Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAN VIET THÁI LÝ THUYET Đ® CHÊNH TH± GIÁ TRONG TỐN TÀI CHÍNH LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC Chuyên ngành : LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC Mã so : 60 46 01 06 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS TRAN HÙNG THAO HÀ N®I, 2014 Mnc lnc LèI Me ĐAU BANG KÝ HIfiU KIEN THÚC CƠ Se 1.1 Th% trưịng tài .8 1.1.1 Đ%nh nghĩa th% trưịng tài .8 1.1.2 Loi suat (Return rate) 1.2 Hop đong quyen cHQN mua hop đong quyen cHQN bán 1.2.1 Hop đong quyen cHQN mua 1.2.2 Hop đong quyen cHQN bán 11 1.3 Hop đong ký ket trưóc hop đong tương lai 12 1.3.1 Hop đong ký ket trưóc (Forward Contract) .12 1.3.2 Hop đong tương lai (Futures Contract) 12 1.4 Mơ hình Black - Scholes, cơng thúc Black - Scholes .13 1.5 M®t so yeu to ve tính toán ngau nhiên 14 1.5.1 Quá trình đo đưoc 14 1.5.2 Quá trình đo đưoc dan .14 1.5.3 Q trình kha đốn .15 1.5.4 Q trình thích nghi vói m®t b® LQc 15 1.5.5 Martingale 16 1.5.6 Q trình Wiener (Chuyen đ®ng Brown) 17 1.6 Tích phân ngau nhiên Ito 18 1.6.1 Đ%nh nghĩa cau trúc 18 1.6.2 Đ%nh nghĩa mô ta .19 1.6.3 Cơng thúc Ito cho chuyen đ®ng Brown 20 2 KHÁI NIfiM VE LÝ THUYET Đ® CHÊNH TH± GIÁ 23 2.1 Giá m®t q trình ngau nhiên 23 2.2 Thông tin th% trưòng 24 2.2.1 Trưịng thơng tin σ trưịng .24 2.2.2 Luong thông tin th% trưịng 25 2.2.3 Khơng gian xác suat có LQc 25 2.2.4 Luong thơng tin tőng hop cna th% trưịng 26 2.2.5 Các khái ni¾m chung 27 2.3 Cơ h®i có đ® chênh th% giá nguyên lý AAO - Absence of Arbitrage Oppotunity 29 2.3.1 Cơ h®i có chênh th% giá 29 2.4 Nguyên lý đáp úng th% trưòng đay đn 30 2.4.1 Quan h¾ giua nguyên lý AAO nguyên lý đáp úng 30 бNH GIÁ BANG PHƯƠNG PHÁP Đ® CHÊNH TH± GIÁ 33 3.1 Đ® đo xác suat rni ro trung tính hay đ® đo martingale tương đương 33 3.2 Áp dung phương pháp đ® chênh th% giá vào mơ hình Black - Scholes 38 3.3 Úng dung cna phương pháp đ® chênh th% giá 42 Tài li¾u tham khao 51 LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan t¾n tình het súc nghiêm khac cna PGS.TS Tran Hùng Thao Thay dành nhieu thòi gian q báu cna đe hưóng dan giai đáp thac mac cna suot ca trình làm lu¾n văn Tơi muon to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Tơi muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà Nđi, cỏc thay cụ ó am nhắn giang day khúa Cao HQc 2011 - 2013, đ¾c bi¾t thay tham gia giang day nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 lịi cám ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p anh ch% em nhóm Xác suat thong kê 2011 - 2013 quan tâm, giúp đõ, tao ieu kiắn v đng viờn tinh than e tụi có the hồn thành