một số tốn đếm có lặp Error! Bookmark not defined 2.2.1 Bài toán lập số Error! Bookmark not defined 2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp .Error! Bookmark not defined 2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp .Error! Bookmark not defined 2.2.4 Bài toán đếm sử dụng hoán vị lặp Error! Bookmark not defined 2.2.5 Bài toán phân bố đồ vật vào hộp Error! Bookmark not defined 2.2.6 Bài toán tương tự Error! Bookmark not defined CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO Error! Bookmark not defined 3.1 Một số toán sử dụng nguyên lý bù trừ Error! Bookmark not defined 3.1.1 Nguyên lý bù trừ Error! Bookmark not defined 3.1.2 Các toán giải phương pháp bù trừ Error! Bookmark not defined 3.2 Một số toán giải phương pháp song ánh Error! Bookmark not defined 3.2.1 Phương pháp song ánh Error! Bookmark not defined 3.2.2 Các toán tổ hợp giải phương pháp song ánh .Error! Bookmark not defined 3.3 Một số toán giải phương pháp hàm sinh Error! Bookmark not defined 3.3.1 Bài toán chọn phần tử riêng biệt .Error! Bookmark not defined 3.3.2 Bài toán chọn phần tử có lặp Error! Bookmark not defined 3.4 Một số toán giải phương pháp hệ thức truy hồi .Error! Bookmark not defined 3.4.1 Khái niệm mở đầu mơ hình hóa hệ thức truy hồi Error! Bookmark not defined 3.4.2 Các toán tổ hợp giải hệ thức truy hồi Error! Bookmark not defined 3.4.3 Các toán tương tự .Error! Bookmark not defined 3.5 Bài tốn giải ngun lí cực hạn - khả xảy nhiều nhất, Error! Bookmark not defined 3.6 Bài toán giải phương pháp xếp thứ tự Error! Bookmark not defined 3.7 Bài toán giải phương pháp liệt kê trường hợp Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thơng, tốn học tổ hợp nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học cao đẳng nước ta Mặc dù mức độ khơng khó học sinh gặp khó khăn giải tốn Cịn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, tốn tổ hợp ln có mặt thử thách thực với thí sinh, chí định thành tích đội tuyển dự thi Trong luận văn đề cập đến số tốn tổ hợp tốn học phổ thơng, cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm từ đến nâng cao Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Luận văn gồm ba chương: Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên toán tổ hợp luận văn cịn ít, chưa có nhiều tốn khó Ngồi khố luận khơng thể tránh khỏi sai sót nhiều góc độ, mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chuyên nghành toán 1.1 Nhắc lại tập hợp Tập hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi tập tập A phần tử tập B thuộc A B  A  x  B  x  A Tính chất: - Mọi tập hợp A có tập  A - Tập A có n phần tử số tập A 2n Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến m , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự m phần tử dãy hữu hạn m phần tử hai thứ tự  a1 , a2 , ,am   b1 ,b2 , ,bm phần tử  tương ứng a , a2 , , am  =  b1 ,b2 , ,bm   = bi i  1,2, ,m Số phần tử số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu là: A n A A, B, C tập hợp hữu hạn, ABABAB ABCABCABBCCAABC Tổng quát: Cho A , A , , n tập hợp hữu hạn (n  1) An Khi n n │ A1 …  An │=  Ai  i1  1ik n Ai  Ak  n +  1ik ln Ai  Ak  Al +…+(1)n1 A1  A2   An 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Tổng quát Một cơng việc hồn thành hành động T1, T2 , , Tn T1 có m1 cách thực T2 có m2 cách thực Tn có mn cách thực Giả sử khơng có hai việc làm đồng thời cơng việc có m1  m2   mn cách thực Biểu diễn dạng tập hợp: Nếu X , Y hai tập hợp hữu hạn, khơng giao XY X Y Nếu X1, X2, , Xn n tập hữu hạn, đôi khơng giao X1  X   X n  Nếu X1  X2   Xn X , Y hai tập hữu hạn X  Y X Y\XYX Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12) Giả sử để hoàn thành nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việc nhỏ H1 H2 Trong đó: H1 làm n1 cách H2 làm n2 