Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 64 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
64
Dung lượng
2,68 MB
Nội dung
Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! ÔN TẬP CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm số theo biến x (c) ' = ' ( x) = Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( k.u ) ' = k.u ' ( x ) = 21x ( ) ' ( x ) = n.x n ' (u ) = n.u n−1 n ' ' 1 =− x x ' k k =− x x ' ( sin x ) = cos x ( cos x ) ' ( cos u ) = −u '.sin u u' ' ( tan u ) = cos u ' =− u' sin u ( u.v ) ' = u '.v + u.v ' ( cot u ) a1 b1 x2 + a1 c1 x+ b1 c1 a2 c2 b2 c2 a1 x + b1 x + c1 a2 b2 = (a2 x + b2 x + c2 )2 a2 x + b2 x + c2 (ex ) = ex ' ( ln x ) ' = = u u '.v − u.v ' = v2 v ( e ) = e u ' ( a ) = a ln a.u ' u u ' x ' =− u ' ( a ) = a ln a ( log a x ) ' ' ' x ' u ' ' sin x ' ad − bc ax + b = cx + d (cx + d ) ' n−1 v' 1 = − v2 v ' v' k = − k v2 v ' (sin u ) = u '.cos u = − sin x ' ( tan x ) = cos x ( cotx ) u' u ' u = x.ln a u ( log a u ) ' 1 ln x ) = ( x x ( ln u ) ' ' = = u' u.ln a ' u' u' ln u ) = ( u u “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! NGUYÊN HÀM 1) 0.dx = C 1) 0.dt = C 3) k dx = k x + C 3) k dt = k t + C 2) dt = t + C 2) dx = x + C x +1 4) x dx = + C ( −1) +1 dx 5) = ln x + C x 6) dx = − + C 7) xdx = x +C x x 8) e x dx = e x + C 9) e− x dx = −e− x + C ax 10) a dx = + C 11) cos xdx = sin x + C ln a 12) sin xdx = − cos x + C x 13) tan xdx = − ln cos x + C 14) cot xdx = ln sin x + C −1 dx = +C n x (n − 1) x n −1 k k ax + b 16) = ln (ax + b)(cx + d) ad − cb cx + d k k x−a 17) 2 = ln x −a 2a x + a du = ln x + x k + C 18) x k 15) dx = tan x + C cos x dx 20) = − cot x + C sin x +1 ( ax + b ) 21) ( ax + b ) dx = +C a +1 dx 22) = ln ax + b + C ax + b a 19) t +1 4) t dt = + C ( −1) +1 dt 5) = ln t + C t 1 6) dt = − + C t t 7) tdt = t +C 8) et dt = et + C 9) e−t dt = −e−t + C at 10) a dt = + C 11) cos tdt = sin t + C ln a 12) sin tdt = − cos t + C t 13) tantdt = − ln cost + C 14) cottdx = ln sint + C −1 dx = +C n t (n − 1) t n −1 k k at + b 16) = ln (at + b)(ct + d) ad − cb ct + d k k u−a 17) 2 = ln u −a 2a u + a du = ln u + u k + C 18) u k 15) dt = tan t + C cos t dt 20) = − cot t + C sin t +1 ( at + b ) 21) ( at + b ) dt = +C a +1 19) “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! 23) e ax+b dx = e ax+b + C a a x+b x +b 24) a dx = +C ln a 25) cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a 26) sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a dx = tan ( ax + b ) + C cos ( ax + b ) a dx 28) = − cot ( ax + b ) + C sin (ax + b) a 27) 1 dx = ax + b + C a ax + b x 30) dx = ln tan + C sin x 29) dt = ln at + b + C at + b a 23) e at +b dt = e at +b + C a a t + b t +b 24) a dt = +C ln a 25) cos ( at + b ) dt = sin ( at + b ) + C a 26) sin ( at + b ) dt = − cos ( at + b ) + C a dt 27) = tan ( at + b ) + C cos ( at + b ) a dx 28) = − cot ( ax + b ) + C sin (ax + b) a 22) 1 dt = at + b + C a at + b t 30) dt = ln tan + C sint 29) x dx = ln tan + + C cos x 2 4 x a 32) x + a dx = x + a + ln x + x + a + C 2 n 33) n x m dx = x n xm + C m+n 31) t dt = ln tan + + C cost 2 4 x a 32) t + a dt = x + a + ln t + t + a + C 2 n 33) n t m dt = t.n t m + C m+n 31) Các đẳng thức lượng giác sin x + cos x = a sin x = − cos x cos x = − sin x b + tan x = d tan x.cot x = e tanx = cos x sin x cos x c + cot x = f cot x = sin x cos x sin x Công thức hạ bậc: sin a = − cos 2a cos a = + cos 2a Công thức biến đổi tích thành tổng “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! cos(a − b) + cos(a + b) sin a.sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a.cos b = sin(a − b) + sin(a + b) cos a.cos b = Tính chất ngun