đưoc khóa HQc LèI Me ĐAU Tốn HQc tài m®t ngành tốn HQc úng dung, su dung cơng cu giai tích ngau nhiên, thong kê tốn HQc vói muc đích nghiên cúu th% trưịng tài Tuy m®t lĩnh vnc cịn mói so vói l%ch su tốn HQc tốn tài có nen tang 100 năm Phai nói thêm rang, vói sn phát trien nhanh chóng cna tin HQc vói nhieu thay đői lón cna th% trưịng tài ban thân tốn HQc tài ngày đưoc quan tâm tính thnc te kha úng dung cao cna Trong khoang ba th¾p ky tro lai đây, có hai khái ni¾m tài gây nhung anh hưong r®ng rãi, Tài san đáp úng đe bao h® giá (Repli- cating equities) Cơ h®i có đ® chênh th% giá (Arbitrage Oppotunity) Sn ket hop cna hai khỏi niắm ny cho ta mđt cụng cu manh đe đ%nh giá Đây lý đe chúng tụi cHQN e ti luắn l: "Lý thuyet đ chênh th% giá Tốn tài chính" Ban chat cna phương pháp đ® chênh th% giá (Arbitrage Pricing) dna vào ngun lý AAO (khơng có đ® chênh th% giá) nguyên lý đáp úng đe tính giá cna m®t tài san phái sinh tai thịi điem t trưóc lúc đáo han T, quan TRQNG tù giá tr% đáo han X đưoc đ¾t trưóc cna hop đong, ta có the tính tốn ngưoc lai giá tr% ban đau V0 cna phương án can đau tư Công cu e thnc hiắn phng phỏp ny l mđt đ đo xác suat, có tên GQI đ® đo xác suat rui ro trung tính hay đ® đo martingale Cũng v¾y mà phương pháp cịn đưoc GQI phương pháp rui ro trung tính Lu¾n văn gom có chương: Chương Kien thúc sá: Trình bày nhung khái ni¾m ban ve th% trưịng tài chính, giói thi¾u vi¾c đ%nh giá tài san tài tn theo mơ hình Black - Scholes, vói m®t so kien thúc ve tính tốn ngau nhiên (Chuyen đ®ng Brown, tích phân ngau nhiên Ito, martingale đưa m®t so q trình ngau nhiên đơn gian) Đây nhung kien thúc het súc quan TRQNG tien đe đe tiep tuc phát trien chương tiep theo cna lu¾n văn Chương Khái ni¾m ve lý thuyet đ® chênh th% giá: Chương bao gom khái ni¾m quan TRQNG ban cna tốn tài chính, lý thuyet đ® chênh th% giá, thơng tin th% trưịng, ngun lý ve th% trưịng hiắu qua v chi c hđi cú đ chờnh th% giá đe có đưoc m®t nhìn tőng the ban đau ve th% trưòng ve gia thuyet khơng có đ® chênh th% giá hay cịn GQI nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Oppotunities) Dưói gia thiet th% trưịng khơng có đ® chênh th% giá, m®t so tài san tài se m®t martingale cơng cu lý thuyet martingale đưoc su dung đe tính giá tài san tai thịi điem ban đau hoắc mđt thũi iem bat k trúc ỏo han Chương Đ%nh giá bang phương pháp đ® chênh th% giá: Cũng phan cna lu¾n văn Trong chương ny nờu rừ cỏch vắn dung khỏi niắm đ chờnh th% giá đe đ%nh giá m®t tài san tài chính, đ¾c bi¾t đ%nh giá quyen cHQN mua kieu châu Âu theo mơ hình Black - Scholes Nói rang đ %nh giá bang phương pháp đ® chênh th% giá thnc chat tính