cách, sau hồn thành cơng việc H1 Khi để thực cơng việc H có n1.n cách Tổng qt Giả sử để hồn thành nhiệm vụ H cần thực k công việc nhỏ đó: H1 H2 ,…, , Hk H1 làm n1 cách H làm n2 cách, sau hoàn thành cơng việc … H k làm nk cách, sau hồn thành cơng việc Khi để thực cơng việc H có Biểu diễn dạng tập hợp: Nế u A1, A2, , An n1.n2 n cách k H1 Hk 1 hữu hạnn 1 , số phần tử tích n tập hợp đề các tập hợp tích số phần tử tập thành phần Để liên hệ với quy tắc nhân nhớ việc chọn phần tử tích đề A1  A2   An tiến hành cách chọn phần tử A , phần tử nhận đẳng thức: A2 ,…, phần tử An Theo quy tắc nhân ta A1  A2   An  A1 A2 An 1.3 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa n , kí hiệu n ! tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n n!  1.2.3.n 1.n , n  , n >1 Quy ước : 0!= 1!= Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A , gồm n phần tử (n  1) Một cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu: Pn số hoán vị n phần tử Pn  n!  1.2n 1.n 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu: Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Công thức: Chú ý n! k An = (n  k)! = n.n 1n  k  1 (với  k  n ) Một chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử n An  P Tổ hợp  n! Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (1  k  n ) Kí hiệu: Ck n (1  k  n ) số tổ hợp chập k n phần tử Công thức: Ck = n n! k !(n  k)! Chú ý C0 = n k nk Cn C C 1 k (0  k n) + C k 1= C k n n (1 k  n) n1 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa (Phương pháp giải toán tổ hợp) Một cách xếp có thứ tự r phần tử lặp lại tập n phần tử gọi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Nếu A tập gồm n phần tử chỉnh hợp phần tử tập A r Ngoài ra, chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nk Định lý 1.5.1 Số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử nr Chứng minh Rõ ràng có n cách chọn phần tử từ tập n phần tử cho r vị trí chỉnh hợp cho phép lặp Vì theo quy tắc nhân, có nr chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Chú ý p Số chỉnh hợp lặp chập p n phần tử n Như chỉnh hợp có lặp lại phần tử yếu tố thứ tự cốt lõi, yếu tố khác biệt khơng quan trọng 1.5.2 Hốn vị lặp Trong tốn đếm, số phần tử giống Khi cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng lần Định lý 1.5.2 Số hoán vị n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, có n2 phần tử thuộc loại 2, … có nk phần tử thuộc loại k n! n1 !n2 ! nk ! Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên nhận thấy có Cn cách n giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, lại n – n1 chỗ trống n Sau có nn cách đặt n2 phần tử loại vào hoán vị, lại n – n1 – n2 chỗ trống C Tiếp tục đặt phần tử loại 3, loại , … , loại k – vào chỗ trống n hốn vị Cuối có Cnn n k cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị  nk1 Theo quy tắc nhân tất hốn vị là: C n n C 1.C n n nn1 n!  nn k  nk 1 n !n ! n ! k TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (1994), Tài liệu chuẩn kiến thức lớp 12, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn tổ hợp,Nhà xuất Hà Nội Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (2009), Giải tích tốn học rời rạc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Tạp chí toán học tuổi trẻ , Nhà xuất Giáo dục  ... Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên tốn tổ hợp luận văn cịn ít, chưa... Bookmark not defined 2.2.1 Bài toán lập số Error! Bookmark not defined 2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp .Error! Bookmark not defined 2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp .Error! Bookmark... 1.5.1 Chỉnh hợp lặp 1.5.2 Hoán vị lặp 1.5.3 Tổ hợp lặp Error! Bookmark not defined CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN Error! Bookmark not defined 2.1 Một số tốn đếm khơng