hàm • • • • f ( x ) dx = f ( x ) + C ( f ( x ) dx ) = f ( x ) k f ( x ) dx = k f ( x ) dx, k số khác f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx • f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx b + b a b a a a b f ( x)dx = − f ( x)dx a + f ( x)dx = a b + b k f ( x)dx = k f ( x)dx a a b F (ax + b) + C a b f ( x )dx = f ( t )dt = f ( u )du = = F ( b ) − F ( a ) a + f ( x)dx = F ( x) + C f (ax + b)dx = Tính chất tích phân + Tích phân khơng phụ thuộc biến số tức b f ( x) + g ( x)dx = a a b f ( x)dx + g ( x)dx a c b c a a b + a b c f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx I NGUYÊN HÀM Câu Câu Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A f ( x ) dx = ln x − ln x C f ( x ) dx = ln x + x + C +C Tính nguyên hàm 1 C x + dx = − ln x + + C A f ( x ) dx = ln x − x + C D f ( x ) dx = ln x − x + C 1 x + dx = ln x + + C Tính nguyên hàm B x + dx ta kết sau A 1 − x x2 1 B x + dx = − ln x + + C D x + dx = ln x + + C 1 − x dx ta kết sau: − x dx = ln − x + C B − x dx = −2 ln − x + C “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! C Câu 1 − x dx = − ln − x + C C ax + C ( a 1) ln a dx = ln x + C x ( x + 1) + C B x dx = D cos x x +1 + C ( −1) +1 dx = tan x + C B F ( x ) = ( x + 1) + C D F ( x ) = ( x + 1) + C x2 3 A F ( x ) = x − + C B F ( x ) = x + + C C F ( x ) = x2 + 3ln x2 + C D F ( x ) = x + + C x x x Trong hàm số sau đây, hàm số nguyên hàm f ( x ) = x3 + 3x2 − x + C k ( x ) = Câu +C Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A g ( x ) = 3x2 + x − Câu C F ( x ) = ( x + 1) + C Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) A F ( x ) = Câu − x dx = (1 − x ) Công thức nguyên hàm sau công thức sai? A a x dx = Câu D x + x3 − x B h ( x ) = x + x3 − x + x D u ( x ) = 3x2 − 6x − Trong hàm số sau đây, hàm số nguyên hàm f ( x ) = x + 2016 A F ( x ) = ln 2x + 2016 B F ( x ) = ln x + 2016 C F ( x ) = − ln x + 2016 D F ( x ) = ln 2x + 2016 1 Tính nguyên hàm F ( x ) = + x dx x A F ( x ) = ln x + x2 + C C F ( x ) = ln x + x +C B F ( x ) = ln ( x ) + x +C D F ( x ) = ln ( x ) + x2 + C Câu 10 Tính nguyên hàm F ( x ) = ( x + 3x + 1) dx x3 3x + +C x3 3x C F ( x ) = − − x+C A F ( x ) = x3 3x + + x+C x3 3x D F ( x ) = + + x+C 2 B F ( x ) = “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! x4 + ( x ) x2 x3 x3 x3 3 A F ( x ) = − + C B F ( x ) = − + C C F ( x ) = −3x3 − + C D F ( x ) = + +C x x 3 x x Câu 11 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x + 6 A f ( x ) dx = sin 3x + + C B f ( x)dx = sin x + + C 6 6 1 C f ( x ) dx = − sin x + + C D f ( x ) dx = sin 3x + + C 6 6 Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − A f ( x ) dx = ( x − 1) C f ( x ) dx = − 2x −1 + C 2x −1 + C B f ( x ) dx = ( x − 1) D f ( x ) dx = B f ( x ) dx = − ( x − ) 2x −1 + C 2x −1 + C Câu 14 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x − A C f ( x ) dx = ( x − ) f ( x ) dx = x−2 +C ( x − 2) x − D Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( − x ) A (3 − 2x ) + C 12 B − f ( x ) dx = x−2 +C − ( x − 2) + C (3 − 2x ) + C 12 C − (3 − 2x ) + C 12 D (3 − 2x ) + C 12 Câu 16 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos 2x 1 f ( x ) dx = − sin x + C D f ( x ) dx = −2sin x + C f ( x ) dx = sin x + C C f ( x ) dx = 2sin x + C A B Câu 17 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2x A e2 x + C B 2e2 x + C C e2 x +C D +C e2 x Câu 18 Tính nguyên hàm P = ( x + 5) dx A P ( x + 5) = 6 ( x + 5) + C D P = ( x + 5) + C ( x + 5) + C C P = + C B P = 6 Câu 19 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) ( x − 1) = x3 ( x 0) “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! B F ( x ) = x − 3ln x − − + C x 2x