giá so gia thiet th% trưịng khơng có đ® chênh th% giá dna vào mđt cụng cu het sỳc ắc biắt, ú l đ đo martingale tương đương (Equivalent martingale measure - EEM) Phan bo sung Trong phan se nêu thêm m®t so khái ni¾m ve quyen cHQN chưa có đieu ki¾n nêu o chương đe làm đay đn thêm ve th% trưịng tài Đây nhung khái ni¾m hay, dùng đe tham khao Ta chi giói thi¾u sơ lưoc m®t so quyen cHQN mà khơng nêu phan đ%nh giá M®t so tài san so mơ hình có the có dang mơ hình Black - Scholes Do thòi gian gap rút kien thúc cịn han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, v¾y, rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay ban bè đong nghi¾p, xin trân TRQNG cám ơn Hà N®i tháng 02 năm 2014 BANG KÝ HIfiU FtY : B® LQ c tn nhiên cna q trình Y St: Giá cő phieu vào thòi điem t ST : Giá cő phieu vào lúc đáo han hop đong V0 : Giá quyen cHQN mua kieu châu Âu tai thòi điem ban đau Vt : Giá quyen chQN mua kieu châu Âu tai thòi điem t X : Giá thnc thi cna hop đong (Strike price) Λt: Lưong cő phieu mua vào tai thòi điem t h.c.c: hau chac chan Chương KIEN THÚC CƠ Se 1.1 1.1.1 Th% trưàng tài Đ%nh nghĩa th% trưàng tài Chương nham trỡnh by mđt so khỏi niắm quan trQNG ve cỏc hap đong tài cơng cn tính tốn ngau nhiên dùng chương ve sau Đ%nh nghĩa 1.1 Th% trưàng tài nơi dien hoat đ®ng giao d %ch mua bán quyen su dnng nhung khoan von thông qua phương thúc giao d%ch nhung cơng cn tài nhat đ%nh Cau trúc ban cua th% trưàng tài bao gom bđ phắn sau õy: Cỏc cỏ nhõn hoat đng riêng lé Các công ty kinh doanh, liên doanh Th% trưàng chúng tù có giá tr%, quan trQNG phai ke tái th% trưàng von (capital market), th% trưàng tien t¾ (currency market), thi trưàng cő phieu (stock market), th% trưàng trái phieu (bond market, thi trưàng hap đong tương lai hap đong quyen CHQN (future and option market) Các cau trúc trung gian: ngân hàng công thương, ngân hàng đau tư, công ty bao hiem Các đoi tưong đe bn bán th% trưịng tài hai loai tài san ban: i M®t chúng khoán so gom: cő phieu, trái phieu, hàng hóa cu the (như dau mo, khí đot, than đá, lúa gao, nơng san, thiet b%, phương ti¾n v¾n tai, ) ngoai t¾ ii Hai tài san phái sinh (derivatives), túc gói tài san tao nên tù m®t so tài san so (c phieu cỏc loai, trỏi phieu cỏc loai hoắc mđt so đoi tưong tài giá tr% lãi suat, ty giỏ hoi oỏi ) oc ghi nhắn mđt hop đong tài vói nhung đieu khoan ve thnc thi sn so huu tài san Ngưịi giu hop đong ngưịi có quyen so huu gói tài san Quyen có the mua bán lai th% trưịng Các phái sinh gom có: Các hop đong quyen cHQN (options), hop đong ký ket trưóc (forwards), hop đong tương lai (futures) 1.1.2 Lai suat (Return rate) Loi suat cng l mđt khỏi niắm het súc ban cna th% trưịng tài chính, bao gom hai khái ni¾m lãi suat (interest rate) hoa loi (yield): i Lãi suat cna m®t luong tien đau tư (đien hình trái phieu có lãi) ty l¾ tien phai tra theo đ%nh kỳ, tính theo phan trăm cna m¾nh giá cna cna trái phieu, túc cna giá tr% tương lai an đ%nh san cna luong tien đau tư) ii Hoa lai lãi suat tính theo giá th% trưịng cna trái phieu (chú khơng phai tính theo m¾nh giá ghi san trái phieu) Neu giá th % trưòng cna trỏi phieu tớnh tai mđt thũi iem hiắn tai t đó, lãi suat đưoc GQI hoa lai hi¾n tai Neu tính tai thịi điem đáo han T ta có hoa lai lúc đáo han 1.2 1.2.1 Hap đong quyen cHQN mua hap đong quyen cHQN bán Hap đong quyen cHQN mua Ngưịi ta có the mua "m®t h®i mua m®t cő phan chúng khốn tương lai vói m®t giá đam bao trưóc" Quyen cho phép tương lai có the mua (mà khụng bat buđc phai mua) nh vắy oc GQI l Quyen ChQn Mua Các đieu ki¾n cna hop đong là: Đen ngày đáo han, ngưòi giu hop đong có the tra cho ngưịi viet hop đong so tien bang giá thnc thi cna hop đong ST = e −r(T−t) σ2 ˜ ˜ Stexp[σ(WT − Wt) − (T − t)] (3.21) Ta nh¾n thay bieu thúc (3.21), St đo đưoc vói Ft cịn W˜ T W t l đc lắp vúi Ft dúi đ đo Q Do EQ(f (ST )e−r(T −t)|Ft) = EQ(f (ST )e−r(T −t)) Ký hi¾u ve phai cna (3.22) F (t, x) vói x = ST , túc ˜ ˜ (3.22) −t) r(T −t) σ(W T −W t )−σ /2(T −t) (t, W x)t = [e−r(T f (xenhiên echuan N (0, 1) dưói )]đ® đo(3.23) Vì WFT − E m®t bien ngau Q nên Q ∞ F (t, x) = e −r(T −t) ∫ f (xe(r−σ /2)(T −t) √ T −t −y2/2 ) √ dy 2π (3.24) +σy −∞ mua lan cHQN bán cHQN mua = (x −cHQN X Khi taquyen có )+ Bieu thúc F (t, x) v¾yĐoi có vói the quyen dùng đe tính giáthì chof (x) ca quyen F (t, x) = EQ ) [(e−r(T −t) (xe(r−σ /2)(T −t)+σ(WT −Wtθg−σ − Xθ/2)+ ] = EQ(xeσ√ − Xe−rθ) (3.25) g bien ngau nhiên Gauss tiêu chuan θ = T − t Bây giị ta đ¾t ln(x/ ) + (r + σ2/2)θ X d1 = √ σ Vói ký hi¾u ta có: θ F (t, x) = [(xeσ ∫ EQ √ d2 = d1 − σ θ √ θg−σ θ/2 g+d2≥0] − X e−rθ )I = ∞ (xeσ√ −d2 ∫ d2 (xeσ = −∞ −y /2 − θg σ θ/2 √ −X − θg σ θ/2 −X e− ) e dy rθ 2π e− ) e −y /2 rθ 2π dy Tách tích phân thành hi¾u hai tích phân đoi vói tích phân thú √ nhat, ta dùng phép bien đői z = y + σ θ ta đưoc F (t, x) = xN (d1) − Xe −rθ N (d2) Neu đ¾t x = St ta có cơng thúc: Vt = StN (d1) − Xe−r(T vó i −t) N (d2) ln(S / ) + (r + σ2/2)(T t) X −t d1 = √ σ T (3.26) (3.27) √ d2 = d1 t (3.28) − Neu đ¾t x = S0 ta có hi¾n giá cna quyen cHQN mua: V0 = S0N (d1) − Xe −rT N (d2) ln(S / ) + (r + σ2/2)T Xt vói d1 √ σ T d2 = d1 (3.29) √ T (3.30) − = Đó cơng thúc Black - Scholes cho giá quyen cHQN 3.3 Úng dnng cua phương pháp đ® chênh th% giá Gia su tài san so o gom m®t cő phieu có rni