D F ( x ) = x − 3ln x − + + C x 2x + +C x 2x C F ( x ) = x − 3ln x + − + C x 2x A F ( x ) = x − 3ln x + Câu 20 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K Chọn mệnh đề sai A f ( x ) dx = F ( x ) + C B ( f ( x ) dx ) = f ( x ) C ( f ( x ) dx ) = f ( x ) D ( f ( x ) dx ) = F ( x ) Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx C f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx D f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx A kf ( x ) dx = k f ( x ) dx, ( k ) B Câu 22 Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có nguyên hàm F ( x ) , G ( x ) Xét mệnh đề sau: (I) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) (II) k.F ( x ) nguyên hàm kf ( x ) với k (III) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Các mệnh A (I) C Cả mệnh đề B (I) (II) D (II) Câu 23 Trong khẳng định sau khẳng định sai ? A F ( x ) = 2017 + cos2 x nguyên hàm hàm số f ( x ) = − sin 2x B Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) − g ( x ) dx có dạng h( x) = Cx + D với C , D số, C C u ( x ) u ( x ) dx = D Nếu u ( x ) + C f ( t ) dt = F ( t ) + C f u ( x ) dx = F u ( x ) + C Câu 24 Khẳng định sau đúng? A x x B sin dx = cos + C 2 tan xdx = − ln cos x + C D cos xdx = −2sin x + C C cot xdx = − ln sin x + C Câu 25 Nếu f ( x ) dx = x + ln x + C hàm số f ( x ) A f ( x ) = x + 2x B f ( x ) = − 1 + x2 x C f ( x ) = 1 + ln ( x ) D f ( x ) = − + x x 2x Câu 26 Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A e x dx = x e+1 +C e +1 e x +1 B cos xdx = sin x + C C e x dx = + C D x +1 x dx = ln x + C Câu 27 Biết nguyên hàm hàm số y = f ( x ) F ( x ) = x2 + x + Khi đó, giá trị hàm số y = f ( x ) x = C f ( 3) = 22 B f ( 3) = 10 A f ( 3) = D f ( 3) = 30 Câu 29 Cặp hàm số sau có tính chất: có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A f ( x ) = sin x g ( x ) = cos2 x B f ( x ) = tan x g ( x ) = cos x C f ( x ) = e x g ( x ) = e− x D f ( x ) = sin x g ( x ) = sin x Câu 30 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? A F ( x ) ( x − 3) = 5 + x B F ( x ) ( x − 3) = 5 Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 1) 5 + 2017 D F ( x ) ( x − 3) = 5 −1 A F ( x ) = x3 + 3x2 + 3x + C C F ( x ) = C F ( x ) ( x − 3) = x3 + x + x + C B F ( x ) = x3 − x + x + C D F ( x ) = x3 + x2 + x + C Câu 32 Tìm nguyên hàm hàm số y = x ? A x dx = Câu 33 2x + C ln B x dx = x + C C x dx = x ln + C D x dx = 2x + C x +1 Cho hàm số f ( x ) = cos x Tìm nguyên hàm hàm số g ( x ) = ( f ( x ) ) x A g ( x ) dx = − sin x + C C g ( x ) dx = x + sin x + C Câu 35 Biết x g ( x ) dx = + sin x + C D g ( x ) dx = x − sin x + C f ( x ) dx = ( x + 1) ln ( x + 1) − 1 + C Giá trị f ( 0) A f ( 0) = B f ( 0) = C f ( 0) = e Câu 36 Biết F ( x ) = − x nguyên hàm hàm số f ( x ) = A −3 Câu 37 Cho B B C D f ( 0) = ln a Khi giá trị a 1− x D f ( x ) dx = F ( x ) + C Hãy xác định f ( x + 5) dx “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A f ( x + 5) dx = F ( x + 5) + C C f ( x + 5) dx = F ( x + 5) + C B f ( x + 5) dx = F ( x + 5) + C D f ( x + 5) dx = F ( x + 5) + C + 1) + C B f ( x ) dx = ln ( x x2 +C D f ( x ) dx = ln x + B f ( x ) dx = ( ln x + 3) D f ( x ) dx = ( ln x + 3) Câu 40 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A C f ( x ) dx = ln ( x f ( x ) dx = ln x + x x +1 Câu 41 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A f ( x ) dx = C f ( x ) dx = ( ln x + 3) 2 + 1) + C x2 +C ln x + x ln x + + C +C ( +C +C ) dx = a x − + b ln x − + + C với a, b Tính M = a + b 2x −1 + A M = B M = −3 C M = D M = Câu 42 Cho Câu 43 Cho ( sin x + cos x + 1) + C n ( sin x + cos x + ) m cos x ( sin x + cos x + 2) A A = dx = − với m, n Tính A = m + n C A = B A = D A = Câu 44 Tính I = x x + 1dx cách đặt u = x + , mệnh đề đúng? A I = 2 u du C I = u du B I = udu D I = udu 2 Câu 45 Kết I = x ( x + ) dx 15 A 16 x + 7) + C ( 32 B 16 x + 7) ( 32 Câu 46 Tìm hàm số f ( x ) biết f ( x ) = A f ( x ) = sin x ( + cos x ) C f ( x ) = − +C +C + sin x C 16 x + 7) ( 16 D 16 x + 7) + C ( cos x ( + sin x ) B f ( x ) = sin x +C + sin x D f ( x ) = +C + cos x Câu 47 Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = e2 x ? ex + “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A F ( x ) = e x + ln ( e x + 1) + C B F ( x ) = e x + − ln ( e x + 1) + C C F ( x ) = e x − ln x + C D F ( x ) = e x + ln x + C Câu 48 Cho A Câu 49 Biết f ( x ) dx = x +1 2 x2 + +C + C Khi B 4x +1 f ( x ) dx +C C 4x +1 +C D x2 + +C f ( u ) du = F ( u ) + C Khẳng định sau ? f ( x − 3) dx = F ( x − 3) + C D f ( x − 3) dx = F ( x − 3) − + C f ( x − 3) dx = F ( x − 3) + C C f ( x − 3) dx = F ( x ) − + C A B Câu 50 Nguyên hàm hàm số y = −ecos x sin x B y = −esin x A y = ecos x ( x − 2) ( x + 1)12 dx C y = esin x D y = −ecos x 10 Câu 51 Nguyên hàm x−2 A + C 11 x + x−2 x−2 B − + C + C C 33 x + 11 x + 11 11 11 1 x−2 D + C x +1 11 sin x dx Nếu đặt t = cos 2x mệnh đề sau ? cos x + sin x dt − dt 2dt dt A I = B I = C I = D I = t +1 2t + 2t + t +1 Câu 52 Cho I = Câu 53 Kết tính x − x dx A − (5 − 4x ) Câu 54 Hàm số f ( x ) = A − 4sin x Câu 55 Nguyên hàm + C B − ( − x ) + C C 16 ( − x ) cos x có nguyên hàm F ( x ) sin x B C 4sin x sin x dx tan x + (5 − 4x ) D − 12 D − sin x +C bằng? x + ln 2sin x + cos x + C 5 x C − ln 2sin x + cos x + C 5 A Câu 56 Tìm họ nguyên hàm +C 2x − ln 2sin x + cos x + C 5 x D + ln 2sin x + cos x + C 5 B xe dx x 10 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường y A B x3 , y x C 12 D 13 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x y = x 1 1 A B C D 12 13 14 15 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x3 − 3x + y = x3 − x + x + 37 37 A B C D 13 12 Câu Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hai hàm số y = x + x − 2, y = x + hai đường thẳng x = −2; x = Diện tích ( H ) A Câu 87 A 87 D 87 e −1 B 71 B e−2 C e−2 D e +1 73 C 70 D 74 Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − x + , y = x + Diện tích ( H ) 108 A Câu 10 C Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − , y = x + Diện tích ( H ) A Câu 87 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = (1 + e x ) x, y = (1 + e ) x Diện tích (H ) Câu B B 109 C 109 D 119 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) : y = x2 + , tiếp tuyến ( P ) điểm có hồnh độ x = trục tung A B C D 3 Câu 11 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = x ; y = x + S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x y = Tỉ số A S1 9e = S2 e − 2e + ( ) B S1 là: S2 S1 9e = S2 2e +1 C S1 = S2 e +1 D S1 = S2 e + Câu 12 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = x ; y = x + S2 diện tích hình phẳng giới 50 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! hạn đường y = ( x − ) ; y = x − x Tỉ số A S1 = S2 B S1 = S2 C S1 là: S2 S1 = S2 D S1 81 = S2 Câu 13 Trong diện tích sau diện tích có giá trị lớn : A Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = x + B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ln x ; y = C Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( x − ) ; y = x − x 2 D Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − 3x + ; y = −4 x + x + Câu 14 Trong diện tích sau diện tích có giá trị nhỏ : A Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = x + B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ln x ; y = C Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( x − ) ; y = x − x 2 D Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − 3x + ; y = −4 x + x + Câu 15 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x3 − x y = x − x A S = 12 37 B S = 37 12 C S = D S = 19 Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 + 3x − x đồ thị hàm số y = x2 + x A 81 12 B 13 C 37 12 D Câu 17 Xét hình phẳng ( D ) giới hạn đường y = ( x + 3) , y = 0, x = Gọi A ( 0;9) , B ( b;0 ) ( −3 b 0) Tìm b A b = −2 để đoạn thẳng AB chia ( D ) thành hai phần có diện tích B b = − C b = −1 D b = − Câu 18 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường parabol y = x − 3x + đường thẳng y = x −1 A S = B S = C S = 37 14 D S = 799 300 51 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Câu 19 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường parabol: ( P ) : y = x − x + , tiếp tuyến ( P ) M ( 3;5 ) trục Oy Tính diện tích hình ( H ) B ( đvdt ) A 18 ( đvdt ) C 15 ( đvdt ) D 12 ( đvdt ) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x + x , x − y + = x = ln là: Câu 20 B S = − ln A S = + ln C S = + ln5 D S = − ln5 Câu 21: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x = 0, x = đồ thị hai hàm số y = sinx, y=cos x là: A −2 B C 2 D Câu 22: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x − x y = x − x là: A B 81 12 C 13 D 37 12 Câu 23:Hình phẳng giới hạn y = x, y = x có diện tích là: A B C D DẠNG 3: Hình phẳng giới hạn bởi: Các đường cong x = f ( y ) ; x = g ( y ) hai đường thẳng y = a; y = b Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y − y + x = 0, x + y = 11 9 A B C D 2 Câu Tính diện tích hình phẳng đánh dấu hình bên 28 A S = − B S = 3 C S = Câu D S = − 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − y = −1 , đường thẳng đường thẳng x2 y = trục tung tính sau: A S = − dx x −1 1 1 1 B S = − dx C S = x −1 − y −1 D S = −1 −1 dy 4− y 52 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong có phương trình x − y = Câu x + y − 12 = bằng: A S = 15 B S = 32 C S = 25 D S = 30 Câu Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bới Đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k (0 k ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm x = k để S1 = 2S2 A k = ln C k = ln B k = ln D k = ln Câu Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng( hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m2 Hỏi Ông An cần tiền để trồng hoa 8m dải đất đó? ( Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng C 7.128.000 đồng B 7.653.000 đồng D 7.826.000 đồng DẠNG 4: Hình phẳng giới hạn nhiều hai đồ thị hàm số Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x ; y = A 27ln Câu B 27ln3 C 28ln 27 x ; y= 27 x D 29ln3 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau 53 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A Câu B 11 C D 10 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y = x, y = x đồ thị hàm số y = x3 phân số tối giản A 68 Câu B 67 a Khi a + b b C 66 D 65 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 1, y = x đồ thị hàm số y = a Khi b − a b B C x2 miền x 0, y phân số tối giản A D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Câu Câu DẠNG 5: Một số hình phẳng đặc biệt Câu Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút 54 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 3.895.000 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D 1.194.000 (đồng) 4m 4m 4m Câu Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 Câu C 293804000 B 283904000 D 283604000 Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl , S dùng để trồng hoa, phần diện tích S , S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Câu Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( H ) có cạnh nằm trục hồnh, có hai đỉnh ( ) đường chéo A ( −1;0 ) B a; a , với a Biết đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích nhau, tìm a A a = B a = C a = D a = 55 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Câu Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn elip x2 y + = S diện tích hình thoi có đỉnh đỉnh elip Tính tỉ số S1 S S S S A = B = C = S2 S2 S2 D S1 = S2 4.2 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Câu Thể tích khối trịn xoay khơng gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = có thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm ( x; 0; 0) đường trịn bán kính sin x A V = Câu B V = C V = 4 D V = 2 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường trịn x + y = 16 (nằm mặt phẳng Oxy ), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể (16 − x ) dx −4 Câu 4 A B x dx −4 C 4 x dx D −4 4 (16 − x ) dx −4 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường tròn x + y = 16 (nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể y O x 56 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A V = Câu 256 B V = 256 C V = 32 D V = 32 Thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( x 3) hình chữ nhật có hai kích thước x − x2 , bằng: A V = Câu B V = 18 C V = 20 D V = 22 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng có phương trình x = x = , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 0; 2 phần tư đường trịn bán kính A V = 32 Câu 2x2 , ta kết sau đây? B V = 64 C V = 16 D V = 8 (SỞ PHÚ THỌ - LẦN 2) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể bơi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 4) thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh 2x A V = 63 3 Câu B V = 126 C V = 63 D V = 126 3 Một vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy 10 ( cm ) Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 45o Thể tích khối gỗ bé A 2000 ( cm3 ) B 1000 ( cm3 ) C 2000 ( cm3 ) D 2000 ( cm3 ) Chọn A 57 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! + Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi khúc gỗ bé có đáy nửa hình trịn có phương trình: y = 100 − x , x −10,10 + Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , x −10,10 ,cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích S ( x ) (xem hình) Dễ thấy NP = y MN = NP tan 45o = y = 100 − x Suy S ( x ) = Khi 10 :V = −10 ( 1 MN PN = 100 − x 2 thể S ( x ) dx = 10 tích ( ) khúc ) gỗ ( bé ) 2000 100 − x dx = cm3 −10 Cách Dùng công thức nêm Hình 1: Dùng cơng thức V = R tan 2 Hình 2: Dùng công thức V = − R tan 3 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY DẠNG 1: Vật thể tròn xoay sinh miền hình phẳng giới hạn: a/ Đồ thị y = f ( x ) ; trục Ox ( y = 0) ; x = a; x = b ; quay xung quanh Ox b/ Đường x = g ( y ) ; trục Oy ( x = 0) ; y = a; y = b ; quay xung quanh Oy Câu Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = , y = , x = 1, x x = quanh trục Ox 58 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! A 6 Câu B 6 D 6 C 12 Cho hình phẳng giới hạn đường y = cos x, Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A Câu 2 B 2 16 C +1 D 16 Cho hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), Ox, x = a, x = b quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V = b b b b B V = f ( x) dx C V = f ( x) dx D V = f ( x) dx f ( x)dx a 2 a a a Câu Cho hình phẳng giới hạn đường y = x − ; trục Ox đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A B 3 C 2 D Câu ho hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 5 79 23 A B C D 9 14 63 Câu Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x + x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 