ro vói giá St tai thịi điem t m®t tài khoan ngân hàng khơng rni ro có giá Bt tai thịi điem t GQI Wt chuyen đ®ng Brown tiêu chuan m®t khơng gian xác suat (Ω, F , P ) (Ft ; ≤ t ≤ T ) b® LQc sinh boi chuyen đ®ng Brown Wt GQI rt lãi suat giao tai thòi điem t gia su thêm rang rt m®t q trình ngau nhiên khơng âm thích nghi vói b® LQc (Ft ) So tien Bt cna tài khoan ngân hàng đưoc xác đ%nh boi dBt = rtBtdt, ≤ t ≤ T B0 = (3.31) M¾t khác, gia su q trình giá chúng khốn (St), xét dưói đ® đo xác suat P cho, thoa mãn m®t phương trình vi phân ngau nhiên sau: dS = (µt S − δt )dt + σt SdWt (3.32) σt m®t q trình ngau nhiên dương, thích nghi vói b® LQc (Ft ) thoa mãn đieu ki¾n ∫ T Eσ2dt < t Hắ so àt l mđt quỏ trỡnh ngau nhiên, bieu th% loi suat trung bình khơng đóng vai trị vi¾c đ%nh giá san pham phái sinh ∫ (3.32) bình kha trình tích, túccó m®t lịi S2(ω)dP Ta gia thietphương rang, phương St không < âm ∞ Ω giai t Ta xét m®t quyen phu thu®c, hay cịn GQI m®t tài san phái sinh, viet cő phieu S vói hàm thu hoach h(x) vói thịi điem đáo han T Ký hi¾u C(t) giá cna tài san phái sinh tai thòi điem t Gia su rang tài san phái sinh đưoc đáp úng boi mđt chien loc tn ti tro gom viắc mua bỏn θt đơn v% cő phieu so b(t) đơn v% tien ngân hàng, v¾y: C(t) = b(t)Bt + θ(t)St = C(0) b(u)dBu + θ(u)dG(u) (3.33) + ∫ t ∫ t ∫ t G(t) = St − δudu, ≤ t ≤ T C(T ) = h(ST ) tai thòi điem đáo han T Tù (3.31) ta suy rang, xét dưói xác suat P , ta có: dG = S(µtdt + σtdW ), ≤ t ≤ T (3.34) Bây giò ta đ%nh nghĩa m®t q trình (W˜ t ) sau: σt dW˜ t = (µt − rt )dt + σt dWt (3.35) Khi ta có: dG = S(rt dt + σt dW˜ t ) (3.36) GQI Q m®t đ® đo xác suat cho dưói đ® đo W˜ t tro thành chuyen đ®ng Brown tiêu chuan Sn ton tai cna mđt đ o nh vắy am bao boi đ%nh lý Girsanov Xem tài khoan Bt đơn v% chuan, ti l¾ S˜ t St = B cho biet giá chúng t khốn St tai thịi điem t bang lan giá tr% cna đơn v% chuan tai thịi điem ay Theo cơng thúc Ito tù (3.31) (3.35) tính đưoc: δ˜ S˜ = −δ˜t dt + σt S˜dW˜ δt = B t (3.37) t Tù (3.37) suy rang, xét dưói xác suat mói Q, q trình se ˜ S m®t martingale neu chi neu δ˜t = hay δt = túc neu chi neu cő phieu khơng chia cő túc Bây giị, tù (3.32) (3.33) ta có: dC = rt Cdt + θ(t)σt SdW˜ , ≤ t ≤ T (3.38) Theo cơng thúc Ito, ta đưoc ˜ ˜ ∫t C˜ (t) = C(t) = C(0) + ˜ ˜ C(t) θ(u)σ(u)SudWu (3.39) Công thúc (3.39) chúng to rang q trình giá Bt ˜ (C (t)) ln ln m®t martingale đoi vói (Q, Ft ) Chú ý rang, tai thịi điem đáo han T ta có: C(T ) = h(ST ) V¾y tính chat martingale cna C(t) ta đưoc Bt C = B E [ h(ST ) |F ], ≤ t ≤ T t t Q BT t (3.40) EQ[.