496 4 A B 15 Câu C D 16 15 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 3 2 A B Câu 64 15 C D Cho hình phẳng giới hạn đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A V = + 3 Câu B V = − 3 C V = + 3 D V = − 3 Cho hình phẳng giới hạn đường y = + x , Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành A 28 B 68 C 28 D 68 59 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Câu 10 Cho hình phẳng giới hạn đường y = ln x, y = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A 2ln 2 − 4ln + B ( ln 2 + ln − ) C ( ln 2 − ln + ) D ( 2ln −1) Câu 11 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x ln x , y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A 4e + B 4e − C 2e + D 2e − Câu 12 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x3 − x + x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A 729 35 B 27 C 256608 35 D 7776 Câu 13 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn y = e x , y = , x = 0, x = Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ta quay hình ( H ) quanh trục Ox A V = ( e + 3) B V = ( e −1) C V = e D V = e + Câu 14 Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V ( cm ) vật thể cho A V = 12 B V = 12 C V = 72 D V = 72 Câu 15 Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vng góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng dm để làm lu đựng nước Thể tích lu A 500 dm3 B 2296 dm3 15 C 952 dm3 27 D 472 dm3 Câu 16 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới x −1 hạn đường y = , y = , x = x x A ( 2ln −1) B − C (1 − 2ln 2) D 60 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! Câu 17 Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ( x − 4) e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox e8 − 39 A V = e8 − 41 B V = (e C V = − 39 ) (e D V = − 41) x Câu 18 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = x e , x = , x = , y = quanh trục Ox là: A (e2 + e) C e B (e2 − e) D e x Câu 19 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y = x e , x = , x = , y = quanh trục Ox V = ( a + be2 ) (đvtt) Tính giá trị biểu thức a + b B A C D Câu 20 Gọi V thể tích khối trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y = +1, x 15 y = , x = , x = k (k 1) quay xung quanh trục Ox Tìm k để V = + ln16 A k = Câu 21 Cho hình phẳng C k = 4e B k = (H ) D k = e2 giới hạn đường y = x − x , trục hoành, trục tung, đường thẳng x = Tính thể tích V hình trịn xoay sinh ( H ) quay ( H ) quanh trục Ox A V = 4 BV= 7 C V = 15 D V = 8 15 Câu 22 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = − x2 , y = Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành cho ( H ) quay quanh trục Ox A V = 512 (đvdt) 15 B V = 512 (đvdt) 15 C V = 2 (đvdt) D V = 32 (đvdt) Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với A ( −1; ) , B ( 5;5) , C ( 5;0 ) , D ( −1;0) Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thể tích khối trịn xoay tạo thành bao nhiêu? A 72 B 74 C 76 D 78 Câu 24 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích A a = 27 ; b = a ( be − ) Tìm a b B a = 26 ; b = C a = 24 ; b = D a = 27 ; b = 61 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! TỰ LUẬN Câu 25 Tính tích phân a) 0 x (2x − 1) dx e) i) (1 + x)c x − x dx xc x b) f) j) q) u) c x ( 3.c − x − 5) dx c) x g) 1 t − dt t cos4 x cos3xdx k) 3x − x − dx x +1 −1 (2 − 3t ) dt 3t + t − dt t ln c x+1 + dx cx 3x + r) 1 dx x ( x + 1) d) o) sin3t sin tdt − |1 − x | dx s) 1) p) xe tan xdx 2t − t dt t tan x − cos x dx t) sin x 2 h) −2 x x + dx x + tct − t 1 t dt −1 c− x m) 0 c 1 + dx n) cos x 0 x(1 − x) dx 1 ln 2cos x − dx cos x sin x dx Câu 26 Tính tích phân a) sin x dx + 3cos x b) + ln x dx x m)0 x( x − 1) q) u) e − dx cos xdx r) ln cin x 2013 dx + e− x x −1 dx x − 2x − x2 dx f) −1 (1 − x) cos xdx e) − (1 + sin x) i) j) n) e 1 dx x(1 − ln x) x x + 1dx t − tdt −5 v) b) x 0 (2x −1)c dx −1 x ( x − 2)dx c) g) k) e3 o) s) d) sin x dx 8cos x + h) dx x − ln x l) x x + 1dx sin x e1/ x dx x2 3xdx 19 x2 + ln x dx x (ln x + 3) e p) sin x cos x dx − 4x t) cos5 xdx x) x −1 0 x e dx d) 2x ( e + cos w) dx 1− x2 x dx ( x2 + 1) 2 dx x + 1dx Câu 27 Tính tích phân a) x 0 ( x + 1)e dx 1 c) 1 x − 1) dx 62 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! e) i) ln ( x − 1)e− x dx f) x sin xdx m) 1 (2 x + 1) ln x dx n) q) 1 (ln x − 2)x dx u) x 0 (1 + e )xdx j) e r) g) h) ( x + 1)sin xdx l) (1 − x)cos xdx lnx dx p) k) 2x(ln x − 1)dx o) 2 2x ln( x −1)dx s) (x c) x( x g) (2 x − 1)cos xdx e 2x cos x dx + 1) e2 x dx − + e x ) dx d) 1 ( x ln x + 1)dx h) ln xdx x2 t) 2x sin xdx e x sin xdx c x dx Câu 28 Tính tích phân sau a) e (3.e x −x − 5x ) dx x+e x dx x + e) i) (1 + 2xe )dx x x 2e x + dx x m)1 b) f) + x ln x 1 x dx x( x + cos x)dx e 2 xc x + + x j) 0 dx cx +1 k) + x ln x n) 1 dx x − ex o) 0 x dx xe + 1 e − sin x dx + cos x x + ln x dx x ( x + cos x)sin xdx − sin x dx − sin x 1) − e Câu 29 Tính tích phân sau 1 1) −1 c x − x dx c 2) 3) cos xdx 2sin x + 4) 0 ln( x + 1)dx 7) + ln x 1 x dx 8) 5) 1 (2x −1)ln x dx 6) 9) x + ln x dx x 10) 13) 17) 21) e2 etan x dx cos2 x 14) x ( c x + cos x ) dx 18) ln x dx x(ln x + 2) dx x( x + 1) 22) 2 2x −1 dx x +1 11) sin x dx + sin x 15) ln 2x sin xdx 19) sin2 x sin x dx 23) 3x + 1dx ln x dx x 2 x3dx x2 + 16) cos4 x + sin x dx 20) cos3 x e dx x( x + 2) e x dx (e x + 4) 12) sin x cos2 xdx 24) ln e x e x + 3dx dx x(ln x + 1) (4x + 1)e dx x 63 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” Thà để giọt mồ hôi rơi trang vở, đừng để giọt nước mắt rơi thi! 25) x ln x + dx x 26) 29) 0 ( x − 4x + 1)dx 30) ( xe 33) x2 dx 34) −1 (1 − x) 37 * e x2 x e dx ) x + cos x dx cos x 41 ) 2 ln ( x − x ) dx * 45 x3 + dx x +x sin x dx + cos x x + 3)dx 27) 31) 35) sin x dx 3sin x + 28) − ( x cos x − 2)dx 32) tan x dx cos x 2x 2e (2 x − 1) ln x + −1 38 1 dx 39. x dx −1 x ln x + e +1 * e * ) 42 * 46 ln ) c − 1dx x * 43 ) x + sin x dx + cos x (1 − cos x)cos x dx − e x( x ln x + 2)dx 2x −1 36) 0 dx 2x + 40* ) 0 ln (1 + x2 ) dx 44* ) 0 dx ln e x e2 x + sin x + cos x x2 * cos x − sin x * dx 47 0 dx 48 dx − sin x cos x + cos x 1− x Câu 30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = + x2 thỏa mãn điều kiện F (−1) = x b Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x(2 − x) thỏa mãn điều kiện F (−1) = (1 − x)2 c Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = thỏa mãn điều kiện F (−1) = x d Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = cos x(2 − 3tan x) biết ràng F ( ) = e Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = (4 x + 1)c x thoả mãn điều kiện F (1) = −e f Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = + ln x thỏa mãn điều kiện F (e) = x2 g Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = (1 + x ln x)e x thỏa mãn điều kiện F (1) = −e x 64 “Rèn luyện thành tài – Miệt mài thành giỏi” ... với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường 9,8m / s Sau viên đạn đạt tới độ cao lớn A 25 9,8 B D Đáp án khác C Câu 94: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s... giây vận tốc ô tô đạt (làm tròn t +1 B 14, ( m/s ) D 13, ( m/s ) C 15, ( m/s ) (m/s ) Vận tốc ban đầu vật t +1 (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) ? Câu 125 Một vật... m/s B m/s C m/s D m/s Câu 99: Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196m / s (bỏ qua sức cản khơng khí) Tìm thời điểm tốc độ viên đạn Khi đó, viên đạn