|Ft ký hi¾u xác suat có đieu ki¾n đoi vói σ-trưịng Ft xét dưói xác suat Q Nói tóm lai, tốn này, đe tính giá C(t) cna m®t Quyen phu thu®c (hay tài san phái sinh), ta phai: i Tìm m®t đ® đo xác suat Q cho, xét dưói đ® đo ay q trình W˜ t xác đ%nh boi hắ thỳc (3.35) l mđt chuyen đng Brown tiờu chuan ii Tính giá tr% kỳ vQNG (3.40) dưói xác suat Q Ta se tìm Q bang cách áp dung đ%nh lý Girsanov Vói m®t q trình u(t) = u(t, ω)) thoa mãn đieu ki¾n ∫ E[exp( T s ta đ¾t YT = exp( ∫ u2ds)] < ∞ ∫ T u2dt) T utdt − đ%nh nghĩa m®t đ® đo xác suat mói Q boi t Q(A) = E[1AYT ], A ∈ FT (3.41) 1A hàm chi tiêu cna t¾p A Ta nh¾n thay Q tương đương vói P , boi YT > Theo đ%nh lý Girsanov, trình W˜ ∫ W˜ t = Wt − xác đ%nh boi t usds, ≤ t ≤ T m®t chuyen đ®ng Brown tiêu chuan xét dưói xác suat Q Theo (3.35) ta có m®t q trình W˜ ˜ xác đ%nh the: ∫ t µs − rs − vói ut = rt µt − σt Wt = Wt ds σs Ta hồn tat bưóc (i) Đoi vói bưóc (ii), ta chi cịn phai tính kỳ vQNG có đieu ki¾n cơng thúc (3.40) Ta se khao sát q trình giá (St ) dưói xác suat mói Q Thay (3.35) vào (3.32): dS = (rt S − δt )dt + σt SdW˜ t , ≤ t ≤ T vói W˜ t chuyen đ®ng Brown tiêu chuan dưói xác suat mói Q H¾ thúc cho thay loi suat trung bình rt cna cő phieu St xét dưói xác suat Q van bang vói loi suat trung bình cna tài san khơng rni ro theo h¾ thúc (3.29) Do đó, xét dưói xác suat mói Q, hai tai san so có m®t loi suat trung bình, khác ve đ® bien đng Viắc tớnh St thnc chat l viắc giai mđt phương trình vi phân ngau nhiên tuyen tính đoi vói S Trong trưòng hop r σ đeu hang so dương, ngưịi ta có the tìm đưoc σ2 ˜ St = S0exp[(r − )t + σWt], ≤ t ≤ T Do giá cő phieu ST lúc đáo han m®t bien ngau nhiên tuân theo lu¾t loga-chuan , xét dưói xác suat Q Phn lnc Quyen cHQN ngoai lai 1.1 Các quyen cHQN ngoai lai (Exotic Options) Các mơ hình đưoc Geske (1979), Hodges Selby (1987) Ru- binstein đưa Đây quyen cHQN lay quyen cHQN khác làm so (a) Quyen cHQN mua xây dnng quyen cHQN mua (Call on call) G QIthnc XGBS thnc thi cna quyen cHQN dnng mua làm sanhình so, X2 GQI C (S, X quyen chQndùng muaquyen theotàimô Black 1, T ) công thúc giá thigiá cna quyen HQN - Scholes mo r®ng vói giácHQN thncmua thi làxây X1 thòi gian đáo chan làmua T2 Thu hoach se (b) Quyen cHQN max[CGBS(S, X1, T2) − X2, 0] bán xây dnng quyen cHQN mua (Put on call) Thu hoach se max[X2 − CGBS(S, X1, T2), 0] (c) Quyen cHQN mua xây dnng quyen cHQN bán (Call on put) Thu hoach se max[PGBS(S, X1, T2) − X2, 0] r®ng thnc X1 đáobán hantheo tai Tcơng trongvói đógiá PGBS thi giá quyen cHQN thúc Black - Scholes mo (d) Quyen cHQN bán xây dnng quyen cHQN bán (Put on put) Thu hoach se max[X2 − PGBS(S, X1, T2), 0] 1.2 Quyen cHQN vái rào can (Barriers Options) hình Black giá b%đưoc ch¾nGQI L lan dưói: Gia có H m®tCác quyen HQN ban xâyvàđau dnng cő phieu Sca t làtuân theo mô L su < -Sta0Scholes, < c¾n ctrên H c¾n Sdưói quyen cHQN rào can cna Cho g : R → R m®t hàm tat đ%nh St M = max0≤s≤tSt (giá cő phieu lón nhat khoang thịi gian [0, t]) t Sm = min0≤s≤tSt (giá cő phieu nho nhat khoang thòi gian [0, t]) Ta xây dnng m®t mhàm f sau: ,S )= SM < H g(ST ) neu L < S Tm f M(ST , T T S t t neu L > S m ho¾c SM > H + X)+ cHQN mua vói ) =− (SSTTquyen quyen TacHQN se dùng hàm làmneu thuTg(S cna cHQN se quyen m®t bán vói rào rào can can neu g(S )hoach =T (X )− , đóse Xlàđó làm®t giá thnc thi 1.3 Quyen cHQN "Nhìn lai" (Lookbacks) dien bienquyen cna 0≤t≤T t ctù 0Stmà đen T nhatlai t giá m®t HQN cho đentìm lúcxem đáo giá hantr% T ,nho ta nhìn ca0≤t≤T q Strình tr% Xét lón nhat max Khi Neu lai lay thu hoach ST − min0≤t≤T St ta có quyen cHQN mua nhìn Neu lai lay thu hoach max0≤t≤T St − ST ta có quyen cHQN bán nhìn Nh¾n xét: Vói ký hi¾u SM = max0≤s≤tSt Sm = min0≤s≤tSt ta có STt STt Sm < S < SM Ta đ¾t = λ(0 < λ ≤ 1) = µ(0 < µ ≤ 1) S S t T t M m T T thu hoach quyen cHQN mua nhìn lai o se [λS TM − ST ]+ thu hoach T m + quyen cHQN bán nhìn lai se [ST − µS ] 1.4 Xây dEng quyen cHQN lãi suat (Interest rate option) M®t quyen cHQN mua xây dnng lãi suat m®t hop đong quyen cHQN mà ngưịi giu hop đong cú quyen nhắn oc mđt khoan tien lói dna trờn m®t lãi suat bien đői sau tra m®t khoan tien lãi khác dna m®t lãi suat co đ%nh Neu quyen chQn đưoc thnc thi, nhà đau tư bán quyen cHQN mua lãi suat se phai tra cho ngưòi giu hop đong khoan tien bang giá thnc thi Quyen cHQN mua lãi suat có the đưoc dùng boi m®t nhà đau tư muon phịng h® cho m®t khoan no cna phai tra no theo m®t lãi suat tha női Bang cách mua quyen cHQN mua lãi suat, m®t nhà đau tư có the dn đoán đưoc luong tien se đưoc toán lãi suat đưoc tra Các quyen cHQN tong hap 2.1 Quyen cHQN kieu châu Á sanQuyen so cSHQN tai châu m®t so điem co đ%nh , T2 , xác , Tđ%nh , S n : Sboi T1 , S Tn ,cna Tn ; T Á thịi m®t quyen cHQNT1đưoc giá m®t i ≤T tài Cho f m®t hàm tat đ%nh đó, thu hoach AT cna m®t quyen cHQN châu Á tai m®t thịi điem đáo han T se ST + STn + + STn AT = f ( ) Dien bien giá tài san cna so S có the theo mơ hình Black - Scholes ho¾c khơng 2.2 Quyen cHQN Quanto Gia su o Vi¾t Nam, dùng tien Vi¾t Nam mua xăng dau o Singapore phai tra bang la Singapore V¾y có hai nguon ngau nhiên o đây: Nguon thú nhat sn bien đ®ng giá xăng dau tai th% trưịng Singapore, nguon thú hai sn bien đ®ng cna ty giá hoi đối giua VND đô la Singapore Các hop đong tài tính theo loai tien khác đưoc hop đong Quanto GQI GQI St giá m®t loai chúng khốn o Singapore tính theo tien la Singapore Ct giá m®t la Singapore tính theo VND Gia su St Ct dien bien theo quy trình: St = S0exp(µt + σ1W1(t)) Ct = C0exp(νt + ρσ2W1(t) + ρσ2W2(t)) ρ = ν hang so, σ1 σ2 hai hang so dương Tron 1g − đóρW, 1µ(t)vàvà Whai (t) hai chuyen đng Brown đc lắp, √ Ta có the xây dnng đưoc quyen cHQN dna hai "tài san so" là: giá chúng khoán St tai Singapore ty giá giua đong la Singapore đong Vi¾t Nam, tn theo hai cơng thúc M®t hop đong quyen cHQN the đưoc GQI m®t quyen cHQN Quanto 2.3 Quyen cHQN theo gio (Basket Option) M®t gio o m®t tài san tőng hop gom m®t so cő phieu vói nhung khoi lưong khác GQI PSt 2là thòi điem t cna m®t gio gom α1 cő phieu S1, α2 cő phieu , ,giá αn tai cő phieu Sn V¾y Pt = α1S1(t) + α2S2(t) + + αnSn(t) M®t quyen cHQN xây dnng m®t gio làm tài san ban đưoc m®t quyen cHQN theo gio GQI Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn Huu, Vương Qn Hồng (2010), Các phương pháp Tốn HQc Tài chính, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Tran TRQng Ngun (2010), Cơ sá tốn tài chính, NXB Khoa HQc Ky thu¾t [3] Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p mơn Tốn HQc Tài chính, NXB Khoa HQc Ky thu¾t [4] Tran Hùng Thao (2000), Tích phân ngau nhiên phương trình vi phân ngau nhiên, NXB Giáo duc [5] Tran Hùng Thao (2013), Tốn tài ban, NXB Văn hóa Thơng tin [6] Đ¾ng Hùng Thang (2012), Xác suat nâng cao, NXB Đai HQc Quoc gia Hà n®i [7] Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2009), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo duc [8] Dieter Sondermann (2006), Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer [9] Michael Meyer (2001), Continuous Stochastic Calculus with Applications to Finance, Chapman and Hall/CRC [10] Morters and Peres (2010), Brownian Motion, Cambridge [11] Jaksa Cvitanic, Fernando Zapatero (2004), Introduction to the economics and mathematics financial markets, The MIT Press [12] Jose Santiago Fajardo, Equivalent Martingale Measures and Lévy Pro- cesses, IBMEC Business School, http://www.scielo.br ... giỏ Tốn tài chính" Ban chat cna phương pháp đ® chênh th% giá (Arbitrage Pricing) dna vào nguyên lý AAO (khơng có đ® chênh th% giá) ngun lý đáp úng đe tính giá cna m®t tài san phái sinh tai thịi... VE LÝ THUYET Đ® CHÊNH TH± GIÁ Chương ny trỡnh by mđt cỏc khỏi niắm quan trQNG ban cua Tốn tài chính, lý thuyet đ® chênh th% giá Dưái gia thiet th% trưàng khơng có đ® chênh th% giá, m®t so tài. .. niắm ve lý thuyet đ chênh th% giá: Chương bao gom khái ni¾m quan TRQNG ban cna tốn tài chính, lý thuyet đ® chênh th% giá, thơng tin th% trưịng, ngun lý ve th% trưịng hi¾u qua chi h®i có đ® chênh